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高中数学新人教A版必修5习题3.4基本不等式


基本不等式 A 组 基础巩固 2 8 1.若 x>0,y>0,且 + =1,则 xy 有( x y ) 1 A.最大值 64 B.最小值 64 1 C.最小值 2 D.最小值 64 ?2 8? 解析:xy=xy? + ?=2y+8x≥2 2y·8x=8 xy,∴ xy≥8, x y ? ? 2 8 ? ?x+y=1, 即 xy≥64,当且仅当? 2y=8x, ? ?x>0,y>0, 答案:D 2.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 B.4 C. 9 2 11 D. 2 ) 即? ? ?x=4 ?y=16 ? 时等号成立. 8-x 解析:∵x+2y+2xy=8,∴y= >0, 2x+2 8-x ∴-1<x<8,∴x+2y=x+2· 2x+2 =(x+1)+ 9 -2≥2 x+1 9 ?x+1?· 9 -2=4, x+1 当且仅当 x+1= 答案:B x+1 时“=”成立,此时 x=2,y=1. 1 1 3.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是( a b ) A. 1 4 B.1 D.8 C.4 a>0, ? ? 解析:由 a>0,b>0,ln(a+b)=0,得?b>0, ? ?a+b=1, -1- 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + =2+ + ≥2+2 a b a b a b b a 1 · =4,当且仅当 a=b= 时,取等号. a b 2 答案:C 4.已知 x+3y-2=0,则 3 +27 +1 的最小值是( 3 A.3 9 C.6 B.1+2 2 D.7 x y x 3y x y ) 解析:∵3 +27 +1=3 +3 +1≥2 3 x+3y +1=2×3+1=7,当且仅当 3 =3 且 x+3y-2 x 3y 1 =0,即 x=1,y= 时,等号成立,∴所求最小值为 7. 3 答案:D 5.设 M 是△ABC 内一点,且△ABC 的面积为 1,定义 f(M)=(m,n,p),其中 m、n、p 分 1 4 ?1 ? 别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积,若 f(M)=? ,x,y?,则 + 的最小值是( x y ?2 ? A.8 B.9 ) C.16 D.18 1 1 1 解析:△ABC 的面积为△MBC,△MCA,△MAB 的面积之和,∴ +x+y=1,即 x+y= , 2 2 x 4 ?1 4? 8x 2y 1 1 + =? + ?(2x+2y)=10+ + ≥18.当且仅当 x= ,y= 时等号成立. y ?x y? y x 6 3 答案:D 1 2 6.设 a>b>c>0,则 2a + + ab 1 2 -10ac+25c 的最小值是( a?a-b? ) A.2 C.2 5 B.4 D.5 1 1 2 解析:∵a>b>c>0,∴原式=a + + 1 ab a?a-b? -10ac+25c +a =a -ab+ 2 2 2 1 a?a-b? + ab+ +(a-5c)2≥2+2+0=4,当且仅当 a(a-b)=1,ab=1,a-5c=0 时取等号.即当 a ab = 2,b= 2 2 ,c= 时,所求式的最小值为 4. 2 5 答案:B 7.函数 y=a 1-x (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上, 1 1 则 + 的最小值为________. m n 解析: 函数 y=a 所以

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