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北京市石景山区2012-2013学年高二上学期期末考试数学文试题 Word版含答案


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 8 页,各题答案均答在本题规定的位置.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.复数 z ? ?1? 2i 所对应的点在( A.第一象限 2.复数 B.第二象限 ) B. ?1
2

) C.第三象限 D.第四象限

1? i ?( 1? i

A. 1

C. i ) C. (0 , 2)

D. ?i

3.抛物线 y ? 8x 的焦点坐标为( A. (2 , 0)

0) B. (?2 ,

? D. (0 , 2)
) D.不存在

4) 2) 4.已知直线经过点 A(0 , 和点 B(1, ,则直线 AB 的斜率为(
A. 2 B. ? 2 C. ?

1 2
1
1

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( ) B. 3 ? 2

1 1
左视图 主视图

1 A. 2
C. 2 ? 2

D. 6

1

2
1
俯视图

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为( 6.双曲线 4 4
A. y ? ? x B. y ? ? 2 x

) C. y ? ?2 x D. y ? ?4 x

7.已知命题 q : ?x ? R , 2 ? 1 ? 0 ,则 ? q 为( x A. ?x ? R ,2 ? 1 ? 0 x C. ?x ? R , 2 ? 1 ? 0 x



B. ?x ? R , 2 ? 1 ? 0 x D. ?x ? R , 2 ? 1 ? 0 x ) D. 2 x ? y ? 4 ? 0

8.过点 P(?1 , 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为( 2) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0

9. 已知 ? , 表示两个不同的平面, 为平面 ? 内的一条直线, 则“ ? ? ? ”是 m ? ? ” “ ? m 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1) B 10.过点 (1, 的直线 l 与圆 x ? y ? 4 交于 A , 两点,若 |AB|=2 2 ,则直线 l 的方
程为( ) B. x ? 2 y +1=0 C. 2 x ? y ? 1=0 D. x ? y ? 1=0

A. x +y ? 2=0

n l ? 11.已知三条不同直线 m , ,,两个不同平面 ? , ,有下列命题:
① m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ② m ? ? , n ? ? , l ? m , l ? n ,则 l ? ? ③ ? ? ? , ? ? ? =m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ④ m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? 其中正确的命题是( A.①③ ) B.②④ C.③ D.①②④

12.若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :


x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1( a2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是( ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 ③

② a1 ? a2 ? b1 ? b2
2 2 2

2

a1 b1 ? a2 b2
B. ①③④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④ D. ①②③

A.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.
3 13.如果复数 z ? ?2 ? i ,则 z =________, z ? i =________.
3 3 b 14.命题“ ?a , ? R ,如果 a ? b ,则 a ? b ”的逆命题是____________________.

15. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , 2 , P 在椭圆上, | PF1 |? 4 , | PF2 |? _________; 若 则 F 点 9 2

?F1PF2 的小大为__________.
16.如图,正方体 ABCD - A B1C1D1 中, E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.已知下列 1 判断: AC ^ 平面 B1EF ; D BE 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三 ① 1 ② 1F 角形;③在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线. 其中正确结论的序号为__________(写出所有正确结论的序号).

D1

C1 B1

A1
E

D
A F

C
B

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 5 分) 实数 x 取何值时,复数 z ? ( x 2 ? x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是实数?是虚数?是纯虚 数?

18.(本小题满分 6 分) 已知直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 24 ,求直线 l 的方程.

19.(本小题满分 6 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

20.(本小题满分 7 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中心,

PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.
求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D

C O
B

A

21.(本小题满分 8 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? , PA ? 平面

ABCD,点 M , 分别为 BC , 的中点,且 PA ? AB ? 2 . N PA
(Ⅰ)证明: BC ⊥平面 AMN ; (Ⅱ)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的 长;若不存在,说明理由.

P

N
A D

B

M

C

22.(本小题满分 8 分) 已知椭圆的两个焦点 F (? 3 , ,F2 ( 3 , , F 且与坐标轴不平行的直线 m 与 0) 0) 过 1 1 椭圆相交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1 , 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定 0)

0) 点 E (m , ,使 PE ? QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明
理由.

??? ??? ? ?

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6

B
7

D
8

A
9

B
10

B
11

A
12

C

D

B

A

C

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答 错不给分.) 题号 答案 13 14
3 3 ?a , ? R ,如果 a ? b ,则 a ? b b

15

16 ②③

?2 ? i , 2 ?

2, ? 120

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步

骤. 17.(本小题满分 5 分) 解: 令 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , ? 1 ; x
2

令 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , ? ?1. x
2

?????2 分 ?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

所以 当 x ? ?2 或 x ? ?1 时,复数 z 是实数; 当 x ? ?2 且 x ? ?1 时,复数 z 是虚数; 当 x ? 1 时,复数 z 是纯虚数. 18.(本小题满分 6 分) 解:直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?

3 . 4

因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等, 所以 kl = ?

3 . 4 3 x +b , 4

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y =0 ,则 x =

4 b. 3

?????2 分

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,

1 4 |b|?| b|=24 , 2 3 所以 b = ? 6 .
所以 S = 所以直线 l 的方程为 y = ?

?????4 分

3 x?6, 4
?????6 分

即 3x+4 y +24=0 或 3x+4 y ? 24=0 . 19.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4 ,
?????3 分

所以直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标为 ? ?2 ,? . 4 (Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切,

所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 32 ? 4 2
2

?

15 ? 3, 5
2

?????5 分

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 . 20.(本小题满分 7 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, 所以 OE ∥ AP . 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD . 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE .

?????6 分

?????2 分

?????3 分

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

?????7 分

21.(本小题满分 8 分) 证明: (Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB =BC , 又 ?ABC ? 60 ,所以 AB =BC =AC .
?

P

N
A

E D

因为点 M 为 BC 的中点,所以 BC ? AM , 而 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC .

B

M

C
?????2 分

又 PA ? AM ? A ,所以 BC ? 平面 AMN . (Ⅱ)因为 S?AMC ?

1 1 3 AM ? CM ? ? 3 ?1 ? , 2 2 2

又 PA ? 底面 ABCD , PA ? 2 ,所以 AN ? 1 . 所以三棱锥 N ? AMC 的体积

V?

1 1 3 3 . ?1 ? S?AMC ? AN ? ? 3 3 2 6

?????4 分 ?????5 分

(Ⅲ)在 PD 上存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE . 取 PD 中点 E ,连结 NE , EC , AE . 因为 N , E 分别为 PA , PD 中点, 所以 NE //

1 AD . 2 1 AD , 2
?????6 分

又在菱形 ABCD 中, CM //

所以 NE//MC ,即 MCEN 是平行四边形, 所以 NM // EC . 又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE , 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E ,使得 NM // 平面 ACE , 此时 PE ?

?????7 分

1 PD ? 2 . 2

?????8 分

22.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c= 3 , 4 a =8 , 所以 a =2 , b=1 ,

x2 2 +y =1 . 所以 椭圆的方程为 4
因为点 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ? R .

?????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y =k (x ? 1) ,

? x2 2 ? +y =1 , 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得 (4k +1)x ? 8k x+4k ? 4=0 , ? y =k (x ? 1) , ?

?????3 分

设 P (x1 ,1 ) , Q (x2 , 2 ) , y y 则由根与系数关系得 x1 +x2 =

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 = , 4k 2 +1 4k 2 +1
?????4 分

所以 y1 y2 =k 2 (x1 ?1)(x2 ?1) , 则 PE = (m ? x1 , y1 ) , QE = (m ? x2 , y2 ) , ? ? 所以 PE ? QE = (m ? x1 )(m ? x2 )+y1 y2 = m2 ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +y1 y2 = m2 ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +k 2 (x1 ?1)(x2 ?1) =m ?
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

8k 2 m 4k 2 ? 4 2 4k 2 ? 4 8k 2 + +k ( ? +1) 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
?????5 分



(4m2 ? 8m+1)k 2 +m2 ? 4 4k 2 +1

17 4m 2 ? 8m+1 4 = ,解得 m = , 要使上式为定值须 2 8 m ?4 1
所以 PE ? QE 为定值

??? ??? ? ?

33 . 64

?????6 分

当直线 l 的斜率不存在时 P (1,

3 3 ) , Q (1, ? ), 2 2

??? ? 9 ??? ? 9 3 17 3 , 可得 PE = ( , 0) ? ) , QE = ( , ) , 8 8 2 8 2 ??? ??? 81 3 33 ? ? ? = , 所以 PE ? QE = 64 4 64
由E ( 综上所述当 E (

?????7 分

??? ??? ? ? 17 33 , 时, PE ? QE 为定值 . 0) 8 64

?????8 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)


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