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湖南省四大名校2015年高一分班考试数学试题及解析

湖南省四大名校入学分班考试模拟题 数 学 试 题
第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题 1.已知 y ? 1 且 2 x ? y ? 1 ,则 2 x2 ? 16 x ? 3 y 2 的最小值为 A.

19 2

B. 3

C.

27 7

D.13

2. AE, CF 是锐角三角形 ABC 的两条高,如果 AE : CF ? 3 : 2 ,则 sin A : sin C 等于 A. 3:2 B. 2:3 C. 9:4 D.4:9

3.关于 x 的方程 ax2 ? (a ? 2) x ? 9a ? 0 有两个不等的实数 根 x1 , x2 ,且 x1 ? 1 ? x2 ,那么 a 的 取值范围是 A. ?

2 2 ?a? 7 5

B. a ?

2 5

C. a ? ?

2 7

D. ?

2 ?a?0 11

4.在某种浓度 的盐水中加入“一杯水”后,得到新的盐水,它的浓度为 20℅,又在新盐水中加入 与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后,盐的浓度变为 33 A.23℅ B.25℅ C. 30℅

1 ℅,那么原来盐水的浓度为 3
D.32℅

5.已知是两个连续自然数 (m ? n) ,且 q ? mn ,设 p ? q ? n ? q ? m ,则 p B.总是偶数 D.有时是有理数有时是无理数 6. P 为正三角形 ABC 内部一点, PD ? BC 于 D , PE ? AC 于 E , PF ? AB 于 F ,则 A. PA ? PB ? PC 的值不变 B. PA ? PB ? PC 的值不变 C. PD ? PE ? PF 的值不变 D. PD ? PE ? PF 的值不变 二、填空题 7.若 A.总是奇数 C.有时是奇数有时是偶数

1 2 3 3 2 1 1 1 1 ? ? ? 5, ? ? ? 7 ,则 ? ? ? _________. x y z x y z x y z
2 2

A

8.关于 x , y 的二次式 x ? 7 xy ? my ? 5x ? 43 y ? 24 可以分解 D 为两个一次因式的乘积,则 m 的值是_______. B C 9.如图△ ABC 中,AC>AB,AB=4,AC=x,AD 平分∠BAC, E BD⊥AD 于 D,点 E 是 BC 的中点,DE=y,则 y 关于 x 的函数关系式为_______. 10.袋中装有 3 个红球,一个白球,它们 除了颜色以外都相同,随机从中摸出一球,记下颜色 后放回袋中充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率为
--1--

11.光线如图示的角度照射到平面镜上, 然后在两平面镜之间来回反射, 已知 ? ? 600 , ? ? 500 , 则 ? ? _______.

?
A1

?

12.在平面直角坐标系中,已知 P1 的坐标 ?1,0 ? ,将其绕着原点按逆时针方向旋转 30 0 得到 P 2,
0 延长 OP2 到 P 3 使 OP 3 ? 2OP 2 ,再将 P 3 绕原点按逆时针方向旋转 30 得到 P 4 ,延长 OP 4到

?

?

P 5 使 OP 5 ? 2OP 4 ,如此继续下去,则点 P 2010 的坐标为__________
13. 一 圆 周 上 有 三 点 A, B, C , ? A 的 平 分 线 交 边 BC 于 D , 交 圆 于 E , 已 知

B C? 2 , A C ? 3, AB ? ,则 4 AD ? DE ? _________
14.在锐角 ?ABC 中,高 BD, CE 交于点 F ,?A ? 450 , ?DEF 的面积为 S ,则 ?BFC 的面积 为__________ 15.方程 x ? 2 x ? 1 ?

x ? 2 x ? 1 ? x ? 1 的解为______

16.下列命题:①若 x2 ? 2010 ? 2012 ? 1 ,则 x ? 2011 ;②若 xy ? 0 ,且

a ? 2 y ?1 ? ( x ?1)2 ? 0 ,则 a ? ?1 ;③若一直角梯形的两条对角线的长分别为 9 和 11,
上、下两底长都是整数,则该梯形的高为 6 2 ;④已知方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? b ? c) 的 一个根为 1,另一个根的取值范围是 ?2 ? ? ? ? 其中正确的命题的序号为________

1 . 2

--2 --

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 线 / / / / / / / / / / / / 封 / / / / / / / / / / / / /密 / / / / / /

第Ⅱ卷(答题卷)
一、选择题答案: 题号 答案 二、填空题答案: 7.______________________ 9.______________________ 11._____________________ 13._____________________ 15._____________________ 三、解答题: 17.设 abc ? 1 ,求 8.______________________ 10.______________________ 12.______________________ 14.______________________ 16._____________________ 1 2 3 4 5 6

考号_________________

a b c ? ? 的值. ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

初中就读学校___________________________

18.已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

姓名________________

x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根,第三边长为 5.
(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长

--3--

19.在平行四边形 ABCD 中, P 为 CD 边上一点, AP 与 BP 分别为 ? DAB 和 ?CBA 的平分 线 (1)判断 ?APB 是什 么三角形,并证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小; (3)以 AB 为直径的⊙ O 交 AD 于点 E ,连接 BE 与 AP 交于 F ,若 AD ? 5, AP ? 8 , 求证: ?AEF ∽ ?APB ,并求 tan ?AFE 的值 D P

C

A

B

20.已知 ?ABC 是⊙ O 的内接三角形, BT 为⊙ O 的切线, B 为切点, P 为直线 AB 上一点, 过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ,交直线 AC 于点 F (1)当点 P 在线段 AB 上时求证: PA ? PB ? PE ? PF (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明, 否则说明理由; (3)若 AB ? 4 2,cos ?EBA ?

1 ,求⊙ O 的半径 3

A P A E B

F

.
O

C

T

--4--

21.如图所示,已知 A, B 两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) ,动点 P 从点 A 开始,在线段 AO 上 以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动,动直线 EF 从 x 轴开始,以每秒 1 个长度单位的速 度向上移动(即 EF ∥ x 轴) ,且分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E , F ,连接 FP ,设动点 P 与动直 线 EF 同时出发,运动时间为 ts (1)当 t ? 1s 时,求梯 形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积是多 少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 PF 的长; (3)设 t 的值分别取 t1, t2 时( t1 ? t2 ) ,所对应的三角形分别为 ?AF1P 1 和 ?AF2 P 2 ,判断这两个三 角形是否相似,请证明你的结论. y B

E P

F x A

O

--5--

22.如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B, C 的 ⊙ M 与直线 x ? ?1 相切于点 A( A 在第二象限), 点 A 关于 x 轴的对称点是 A1 ,直线 AA1 与 x 轴相交点 P (1)求证:点 A1 在直线 MB 上 (2)求以 M 为顶点且过 A1 的抛物线的解析式; (3)设过点 A1 且平行于 x 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 D ,当⊙ D 与⊙ M 相 切时,求⊙ D 的半径和切点坐标 y

M C D

A B P O

x

A1

--6--


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