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2011北京东城高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

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2010学年度综合练习( 北京市东城区 2010-2011 学年度综合练习(二) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ _____________班级_______________姓名______________考号__________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 求的一项。 一项 (1)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则 ?U ( A I B ) = (A){1,2,3,4} (C){1,2,5} (B){1,2,4,5} (D){3}

(2)若复数 ( m 2 ? 3m) + ( m 2 ? 5m + 6)i ( m ∈ R )是纯虚数,则 m 的值为 (A)0 (B)2 (C)0 或 3 (D)2 或 3

(3)如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数 得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计 出椭圆的面积约为 (A) 7.68 (C) 16.32 (B) 8.68 (D) 17.32

(4)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 2,那么这 个几何体的体积为 (A) 正视图 侧视图

4 3

(B)

8 3

(C) 4

(D) 8

(5)已知 sin θ =

3 ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在 4
(B)第二象限 (D)第四象限

俯视图

(A)第一象限 (C)第三象限

(6)已知点 A(1, 2) 是抛物线 C : y 2 = 2 px 与直线 l : y = k ( x + 1) 的一个交点,则抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离是

(A)

2 2

(B) 2

(C)

3 2 2

(D) 2 2

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(7)△ ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 OA + AB + OC = 0 ,且 | OA |=| AB | ,则

uuu uuu uuur r r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r CA ? CB 等于
(A)

3 2

(B) 3

(C) 3

(D) 2 3

(8)已知函数 f ( x) = ? (A) 4

x ≤ 0, ? x + 1, 则函数 y = f [ f ( x )] + 1 的零点个数是 ?log 2 x , x > 0,
(C) 2 (D) 1

(B) 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: (9)已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f ( ?1) = 2 ,那么 f (0) + f (1) = .

? x ≥ 0, ? (10)不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于 ? ?3x ? 2 y ? 6 ≤ 0
(11)在△ ABC 中,若 ∠B = 45°, b =

.

2a ,则 ∠C =

.

(12)某地为了建立调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者 三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的 总人数为 ;若从调查小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报 . 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

告,则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为

x
y
4

(13)已知某程序的框图如图,若分别输入的 x 的值为 0,1,2 ,执行该程序后,输出的 y 的值 分别为 a, b, c ,则 a + b + c = .

(14)已知等差数列 {an } 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 {bn } 首项为 b ,公比为 a ,其中 a, b 都是大于 1 的正整数,且

a1 < b1 , b2 < a3 ,那么 a =
*


*

若 对 于 任 意 的 n∈N , 总 存 在 m∈N , 使 得

bn = am + 3 成立,则 an =



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小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答题: (15) (本小题共 13 分) 已知 sin( A +

π 7 2 π )= , A∈ (0, ) . 4 10 4

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 5cos A cos x + 1 的值域.

(16) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 4a n ? 3 ( n ∈ N ) .
*

(Ⅰ)证明:数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn +1 = an + bn ( n ∈ N ) ,且 b1 = 2 ,求数列 {bn } 的通项公式.
*

(17) (本小题共 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC , D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 四边形 B1 BCC1 是正方形. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 AC1 D ; (Ⅱ)求证: CE ⊥ 平面 AC1 D .

A1

A

C1 D B1 E B

C

(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = x 2 ? a ln x ( a ∈ R ).

(Ⅰ)若 a = 2 ,求证: f ( x ) 在 (1, +∞) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上的最小值.

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,离心率 e =

3 ,短轴的一个端点为 (0, 2) ,点 M 为直线 2

y=

1 x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行于 OM 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求证:直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

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2010学年度综合练习( 北京市东城区 2010-2011 学年度综合练习(二) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ _____________班级_______________姓名______________考号__________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 求的一项。 一项 (1)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则 ?U ( A I B ) = (A){1,2,3,4} (C){1,2,5} (B){1,2,4,5} (D){3}

(2)若复数 ( m 2 ? 3m) + ( m 2 ? 5m + 6)i ( m ∈ R )是纯虚数,则 m 的值为 (A)0 (B)2 (C)0 或 3 (D)2 或 3

(3)如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数 得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计 出椭圆的面积约为 (A) 7.68 (C) 16.32 (B) 8.68 (D) 17.32

(4)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 2,那么这 个几何体的体积为 (A) 正视图 侧视图

4 3

(B)

8 3

(C) 4

(D) 8

(5)已知 sin θ =

3 ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在 4
(B)第二象限 (D)第四象限

俯视图

(A)第一象限 (C)第三象限

(6)已知点 A(1, 2) 是抛物线 C : y 2 = 2 px 与直线 l : y = k ( x + 1) 的一个交点,则抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离是

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3 2 (D) 2 2 2 uuu uuu uuur r r uuu uuu r r (7)△ ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 OA + AB + OC = 0 ,且 | OA |=| AB | ,则 uuu uuu r r CA ? CB 等于
(A) (B) 2 (C) (A)

2 2

3 2

(B) 3

(C) 3

(D) 2 3

(8)已知函数 f ( x) = ? (A) 4

x ≤ 0, ? x + 1, 则函数 y = f [ f ( x )] + 1 的零点个数是 ?log 2 x , x > 0,
(C) 2 (D) 1

(B) 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: (9)已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且 f ( ?1) = 2 ,那么 f (0) + f (1) = .

? x ≥ 0, ? (10)不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于 ? ?3x ? 2 y ? 6 ≤ 0
(11)在△ ABC 中,若 ∠B = 45°, b =

.

2a ,则 ∠C =

.

(12)某地为了建立调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者 三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的 总人数为 ;若从调查小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报 . 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

告,则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为

x
y
4

(13)已知某程序的框图如图,若分别输入的 x 的值为 0,1,2 ,执行该程序后,输出的 y 的值 分别为 a, b, c ,则 a + b + c = .

(14)已知等差数列 {an } 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 {bn } 首项为 b ,公比为 a ,其中 a, b 都是大于 1 的正整数,且

a1 < b1 , b2 < a3 ,那么 a =
*


*

若 对 于 任 意 的 n∈N , 总 存 在 m∈N , 使 得

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bn = am + 3 成立,则 an =



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小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答题: (15) (本小题共 13 分) 已知 sin( A +

π 7 2 π )= , A∈ (0, ) . 4 10 4

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 5cos A cos x + 1 的值域.

(16) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 4a n ? 3 ( n ∈ N ) .
*

(Ⅰ)证明:数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn +1 = an + bn ( n ∈ N ) ,且 b1 = 2 ,求数列 {bn } 的通项公式.
*

(17) (本小题共 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC , D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 四边形 B1 BCC1 是正方形. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 AC1 D ; (Ⅱ)求证: CE ⊥ 平面 AC1 D .

A1

A

C1 D B1 E B

C

(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = x 2 ? a ln x ( a ∈ R ).

(Ⅰ)若 a = 2 ,求证: f ( x ) 在 (1, +∞) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上的最小值.

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,离心率 e =

3 ,短轴的一个端点为 (0, 2) ,点 M 为直线 2

y=

1 x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行于 OM 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求证:直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

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学年度第二学期综合练习( 北京市东城区 2010-2011 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案 文科) 高三数学参考答案 (文科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( (1)B (5)C (2)A (6)B (3)C (7)C (4)A (8)A

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( (9) ?2 (11) 105 (13) 6
o

(10) 4 (12) 9 (14) 2

3 5 5n ? 3

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题( (15) (共 13 分) 解 :( Ⅰ ) 因 为 0 < A <

π π 7 2 π π π , 且 sin( A + ) = ,所以 < A+ < , 4 4 10 4 4 2

π 2 π π cos( A + ) = .因为 cos A = cos[( A + ) ? ] 4 10 4 4 π π π π = cos( A + ) cos + sin( A + ) sin 4 4 4 4 = 2 2 7 2 2 4 4 ? + ? = 所以 cos A = . 10 2 10 2 5 5

(Ⅱ)因为 f ( x ) = cos 2 x + 5cos A cos x + 1

= 2 cos 2 x + 4 cos x

= 2(cos x + 1) 2 ? 2 , x ∈ R .
因为 cos x ∈ [ ?1,1] ,所以,当 cos x = 1 时, f ( x) 取最大值 6 ; 当 cos x = ?1 时, f ( x) 取最小值 ?2 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?2, 6] . (16) (共 13 分) (Ⅰ)证明:由 S n = 4an ? 3 , n = 1 时, a1 = 4a1 ? 3 ,解得 a1 = 1 . 因为 S n = 4an ? 3 ,则 S n ?1 = 4an ?1 ? 3 ( n ≥ 2) , 所以当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 4an ? 4an ?1 ,整理得 an = …………………13 分

4 an ?1 . 3

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又 a1 = 1 ≠ 0 ,所以 {an } 是首项为 1,公比为 (Ⅱ)解:因为 an = ( )

4 的等比数列. ……6 分 3

4 3

n ?1



由 bn +1 = an + bn ( n ∈ N ) ,得 bn +1 ? bn = ( )
*

4 3

n ?1

.

可得 bn = b1 + (b2 ? b`1 ) + (b3 ? b2 ) + L + (bn ? bn ?1 )

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2+ = 3( ) n ?1 ? 1 , n ≥ 2 ) ( , 4 3 1? 3
当 n = 1 时也满足, 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn = 3( ) (17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ) 连结 A1C , AC1 交于 O 点, 与 连结 OD . 因为 O , D 分别为 AC1 和 BC 的中点, 所以 OD ∥ A1 B . 又 OD ? 平面 AC1 D ,

4 3

n ?1

? 1 . ……13 分

A1 O C1

A

C D

A1 B ? 平面 AC1 D ,
所以 A1 B ∥平面 AC1 D . (Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

B1

E

B

……………………6 分

BB1 ⊥ 平面 ABC ,又 AD ? 平面 ABC ,
所以 BB1 ⊥ AD . 因为 AB = AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ⊥ BC .又 BC I BB1 = B , 所以 AD ⊥ 平面 B1 BCC1 . 又 CE ? 平面 B1 BCC1 , 所以 AD ⊥ CE . 因为四边形 B1 BCC1 为正方形, D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 所以 Rt △ CBE ≌ Rt △ C1CD , ∠CC1 D = ∠BCE . 所以 ∠BCE + ∠C1 DC = 90 .
o

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王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 所以 C1 D ⊥ CE . 又 AD I C1 D = D , 所以 CE ⊥ 平面 AC1 D . (18) (共 13 分) (Ⅰ)证明:当 a = 2 时, f ( x) = x 2 ? 2 ln x , 当 x ∈ (1,+∞) 时, f ′( x) =

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……………………13 分

2( x 2 ? 1) >0, x
……………………5 分

所以 f (x) 在 (1,+∞) 上是增函数. (Ⅱ)解: f ′( x ) =

2x 2 ? a ( x > 0) , x

当 a ≤ 0 时, f '( x ) > 0 ,

f ( x) 在 [1, +∞) 上单调递增,最小值为 f (1) = 1 .
当 a > 0 ,当 x ∈ (0, 当 x∈(

a ) 时, f (x) 单调递减; 2

a ,+∞) 时, f (x) 单调递增. 2



a ≤ 1 ,即 0 < a ≤ 2 时, f (x) 在 [1,+∞) 上单调递增, 2

又 f (1) = 1 ,所以 f (x) 在 [1,+∞) 上的最小值为 1 .



a a > 1 ,即 a > 2 时, f (x) 在 [1, ) 上单调递减; 2 2 a ,+∞) 上单调递增. 2 a a a a ) = ? ln , 2 2 2 2
a a a ? ln . 2 2 2

在(

又 f(

所以 f (x) 在 [1,+∞) 上的最小值为

综上,当 a ≤ 2 时, f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上的最小值为 1 ; 当 a > 2 时, f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上的最大值为 (19) (共 14 分)

a a a ? ln .………13 分 2 2 2

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x2 y2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) , a b

?c 3 , ? = 则 ?a 2 解得 a = 2 2 . ?b = 2, ?
所以椭圆方程为

x2 y 2 + = 1. 8 2
1 x+m. 2

……………………5 分

(Ⅱ)由题意 M (2,1) ,设直线 l 的方程为 y =

1 ? ? y = 2 x + m, ? 2 2 由? 2 得 x + 2mx + 2m ? 4 = 0 , 2 ? x + y = 1, ?8 2 ?
设直线 MA , MB 的斜率分别为 k1 , k 2 , 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 k1 = 由 x + 2mx + 2m ? 4 = 0 ,
2 2

y1 ? 1 y ?1 , k2 = 2 . x1 ? 2 x2 ? 2

可得 x1 + x2 = ?2m , x1 x2 = 2m ? 4 ,
2

k1 + k2 =

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) + ( y2 ? 1)( x1 ? 2) + = x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 1 ( x1 + m ? 1)( x2 ? 2) + ( x2 + m ? 1)( x1 ? 2) 2 = 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) = = = x1 x2 + (m ? 2)( x1 + x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2m 2 ? 4 + (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2 m 2 ? 4 ? 2m 2 + 4 m ? 4m + 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

= 0.
即 k1 + k 2 = 0 . 故直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.………………14 分 (20)(共 13 分)

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王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (Ⅰ)证明:易知对任意 n ∈ N , a n > 0 , bn > 0 .
*

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由 a ≠ b, 可知

a+b > ab , 即 a1 > b1 . 2

同理,

a1 + b1 > a1b1 ,即 a 2 > b2 .可知对任意 n ∈ N* , a n > bn . 2 a n + bn b ? an ? an = n < 0, 2 2

a n+1 ? a n =

所以数列 {a n } 是递减数列.

bn +1 ? bn = a n bn ? bn = bn ( a n ? bn ) > 0 ,
所以数列 {bn } 是递增数列. (Ⅱ)证明: a n +1 ? bn +1 = ……………………5 分

a n + bn a + bn 1 ? a n bn < n ? bn bn < (a n ? bn ) . 2 2 2
……………………10 分

(Ⅲ)解:由 a n +1 ? bn +1 <

1 1 (a n ? bn ) ,可得 a n ? bn < (a ? b) ? ( ) n ?1 . 2 2
*

若存在常数 C > 0, 使得对任意 n ∈ N ,有 a n ? bn > C , 则对任意 n ∈ N , ( a ? b) ? ( )
*

1 2

n ?1

>C.

即2 <
n

2a ? 2b * 对任意 n ∈ N 成立. C 2a ? 2b * 对任意 n ∈ N 成立. C 2a ? 2b 2a ? 2b . ] + 1 > log 2 C C

即 n < log 2

设 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,则有 [log 2 即当 n = [log 2 与 n < log 2

2a ? 2b 2a ? 2b ] + 1 时, n > log 2 . C C

2a ? 2b * 对任意 n ∈ N 成立矛盾. C
*

所以,不存在常数 C > 0, 使得对任意 n ∈ N ,有 a n ? bn > C . ……14 分

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