当前位置:首页 >> >>

浙江省台州中学2015届高三上学期第三次统练试题数学(理)Word版含答案_图文

台州中学 2014 学年第一学期第三次统练试题 高三 数学(理科)

命题人:金玲红 审题人:陈守湖

参考公式:

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高
锥体的体积公式V ? 1 Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
台体的体积公式

球的表面积公式 S ? 4? R2
球的体积公式
V ? 4 ? R3 其中 R 表示球的半径 3

? ? V

? 1h 3

S1 ?

S1S2 ? S2

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的)

1.已知集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {y | y ? 2x ?1},则 M N ? (



A.{x | ?1 ? x ? 1}

B.{x | 1 ? x ? 3}

C.{x | ?1 ? x ? 1}

D.{x | 1 ? x ? 3}

2. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

A.4

B. 14 3

C. 16 3

D.6

3. "数列 an ? aqn 为递增数列"的一个充分不必要条件是(



A. a ? 0, q ? 1 B. a ? 0, q ? 0

C. a ? 0, q ? 0

D. a ? 0, 0 ? q ? 1 2

4. 将函数 y ? cos(x ? ? ) 的图像上各点的横坐标伸长到原的 2 倍(纵坐标不变),再向左平 3

移 ? 个单位,所得图像的一条对称轴方程为( ) 6

A. x ? ? 9

B. x ? ? 8

C. x ? ? 2

D. x ? ?

5.已知函数 f (x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a,b ? R) , f (lg(log2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? ( )

A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

6. 下列命题正确的是(



A.异面直线 a, b 不垂直,则不存在互相垂直的平面? , ? 分别过 a, b ; B.直线 l 不垂直平面? ,则? 内不存在与 l 垂直的直线; C.直线 l 与平面? 平行,则过? 内一点有且只有一条直线与 l 平行; D.平面? , ? 垂直,则过? 内一点有无数条直线与 ? 垂直.
7.若函数 f (x) ? kax ? a?x (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则
函数 g(x) ? loga (x ? k) 的图象是( )

8.在 ?ABC 中, D 是 BC 边上一点, BD ? 3DC ,若 P 是 AD 边上一动点,且 AD ? 2 , 则 PA (PB ? 3PC) 的最小值为( )

A. ?4

B. ?3

C. ?2

D. ?1

9.设抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径

的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为( )

A. y2 ? 4x 或 y2 ? 8x

B. y2 ? 2x 或 y2 ? 8x

C. y2 ? 2x 或 y2 ? 16x

D. y2 ? 4x 或 y2 ? 16x

? ? 10. 函数 f (x) ? min

2

x, x?2

,其中

min

?a,

b?

?

?a, ??b,

a a

? ?

b b

,若动直线

y

?

m

与函数

y ? f (x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1, x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 的最

大值为(

)

A.4

B.3

C.2

D.1

二、填空题(本大题共 7 小题, 每小题 4 分,共 28 分)

11.设 a ? 1 , b ? 2 ,且 a,b 夹角1200 ,则 2a ? b =



12.

若 tan?

?

2

,则

sin

sin 2? 2? ?4

?1 cos

2

?

=



? 0 ? x ? 2, 13.已知关于 x, y 的不等式组 ??ax ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 a 的值
?? x ? y ? 2 ? 0





? ? 14.已知数列 an 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ak1 , ak2 , ak3 , , akn , 成等

比数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 ,则 k4 ?



D1
15.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的

内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为

. A1

C1 B1

16.已知正实数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a2 ? b2 ? 1 的最小 ab

值为

.

17. 已知点 P 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点, a2 b2
过点 P 作双曲线的渐近线的平行线,分别与两渐近线交于
M , N 两点,若 PM ? PN ? b 2 ,则该双曲线的离心率为

·O

D

C

A

B

.

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤)

18.(本题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 b ? sin 2C .
a sin A

(Ⅰ)若C ? 5 ? ,求角 B 的大小; 12

(Ⅱ)若b ? 2 , ? ? C ? ? ,求△ ABC 面积的最小值.

3

2

19.

(本小题满分 14 分)

已知函数

f

?x? ?

1 x2 2

?

3 2

x

,数列

?an

?

的前

n

项和为

Sn



? ? 点 ?n, Sn ? n ? N ? 均在函数 y ? f ? x? 的图象上.

(I)求数列?an? 的通项公式 an ;

(II)令 cn

?

an an?1

?

an?1 an

,证明: 2n

?

c1

? c2

?

?

cn

?

2n

?

1 2

.

20.(本题满分 15 分) 如图,平面 ABCD ⊥平面 ADEF ,其中 ABCD 为矩形, ADEF 为 梯形, AF ∥ DE , AF ? FE , AF ? AD ? 2DE ? 2 . (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小;
(Ⅱ) 若二面角 A ? BF ? D 的平面角的余弦值为 1 ,求 AB 的长. 3

B

C

A

D

E

F (第 20 题图)

21.

(本小题满分

15

分)

若 P(x0 , y0 )

(x0

? ?a) 是椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 上一点,

M , N 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率的乘积等于 ? 1 . 4

(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e 的值;

(Ⅱ)过椭圆 E 的右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 A, B 两点, O 为坐标原点,

若 C 为椭圆上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求实数 ? 的值.

y

B

M

O

N

F

x

A

(21 题)

22.(本小题满分 14 分)已知 a, b 是实数,函数 f (x) ? 3x2 ? a , g(x) ? 2x ? b ,若 f (x) ? g(x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g(x) 在区间 I 上为“ ? 函数”.
(Ⅰ)设 a ? 0 ,若 f (x) 和 g(x) 在区间[?1, ??) 上为“ ? 函数”,求实数 b 的取值范围;
(Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若 f (x) 和 g(x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,求 a ? b
的最大值.

台州中学 2014 学年第一学期第三次统练答案

高三 数学(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

B

D

C

C

C

C

A

D

D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11. 2

9
12.
8

13.1 14. 14

15. ? 6

16. 17 2

17. 2 3 3

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本题满分 14 分)(Ⅰ)由正弦定理,得 b ? sin B ? sin 2C . a sin A sin A

∴ sin B ? sin 2C ? sin 5 ? ? 1 .∴ B ? ? ( B ? 5? 舍).

62

6

6

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? .

又 B ? 2C 时, ? ? C ? ? , B ? 2 ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾.

3

2

3

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C .

所以 S ?ABC

?

1 hb ? tanC 2

?

3 ,即当 C

?

? 3

时, S ?ABC

的最小值是

3 .……14 分

19.(1)

点 ?n, Sn

?



f

? x? 的图象上,? Sn

?

1 2

n2

?

3 2

n



当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ?1;
? ? 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 适合上式,?an ? n ?1 n ? N ? ;

………………6 分

(2)证明:由 cn

?

an an?1

?

an?1 an

?

n ?1 n?2

?

n?2 n ?1

?

2

n?1 ? n? 2 ? 2, n? 2 n?1

?c1 ? c2 ?

?

cn

?

2n

,又 cn

?

n ?1 n?2

?

n?2 n ?1

?

2

?

1 n ?1

?

n

1 ?

2



?c1 ? c2 ?

?

cn

?

2n

?

?? ????

1 2

?

1 3

? ??

?

? ??

1 3

?

1 4

? ??

?

?

? ??

1 n ?1

?

n

1 ?

2

?? ????

?

2n

?

1 2

?

n

1 ?

2

?

2n

?

1 2

,? 2n

?

c1

?

c2

?

?

cn

?

2n

?

1 2

成立.………………14



20.(本题满分 15 分) (Ⅰ) 延长 AD,FE 交于 Q.

因为 ABCD 是矩形,所以 BC∥AD,

B

C

所以∠AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角.

在梯形 ADEF 中,因为 DE∥AF,AF⊥FE,AF=

2,DE=1 得 ∠AQF=30°.………………………5 分

A

H

D

Q

G

E

(Ⅱ) 方法一:设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得

F

DG⊥AF.因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,

(第 20 题图)

所以 AB⊥平面 ADEF,所以 AB⊥DG.所以 DG⊥平面 ABF.

过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF,

所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角.

在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 .

在直角△BAF 中,由 AB =sin∠AFB= GH ,得 GH = 1 ,

BF

FG

x

x2 ? 4

所以 GH=

x .在直角△DGH 中,DG= x2 ? 4

3 ,GH=

x ,得 DH= 2 x2 ? 4

x2 ? 3 . x2 ? 4

因为 cos∠DHG= GH = 1 ,得 x= 2 15 ,所以 AB= 2 15 .………… 15 分

DH 3

5

5

方法二:设 AB=x.

以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则

F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),

所以 DF =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x). 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). B

z C

设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则

?? 2x1 ? z1x ? 0, ? ??x1 ? 3y1 ? 0,

A

D

y

E

所以,可取 n2 =(

3 ,1, 2 3 ). x

Fx (第 20 题图)

因为

cos<

n1



n2

>=

|

n1 ? n2 n1 | ? | n2

|



1 3

,得

x=

2 5

15 ,所以 AB= 2 5

15 .

21. (本小题满分 15 分)

(Ⅰ)由

x0 2 a2

?

y02 b2

?1,

y0 x0 ? a

?

y0 x0 ? a

??1 4



得: a 2 ? 4b 2 , c 2 ? 3b 2 ,所以 e ? c ? 3 . a2

…5 分

(Ⅱ)由方程组

? ?

x

2

?

4y2

?y ? x ? c

? 4b 2

得: 5x 2

? 8cx ? 8b 2

?0,

则 x1

? x2

? 8c 5

, x1 x2

? 8b 2 5



再设 C(x3 ,

y3 ) , OC

?

? OA ? OB

,即

?x3

? ?

y

3

? ?x1 ? ?y1

? ?

x2 y2



由于 C 为椭圆上的点,即 x32 ? 4 y32 ? 4b 2 ,

则 (?x1 ? x2 ) 2 ? 4(?y1 ? y2 ) 2 ? 4b 2 ,整理得:

?2 (x12 ? 4 y12 ) ? (x2 2 ? 4 y2 2 ) ? 2?(x1x2 ? 4 y1 y2 ) ? 4b 2 (*),

由于 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) 在椭圆上,即 x12 ? 4 y12 ? 4b 2 , x2 2 ? 4 y2 2 ? 4b 2 ,

又 x1x2 ? 4 y1 y2 ? x1x2 ? 4(x1 ? c)(x2 ? c) ? 5x1x2 ? 4c(x1 ? x2 ) ? 4c 2

? 8b 2 ? 32 c 2 ? 4c 2 ? 4 b 2 ,

5

5

所以,(*)式可化为 4b 2?2 ? 4b 2 ? 2? ? 4 b 2 ? 4b 2 ,即 ?2 ? 2 ? ? 0 ,

5

5

解得: ? ? 0 ,或 ? ? ? 2 . 5

…………15 分

22.(本小题满分 14 分)
解答:(Ⅰ)因为 f (x) 和 g(x) 在区间[?1, ??) 上为“ ? 函数”,所以

f (x) ? g(x) ? 0 ,在 x ?[?1, ??) 上恒成立,

即 x ?[?1, ??) , (3x2 ? a)(2x ? b) ? 0 ∵ a ? 0 ∴ 3x2 ? a ? 0

∴ 2x ? b ? 0 即 b ? ?2x

∴ b ? (?2x)max ∴ b ? 2 ………………4 分

(2)①当 b ? a 时,因为 f (x) 和 g(x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,

所以, f (x) ? g(x) ? 0 在 x ? (b, a) 上恒成立,即 x ? (b, a) , (3x2 ? a)(2x ? b) ? 0 恒成立

b ? a ? 0,??x ? (b, a), 2x ? b ? 0 ,??x ? (b, a), a ? ?3x2,

∴ b ? a ? ?3b2 ∴ a ? b ? ?3b2 ? b ? ?3(b ? 1)2 ? 1 ? 1 6 12 12
②当 a ? b ? 0 时,因为 f (x) 和 g(x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,所以,

即 x ? (a,b) , (3x2 ? a)(2x ? b) ? 0 恒成立 b ? 0,??x ? (a,b), 2x ? b ? 0,

??x ? (a,b), a ? ?3x2, ?a ? ?3a2,?? 1 ? a ? 0, ∴ b ? a ? 1

3

3

③当 a ? 0 ? b 时,因为 f (x) 和 g(x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,

所以,即 x ? (a,b) , (3x2 ? a)(2x ? b) ? 0 恒成立

b ? 0, 而 x ? 0 时, (3x2 ? a)(2x ? b) ? ab ? 0 不符合题意,

④当 a ? 0 ? b 时,由题意: x ? (a, 0) , 2x(3x2 ? a) ? 0 恒成立

∴3x2 ? a ? 0 ∴ ? 1 ? a ? 0 ∴b ? a ? 1

3

3

综上可知, a ? b ? 1 . max 3

…………………………14 分