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江苏省邳州市第二中学高一数学必修四《3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式》课件

1.已知角的一个三角函数值,能运 用同角公式求其他三角函数值. 2.熟练掌握诱导公式及同角公式, 能求值、化简、证明. 1.同角三角函数关系式: sin 2 ? ? cos 2 ? ? ① __________ . ?1? 平方关系: tan ? ? ② __________ . ? 2 ? 商数关系: 2.三角函数的诱导公式 (巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限) 注意:记忆公式中始终假视为锐角 公式一: ? 正弦 余弦 正切 2kp+? sin? ③____ tan? -? ④_____ cos? -tan? p-? sin? -cos? ⑤_____ p+? -sin? -cos? tan? 2p-? -sin? ⑥____ -tan? 公式二: ? 正弦 余弦 -? ⑦_____ sin? +? cos? ⑧_____ p-? ⑨_____ -sin? p+? -cos? ⑩_____ 【要点指南】 sin? ①1;② ;③ cos ?;④ ? sin ?; cos? ⑤ ? tan ?;⑥ cos ?;⑦ cos ?; ⑧ ? sin ?;⑨ ? cos ?;⑩ sin ? 1.(2012· 格致中学)cos300° =( 3 A.- 2 1 C.2 1 B.-2 3 D. 2 ) 1 【解析】cos300° =cos(360° -60° )=cos60° = . 2 3 3 2.(2011· 重庆卷)若 cosα=- 且 α∈(π,π), 则 tanα=( 5 2 4 A. 3 4 C.- 3 3 B. 4 3 D.- 4 ) 3 3 【解析】由 cosα=- 且 α∈(π, π), 5 2 4 sinα 4 则 sinα=- ,所以 tanα= = . 5 cosα 3 17π 17π 3.cos(- )-sin(- )的值为( 4 4 A. 2 C.0 B.- 2 2 D. 2 ) 17π 17π π 【解析】原式=cos 4 +sin 4 =cos(4π+4)+sin(4π π 2 2 +4)= 2 + 2 = 2. 2sinα+3cosα 7 4.已知 tanα=2,则(1) = 2 . 4cosα-sinα 8 (2)sin α+2sinαcosα= 5 2 . 2tanα+3 4+3 7 【解析】(1)原式= = =2; 4-tanα 4-2 2 2 sin α + 2sin α cos α tan α+2tanα 2 (2)sin α+2sinαcosα= = 2 2 sin α+cos α tan2α+1 8 =5. 1 π 3 5.若 sin(π+α)=-2,α∈(2,π),则 sinα= - 2 . 1 【解析】根据诱导公式,sin(π+α)=-sinα,所以 sinα=2, π 3 2 又 α∈(2,π),故 cosα=- 1-sin α=- 2 . 一 利用诱导公式化简求值 学· 科网 2sin?π+α?· cos?π-α?-cos?π-α? 【例 1】 已知: f(α)= , 3π π 1+sin2α+cos? +α?-sin2? +α? 2 2 π 且 1+2sinα≠0.求 f(- )的值. 6 ?-2sinα?· ?-cosα?-?-cosα? 【解析】 f(α)= 1+sin2α+sinα-cos2α 2sinαcosα+cosα = 1+sin2α+sinα-cos2α cosα?2sinα+1? = sinα?2sinα+1? cosα 1 = = , sinα tanα π 1 所以 f(- )= =- 3. 6 π tan?- ? 6 【点评】 (1)在使用诱导公式时,α 可为任意角,并 不一定要为锐角,只不过是在运用的过程中把它 “ 看 做”锐角而已. (2)活用“奇变偶不变,符号看象限”能快而准地直 达目的地. 素材1 29 12 求 sin(- π)+cos π·tan4π-cos(-1320° )+sin1350° . 6 5 7 12 【解析 】 原 式= sin π + cos π·tan0 - cos120° + 6 5 1 1 sin270° =- +0+ -1=-1. 2 2 二 利用同角公式的弦切转化 1 【例 2】(1)已知 sinα = ,且 α 为第二象限角,求 3 tanα. π (2)已知 tanx=sin(x+ ),求 sinx. 2 1 【解析】(1)因为 sinα= ,且 α 为第二象限角, 3 2 2 所以 cosα=- 1-sin α =- , 3 2 sinα 2 所以 tanα= =- . 4 cosα π (2)因为 tanx=sin(x+ ),所以 tanx=cosx, 2 所以 sinx=cos2x,即 sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= -1± 5 , 2 -1- 5 -1+ 5 又 <-1,不合题意舍去,所以 sinx= . 2 2 【点评】 同角三角函数关系式是化异名 (函数)为同 名(函数)的基础,主要的三个关系式为 sin2x+cos2x=1, sinx tanx= , 转化时注意符号的取舍, 如角的范围不确定, cosx 则注意分类讨论. 素材2 1 若 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα=5,则 tanα=( ) 4 A.3 3 C.-4 4 B.-3 4 3 D.-3或-4 ?sin2α+cos2α=1 ? 【解析】由? 1 ?sinα+cosα=5 ? ? ?sinα=4 5 ? 解得? 3 ? cosα=-5 ? ? , ? ?sinα=-3 5 ? 或? 4 ? cosα=5 ? ? . 三 同角三角函数基本公式的灵活应用 1 【例 3】已知:sinα+cosα= ,α∈(0,π),求 tanα 的值. 5 【 分 析