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1.3.1-空间几何体的表面积与体积


空间几何体的表面积与体积
兆麟中学高一数学组

复习回顾

S ? ab ? (1)矩形面积公式: __________ 。
1 S ? ah 2 ? (2)三角形面积公式:_________ 。 3 2 S? a 4 ? 正三角形面积公式:_______ 。
2 S ? ? r ? (3)圆面积面积公式:_________。

? (4)圆周长公式: ? (5)扇形面积公式: ? (6)梯形面积公式:

C ? 2? r 。 _________
1 S ? rl 2 __________ 。
1 S ? ( a ? b) h 2 __________

长方体体积:V ? abc 正方体体积:V ? a
3
2

圆柱的体积:V ? ? r h
1 圆锥的体积: V ? Sh 3

? ? V ? Sh ?

(一)柱体、锥体、台体的表面积
思考:面积是相对于平面图形而言的,体 积是相对于空间几何体而言的. 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积:几何体表面面积的大小

1.几何体的展开图与其表面积的关系
在中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

例1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的 四面体S-ABC,求它的表面积 .
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 解:过点S作 SD ? BC,交BC于点D.

S A B D

∵ BC ? a , SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( a )2 ? 3 a 2 2

? S?SBC

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4
3 S ? 4? a ? 3a 2 2

因此,四面体S-ABC的表面积为
C

3.;圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2? r ? 2? rl ? 2? r(r ? l )
2

S圆锥表面积 ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

2?r

l

r

O

圆锥的侧面展开图是扇形

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆 台的侧面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O

圆台的侧面展开图是扇环

r 'O’
l

x

2?r '

r x ? r x?l

'

2?r

rx ? r x ? r l
' '

r

O

设小圆锥的母线长为 x

S



? ? r (l ? x) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x )
'2

? ? ( r l ? rl )
'

? S ? ? ( r ? r 2 ? r 'l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系?
S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r

O

O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm, 盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂 油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个 这样的花盆需要多少油漆
解:花盆外壁的表面积:
S ? ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2
20cm

? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

15 cm
15 cm

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升) 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

4.柱体、锥体、台体的体积

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方 向得到,因此,两个底面积相等、高也相 等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积.
V柱体= sh

h

h

S

S

S

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥, 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三 棱柱的体积有什么关系?
A1 B1 C1 A1 B1 C1

A

C

A

C

B

B

经探究得知,棱锥(圆锥)是同底等 1 高的棱柱(圆柱)的 ,即棱锥(圆锥)的体 3 1 积: V ? Sh
3

由此可知, 棱柱与圆柱的体积公式类似,底面面积乘高; 棱锥与圆锥的体积公式类似,底面面积乘高 1 的 .
3

P

根据台体的特征,如何求台体的体积? 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的 设小棱锥的高为 x

A?

S?
B?

D?

C?

1 1 ' V ? V大 ? V小 ? S ( h ? x ) ? S x 3 3 1 ? [ Sh ? ( S ? S ' ) x ] 3
S' x2 ? ? 2 S (h ? x )
S' x ? ? x? S h? x

h
A
S' h

D

S

C
B

S ? S'

' 1 S V ? h[ S ? ( S ? S ' ) ] ' 3 S? S

1 ? [ S ? SS ' ? S ' ]h 3

1 ' ?V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

' ' 1 1 ' S ? S S ?0 ' V ? Sh V ? Sh V ? ( S ? S S ? S )h 3 3

例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度 3 7.8 g / cm 是 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面 是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm, 高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个
解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.

圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台 S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )
r? ? 0

圆锥 S ? ?r (r ? l ) 展开图

各面面积之和

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

1 锥体V ? Sh 3


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