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安徽省南陵中学2019届高三第一次模拟考试数学文试题

安徽省南陵中学 2019 届高三第一次模拟考试
数学(文)试卷
考试时间:120 分钟;满分 150 分;命题人:秦朝斌 第 I 卷(选择题)

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? i(1 ? i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.平面向量 a与b 的夹角为 60 ,a ? ?2,0?,b ?1,则 a ? 2b 等于( )

A. 2 2 B. 2 3 C.12

D. 10

3.已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知命题 p:对于 ?x ? R ,恒有 2x ? 2?x ? 2 成立,命题 q:奇函数 f ? x? 的图象必过原点.则下列

结论正确的是( )

A. p ? q 为真

B. ??p? ? q 为真 C. p ? ??q? 为真

D. ?p 为真

?x ? y ?1 ? 0, 5. 已知实数 x , y 满足 ??2x ? y ? 2 ? 0,则 x ? 3y 的最小值为( )
??x ? 2 y ? 2 ? 0.

A. ?4

B. ?3

C. 0

D.1

6. 一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是正方形,那 么该几何体的左(侧)视图的面积是( )

·1·

A. 2 B. C. 4 D. 2

7.已知 m, n 为不同的直线 ,? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是( )

A. m ? ?, n / /m ? n / /?

B. m ? ?, n ? m ? n ? ?

C. m ? ?, n ? ? , n / /m ? ? / /?

D. n ? ?, n ? ? ? ? ? ?

8.

已知正实数 m, n 满足 m ? n ?1,且使 1 m

? 16 m

取得最小值.若曲线 y

?

x

a

过点

P

? ??

m 5

,

n 4

???,则?



值为( )

A. ?1

B. 1 2

C.2 D.3

9.已知 f ? x ?1? ? f ?x ?1?, f ?x? ? f ??x ? 2? ,方程 f ? x? ? 0在?0,1? 内有且只有一个根

x ? 1,则f ? x? ? 0 在区间?0, 2014? 内根的个数为( )
2

A.2019

B.2019

C.1007

D.1006

10.



A

是抛物线 C1

:

y2

?

2 px ?

p

?

0?

与双曲线 C2

:

x2 a2

? y2 b2

?1?a ? 0,b ? 0? 的一条

渐近线的交

点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

11. 执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值为 2,则输出的 i 值为( )

·2·

A.2

B.3

C.4

D.5

12.

已知函数

f

?

x?

?

1 3

x3

?

1 2

ax2

?

bx

?

c在x1 处取得极大值,在

x2

处取得极小值,满足

x1

?

?

?1,

0?

,

x2

?

?

0,1?,则

a

? 2b ? a?2

4

的取值范围是(



A. ?0, 2?

B. ?1,3?

C. ?0,3?

D. ?1,3?

·3·

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知直线 y ? kx ?1与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的值为

.

14.设 F1 和 F2 是双曲线 ﹣y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△ F1PF2 的 面积是 _________ . 15. 某班有学生 55 人,现将所有学生按 1,2,3,…,55 随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个
容量为 5 的样本,已知编号为 6, a, 28,b,50 号学生在样本中,则 a ? b ? _______.

16.已知幂函数

f(x)的图象经过点

? ???

1 8

,2 4

? ???

,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两

点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③

(f x1)? x1

f (x2 ) ;④ x2

(f x1)? x1

f (x2 ) . x2

其中正确结论的序号是__________.

三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分)

17.(10 分)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作,准备在 A 和 B 两所大学分别招募 8 名和 12 名志愿者,将这 20 名志愿者的身高编成如右茎叶图(单位:cm).若身高在 175cm 以上(包括 175cm)

定义为“高精灵”,身高在 175cm 以下 (不包括 175cm)定义为“帅精灵”.已知 A 大学志愿者的身

高的平均数为 176cm,B 大学志愿者的身高的中位数为 168cm.

(I)求 x, y 的值;

(II)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人.求至少

有一人为“高精灵”的概率.

·4·

18.在△ ABC 中,a、b、c 为角 A、B、C 所对的三边,已知 b2+c2﹣a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的值;

(Ⅱ)若



,求 c 的长.

19.(本小题满分 12 分)(12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1,A1A⊥底面 ABC,且△ABC 为正三角形, A1A=AB=6,D 为 AC 中点. (Ⅰ)求三棱锥 C1﹣BCD 的体积; (Ⅱ)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A1; (Ⅲ)求证:直线 AB1∥平面 BC1D.

20.(本小题满分 12 分)
已知等差数列?an? 满足, a1 ? a2 ? a3 ? 9, a2 ? a8 ? 18 .数列?bn? 的前 n 和为 Sn ,且满足

Sn ? 2bn ? 2 .

(I)求数列?an? 和?bn? 的通项公式;

(II)数列?cn? 满足 cn

?

an bn

,求数列?cn? 的前

n

和 Tn

.

21.

(本小题满分 12 分)已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1, F2 距离之和为

·5·

4 2 ,离心率为 3 . 2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线 l 的斜率为 1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.点 P(2,1) 为椭圆上一点,求△PAB 的面 2
积的最大值.

22.已知函数 f (x)= ax3 + bx2 ln x ,若 f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y = 2x - 2 .

(1)求 f (x) 的解析式;

(2)求 f (x) 在[1 ,e] 上的单调区间和最值;
e

(3)若存在实数 m ? ?? 2,2?,函数 g(x) ? 2 x3 ln x ? 2 x3 ? (2m ? n)x 在(1,e) 上为单调减函

3

9

数,求实数 n 的取值范围.

·6·

试卷答案
1.A 2.B 3.C 考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 lga+lgb=0,则得到 lgab=0,即 ab=1,然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函 数的图象. 解答: 解;解:∵lga+lgb=0, ∴lgab=0,即 ab=1,b=

∵函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=﹣logbx ∴函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=logax, a>1,f(x)与 g(x)都是单调递增, 0<a<1,f(x)与 g(x)都是单调递减, ∴f(x)与 g(x)单调相同, 故选:C 点评: 本题主要考查指数函数和对数函数的图象的判断,利用对数的运算法则确定 ab=1 是解决本 题的关键,根据函数单调性的对应关系解决本题即可. 4.C5.A6. B 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形,可得结论. 解答: 解:由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形, 因为主(正)视图是边长为 2 的正三角形,

所以几何体的左(侧)视图的面积 S=

=

故选:B.

点评: 本题考查由三视图求面积、体积,求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特

征.

7.D8.B 9.A10.C11.C 12.B

·7·

13.3

14. 1

15.56 16.②③

17. 解(Ⅰ)由题意得:
159+168+170+170 ? x ?176 ?182 ?187 ?191 ? 176, -------------------2 分 8
160+y ?169 ? 176 -------------------4 分 2

解得: x ? 5, y ? 7 -------------------5 分

(Ⅱ)由题意知“高精灵”有 8 人,“帅精灵”有 12 人. 如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅

精灵”中抽取 5 人,则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为:

8? 5 ? 2 和12? 5 ? 3 -------------------6 分

20

20

记抽取的“高精灵”为 b1, b2 ,抽取的“帅精灵”为 c1, c2 , c3 .

从已抽取的 5 人中任选两人的所有可能为:

(b1,b2 ), (b1,c1), (b1,c2 ), (b1,c3 ) ,

(b2 , c1), (b2 , c2 ), (b2 , c3 ), (c1, c2 ), (c1, c3), (c2, c3), 共 10 种. -------------------8 分 设“选取的两人中至少有一人为“高精灵””为事件 A ,则事件 A 包括 (b1, b2 ), (b1,c1), (b1,c2 ), (b1,c3 ) ,

(b2 , c1), (b2 , c2 ), (b2 , c3 ) ,共 7 种. -------------------10 分 所以 P( A) ? 7
10
因此,如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,,则至
少有一人为“高精灵”的概率为 7 .-------------------12 分 10

18.解:(Ⅰ)b2+c2﹣a2=bc,

∵0<A<π∴

(Ⅱ)在△ABC 中, ∴
由正弦定理知:







·8·





.∴b=

19. 考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题.

分析: (Ⅰ)先根据△ABC 为正三角形,D 为 AC 中点,得到 BD⊥AC,求出△BCD 的面积;再根据

C1C⊥底面 ABC 即可求出三棱锥 C1﹣BCD 的体积; (Ⅱ)先根据 A1A⊥底面 ABC,得到 A1A⊥BD,再结合 BD⊥AC 即可得到 BD⊥平面 ACC1A1.即可证:平 面 BC1D⊥平面 ACC1A1; (Ⅲ)连接 B1C 交 BC1 于 O,连接 OD,根据 D 为 AC 中点,O 为 B1C 中点可得 OD∥AB1,即可证:直线 AB1∥平面 BC1D. 解答: (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)∵△ABC 为正三角形,D 为 AC 中点,

∴BD⊥AC,

由 AB=6 可知,







又∵A1A⊥底面 ABC,且 A1A=AB=6,

∴C1C⊥底面 ABC,且 C1C=6,





…(4 分)

(Ⅱ)∵A1A⊥底面 ABC, ∴A1A⊥BD. 又 BD⊥AC, ∴BD⊥平面 ACC1A1. 又 BD?平面 BC1D, ∴平面 BC1D⊥平面 ACC1A1. (Ⅲ)连接 B1C 交 BC1 于 O,连接 OD, 在△B1AC 中,D 为 AC 中点,O 为 B1C 中点,

…(8 分)

·9·

所以 OD∥AB1, 又 OD?平面 BC1D, ∴直线 AB1∥平面 BC1D.

…(12 分)

点评: 本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算.在证

明线面平行时,一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行.

20.

(I)设等差数列{an } 的公差为

d

,则

???23aa52

?9 ? 18

,得

???aa52

? ?

3
,---------------------2
9



a5 ? a2 ? 6 ? 3d ,得 d ? 2 , an ? a2 ? (n ?1)d ? 2n ?1 .-----------------3 分

当 n ? 1时, b1 ? 2b1 ? 2 ,得 b1 ? 2 ,

? ??Sn?1

Sn ? 2bn ? 2bn?1 ?

?2 2(n

?

2) ,两式相减得 bn

?

2bn?1 ,又 b1

?

2

?

0,

所以数列 ?bn ?是首项为 2,公比为 2 的等比数列, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,

数列 ?an?和 ?bn?的通项公式分别是 an ? 2n ?1,bn ? 2n .---------------------------6 分

(II) cn

?

an bn

?

2n ? 1 ,------------------------------7 2n



Tn

?

1 2

?

3 22

???

2n ?1 2n



1 2

Tn

?

1 22

?

3 23

???

2n ? 3 2n

?

2n ?1 2n?1



所以

1 2

Tn

?

1 2

?

2 22

?

2 23

???

2 2n

?

2n ?1 ,---------------------8 2n?1



·10·

?

1 2

?

1 2

(1? 1?

1
2n?1 1

)

?

2n ?1 2n?1

2

?

3 2

?

2n ? 3 2n?1

------------------------11



所以 Tn

?

3?

2n ? 3 2n

.--------------------------12



? 2a ? 4 2

21.解析:(1)由条件得:

??????ae2??acb

?
2

?

3
2 c2

,解得

a

?

2

2,c ?

6,b ?

2 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ?1 82

(2)设 l

的方程为

y

?

1 2

x

?

m

,点

A( x1 ,

y1),

B( x2 ,

y2 ),



? ??

y

?

1 2

x

?

m

? ?

x2

?? 8

?

y2 2

?1

消去

y



x2

?

2mx

?

2m2

?

4

?

0



令 ? ? 4m2 ? 8m2 ?16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4 .

则由弦长公式得 AB ?

1? 1 ? 4

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

5 2

5(4 ? m2 ) .

又点 P 到直线 l 的距离 d ? m ? 2 m , 1? 1 5 4

∴ S?PAB

?

1 2

AB d

?

1? 2

2m 5

?

5(4 ? m2 ) ?

m2(4 ? m2) ? m2 ? 4 ? m2 ? 2 , 2

当且仅当 m2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2.

22





·11·

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