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2018年高考数学黄金100题系列第01题集合的性质与运算文!


第 01 题 集合的性质与运算

I.题源探究·黄金母题 【例 1】 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? , 求 CR ( A ? B) , CR ( A ? B) , (CR A) ? B , A ? (CR B) . 【解析】甴已知利用数轴易得

精彩解读 【试题来源】 人教版 A 版必修一第 14 页 A 组第 10 题

【母题评析】本题以不等式为载体,考查集合 的运算问题 . 本类考查方式是近几年高考试题 常常采用的命题形式,达到一箭双雕的目的.

A ? B ? ?2 , 10? , A ? B ? ?3 , 7? , ?CR ( A ? B) ? ? ?? , 2? ? ?10 , ? ?? , ?CR ( A ? B) ? ? ?? , 3? ? ?7 , ? ?? ,

【思路方法】借助数轴为工具,利用集合各类

CR A ? ? ?? , 3? ? ?7 , ? ?? , CR B ? ? ?? , 2? ? ?10 , ? ?? , 运算的方法直接求解,但需要注意区间方向以
?CR ( A) ? B ? ? 2 , 3? ? ?7 ,10? , A ? (CR B) ? ? ?? , 2? ? ?3, 7? ? ?10 , ? ?? .
II.考场精彩·真题回放 【例 2】 【2017 高考天津,理 1】设集合 A ? ?1, 2 , 6? , 【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、 并、补运算. 【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基 本以选择题或填空题的形式出现,难度较小, A. {2} C. {1, 2, 4,6} 【答案】 B 【解析】 ( A ? B) ? C ? {1 , 2, 4, 6} ? [?1, 5] ? {1, 2, 4} ,选 B. 【例 3】 【2017 高考山东,理 1】设函数 y ? B. {1, 2, 4} D. {x ? R | ?1 ? x ? 5} 【难点中心】对集合运问题,首项要确定集合 类型,其次确定集合中元素的特征,先化简集 合,若元素是离散集合,紧扣集合运算定义求 解,若是连续数集,常结合数轴进行集合运算, 若是抽象集合,常用文氏图法,本题是考查元 素是离散的集合交集运算,是基础题. 往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系. 及区间端点值的验证,确保准确无误!

B ? ?2 , 4? , C ? ? x ? R ? 1 ? x ? 5? ,则 ( A ? B) ? C ?

4 ? x 2 的定

义域 A ,函数 y ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 B ,则 A ? B ? A. ?1, 2? 【答案】D
2 【解析】由 4 ? x ? 0 得 ?2 ? x ? 2 ,由 1 ? x ? 0 得 x ? 1 ,

B. ?1, 2?

C. ? ?2 ,1?

D. ? ?2 ,1?

1

故 A ? B={x | ?2 ? x ? 2} ?{x | x ? 1} ? {x | ?2 ? x ? 1} , 选 D.

2

III.理论基础·解题原理 考点一 集合的基本概念

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性; (2)集合中元素与集合的关系:元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 和; (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图. 2.常见数集及其表示符号 自然数集用 N 表示,正整数集用 N * 或 N+ 表示,整数集用 Z 表示,有理数集用 Q 表示, 实数集用 R 表示. 考点二 集合间的基本关系

(1)子集:对任意的 x ? A ,都有 x ? B ,则 A ? B (或 B ? A ) ; (2)真子集:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则 A ? B (或 B ? A ) ; (3)性质: ? ? A ,A ? A ,A ? B ,B ? C ? A ? C ; (4)集合相等:若 A ? B ,且 B ? A ,则 A ? B . 考点三 集合的并、交、补运算:

(1)并集: A ? B ? x x ? A ,或 x ? B? ; (2)交集: A ? B ? x x ? A ,且 x ? B? ; (3)补集: CU A ? x x ? U ,且 x ? A? ;U 为全集, CU A 表示集合 A 相对于全集 U 的 补集. (4)集合的运算性质: ① A? B ? A ? B ? A , A? B ? A ? A ? B ; ② A? A ? A, A?? ? ? ; ③ A ? A ? A ,A ? ? ? A ; ④ A ? CU A ? ? ,A ? CU A ? U ,CU (CU A) ? A . IV.题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,难度较小,往往与函数 的定义域、值域、解不等式有联系.

? ?

?

【技能方法】 解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函 数定义域及值域有关数集之间的运算,先化简集合,常借助数轴求交集.求集合的基本运算时, 要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两 个先决条件. 【易错指导】 (1)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如 A ? B (B ??) ,则有 A ? ? 和 A ? ? 两种可能; (2)在子集个数问题上,要注意 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,任何 集合是其本身的子集,在列举时千万不要忘记; (3)在用数轴法判断集合间的关系时,其端点值能否取到,一定要注意用回代检验的方法 确定.如果两个集合的端点值相同, 则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的 关系. V.举一反三·触类旁通 考向 1 集合关系的判断 【例 4】 【2016 河北石家庄质检二,理 1】设集合 M ? ??1,1 ? , N ? x | x ? x ? 6 ,则
2

?

?

下 ( )















A. N ? M 【答案】C

B. N ? M ? ?

C. M ? N

D. M ? N ? R

【解析】 ? ? x ?2 ? x ? 3 ,所以 ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ,故选 C. 考向 2 根据集合关系求参数的值或范围 【例 5】 【2017 高考课标 II,理 2】设集合 A ? ?1, 2 , 4? , B ? x x ? 4 x ? m ? 0 。若
2

?

?

?

?

A ? B ? ?1? ,则 B ?
A. ?1, ?3? 【答案】C B. ?1,0? C. ?1,3? D. ?1,5?

【点评】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在 求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范:一是不要忽视元素的 互异性;二是保证运算的准确性。

【例 6】 【2017 高考江苏,1】已知集合 A ? {1, 2} , B ? {a, a2 ? 3} ,若 A ? B ? {1} 则实数的 值为 ▲ .

【答案】1

【考点】元素的互异性 【名师点睛】(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数 集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否 则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A ? B ? ?, A ? B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先 考虑 ? 是否成立,以防漏解. 考向 3 集合中的子集或元素个数问题

) x ? y ? 1 ,B= ( x, y│ ) y?x , 【例 7】 【2017 高考全国 III, 理 1】 已知集合 A= ( x , y│
2 2

?

?

?

?

则 A ? B 中元素的个数为

A.3
【答案】B

B.2

C.1

D .0

【解析】集合中的元素为点集,由题意,结合 A 表示以 ? 0, 0 ? 为圆心, 为半径的单位圆
2 2 上所有点组成的集合,集合 B 表示直线 y ? x 上所有的点组成的集合,圆 x ? y ? 1 与直线

y ? x 相交于两点 ?1,1? , ? ?1, ?1? ,则 A ? B 中有两个元素.故选 B.
【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和 化简集合, 这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影 响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异 性. 【例 8】 【2017 北京朝阳区二模】已知两个集合 A, B ,满足 B ? A .若对任意的 x ? A , 存在 ai , a j ? B ?i ? j ? , 使得 x ? ?1ai ? ?2 a j( ?1 , ?2 ???1,0,1? ) , 则称 B 为 A 的一个基集. 若

A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10? ,则其基集 B 元素个数的最小值是
【答案】4



【解析】若基集 B 元素个数不超过三个: ai , a j , ak (i, j, k 互不相等) ,则最多可表示

ai , a j , ak , ai ? a j , ak ? ai , a j ? ak , ai ? a j , ak ? ai , a j ? ak | 九个元素,因此基集 B 元素个数的
最小值是 4 个,如 B ? ?2,3,6,7? 。 【例 9】 【 2015 高 考 湖 北 文 10 理 】 已 知 集 合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} ,
B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z}



9


A? B







A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} , 则

中 元 素 的 个 数 为



) A.77 【答案】 C . B.49 C.45 D.30

x1 ? x2 ? ?2, ?1,0,1, 2 , y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , 这种情形下和第一种情况下除 y1 ? y2 的值取 ?3

或外均相同,即此时有 5 ? 2 ? 10 ,由分类计数原理知, A ? B 中元素的个数为 35 ? 10 ? 45 个, 故应选 C . 【点评】用集合、不等式的形式表示平面区域,以新定义为背景,涉及分类计数原理,体 现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性,能较好的考查学生知识间的综合能 力、知识迁移能力和科学计算能力. 考向 4 集合与不等式
x 【例 10】 【2017 高考新课标,理 1】已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x 3 ? 1 , 则

?

?

?

?

A. A ? B ? x x ? 0 C. A ? B ? x x ? 1 【答案】A

?

?

B. A ? B ? R D. A ? B ? ?

?

?

x x 0 【解析】由 3 ? 1 可得 3 ? 3 ,则 x ? 0 ,即

B ? ? x x ? 0? , ? A ? B ? ? x x ? 0? , A ? B ? ? x x ? 1? , 故选 A.

【例 11】 【江西百校联盟 2017 年 2 月联考】已知集合 ,则 的元素的个数为( )



A. 3 【答案】C

B. 4

C. 5

D. 6

【点评】本题考查集合的概念与运算,利用解一元二次不等式的解法化简集合并求集合的 补集、交集,本题属基础题,要求学生最基本的算运求解能力. 考向 5 集合与解析几何 【例 12】设集合 A ? ?? x , y ?

? ?

m ? ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? m2 , x , y ? R ? , 2 ?

B ? ?( x , y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x , y ? R?.若 A ? B ? ? ,则实数 m 的取值范围
是 . 【答案】 ?

?1 ? , 2 ? 2?. ?2 ?

【解析】本题考查了集合、曲线方程和不等式及二元不等式表示的区域等内容,是多个 B 级要求考点的综合,属于难题.由 A ? B ? ? 得 A ? ? ,所以 m ?
2

1 m , m ? 或 m ? 0 .当 2 2

m?0 时 ,

2 ? 2m 2

? 2 ? 2m ? ?m , 且

2 ? 2m ? 1 2

?

2 ? 2m ? ?m , 又 2
1 时, 2

2 ? 0 ? 2 ? 2m ? 1 ,所以集合 A 表示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分;当 m ?
只要

2 ? 2m 2

? m, 或

2 ? 2m ? 1 2
?1 ?2

? m ,解得 2 ? 2 ? m ? 2 ? 2 或 1 ?

2 2 , ? m ? 1? 2 2

所以实数 m 的取值范围是 ? ,2 ?

? 2 ? .解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必 ?

要的图形,得出求解实数 m 的取值范围的相关条件. 考向 6 集合与计数原理、数学归纳法 【例 13 】 【 2015 江苏高考, 23 】已知集合 X ? ? 1,2,3? , Yn ? ? 1,2,3,?, n?(n ? N * ) ,

Sn ? ?( a , b) a 整除或整除 a , a ? X , b ?Yn ? ,令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f ( n) 的表达式,并用数学归纳法证明.

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 3 ? ? 2 ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 【答案】 (1)13(2) f ? n ? ? ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? , n ? 6t ? 3 ? ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
【分析】 (1)根据题意按分类计数:a ? 1, b ? 1, 2,3, 4,5,6; a ? 2, b ? 1, 2, 4, 6; a ? 3, b ? 1,3, 6; 共
, ; n a ? 2, b ?1,2,4, ? ,2 ;k a ? 3, b ?1,3, ? ,3 k ;( k ?N) * ,所以 13 个(2)由(1)知 a ? 1, b ?1,2,3, ?

当 n ? 6 时, f ( n) 的表达式要按 2 ? 3 ? 6 除的余数进行分类,最后不难利用数学归纳法进行证 明 【解析】 (1) f ? 6? ? 13 .

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 2 3 ? ? ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 (2)当 n ? 6 时, f ? n ? ? ? ( t ? ?? ) . n ? 1 n ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 3 ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
下面用数学归纳法证明:

1 ?5 ? , 1) 若 k ? 1 ? 6t , 则 k ? 6 ?t ? 此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 3 ? k ? 2 ?

k ?1 k ? 2 ? ?3 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ?1 k ?1 ? ,结论成立; 2 3

3)若 k ? 1 ? 6 t ?2 ,则 k ? 6t ? 1,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

k ?1 k ?1 ? ?2 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 2 ,结论成立; ? 2 3
k k ?2 ? ?2 2 3

4)若 k ? 1 ? 6t ? 3 ,则 k ? 6t ? 2 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? k ? 1 ,结论成立;
2 3
k ?1 k ? ?2 2 3

5)若 k ? 1 ? 6t ? 4 ,则 k ? 6t ? 3 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ,结论成立; ? 2 3
k k ?1 ? ?1 2 3

6)若 k ? 1 ? 6t ? 5 ,则 k ? 6t ? 4 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 2 ,结论成立.
2 3

综上所述,结论对满足 n ? 6 的自然数均成立. 【点评】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n ? k ,( k ? N ? , k ? n0 )时,命题成立,证明当 n ? k ? 1 时,命题成 立; ③由①②得出结论.


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