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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第25课 利用导数研究函数的极值或最值


第 25 课 利用导数研究函数的极值或最值
1. (2012 重庆高考)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图象如图所 示,则下列结论中一定成立的是( )

y

A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【答案】D 【解析】当 x ? ?2 时, y ? (1 ? x) f ?( x) ? 0 , ∴此时 f ?( x) ? 0 ,函数递增. 当 ? 2 ? x ? 1 时, y ? (1 ? x) f ?( x) ? 0 , ∴此时 f ?( x) ? 0 ,函数递减. 当 1 ? x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ?( x) ? 0 , ∴此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减. 当 x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ?( x) ? 0 , ∴此时 f ?( x) ? 0 ,函数递增. ∴函数 f (x) 有极大值 f (?2) ,极小值 f (2) ,选 D. 2. (2011 湖南高考)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达
2

?2

O 1 2

x

到最小时 t 的值为( A.1 【答案】D B.



1 2

C.

5 2

D.

2 2

【解析】由题 | MN |? x ? ln x , ( x ? 0) ,
2

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h'( x) ? 2 x ?
2

1 , x

令 h'( x) ? 0 ,解得 x ?

2 , 2
1

∵ x ? (0,

2 2 ) 时, h'( x) ? 0 , x ? ( , ??) 时, h'( x) ? 0 , 2 2

∴当 x ?

2 2 时, | MN | 达到最小.即 t ? . 2 2
2

3. (2012 北京高考)已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0) , g ( x) ? x ? bx .
3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 28 ,求 k 的取值范围. 【解析】 (1) f ?( x) ? 2ax , g ?( x) ? 3x ? b .
2

∵曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线, ∴ f ?(1) ? g ?(1) ,∴ ?

?a ? 1 ? 1 ? b ?a ? 3 ,解得 ? . ? 2a ? 3 ? b ?b ? 3

(2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 当 a ? 3, b ? ?9 时, h( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 ,
3 2

∴ h?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ,
2

令 h?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?3 , x2 ? 1 ;

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下:

x
h( x )
h?( x)
由此可知:

(??, ?3)

?3
0

(?3,1)
?

1
0

(1, 2)

2

?

?
3

28

?4

当 k ? ?3 时,函数 h( x ) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x ) 在区间 [k , 2] 上的最大值小于 28 . 因此, k 的取值范围是 (??, ?3] .

2

4. (2012 深圳一模)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c (实数 a, b, c 为常数)的图象过原点, 且在 x ? 1 处
3 2

的切线为直线 y ? ?

1 . 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若常数 m ? 0 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ? m, m ? 上的最大值. 【解析】 (1)由 f (0) ? 0 ,得 c ? 0 .
3 2 2 由 f ( x) ? x ? ax ? bx ,得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

? f ?(1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ? ? ∴? 1 ,即 ? 1, ? f (1) ? ? 2 ?1 ? a ? b ? ? 2 ? ? 3 解得 a ? ? , b ? 0 . 2 3 2 3 ∴ f ( x) ? x ? x . 2 2 (2)由(1)知 f ?( x) ? 3x ? 3x ? 3x( x ? 1) . x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)

0
0 极大值

(0,1)
?

1
0 极小值

(1, ??)

?

?

∵ f (0) ? 0 , f (1) ? ?

3 1 , f ( ) ? 0, 2 2
y

∴函数 f ( x) 的大致图象如右图:

O ①当 0 ? m ?
1 2

1
3 2 x

3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 ; ……11 分 2 3 3 2 3 ②当 m ? 时, f ( x) max ? f (m) ? m ? m . ……13 分 2 2

综上可知 f ( x) max

3 ? 0?m? ? 0, ? 2 ?? . ? m3 ? 3 m 2 , m ? 3 ? ? 2 2

3

5. (2012广州一模)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? a, b ? R ? .
3 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? [3, 4] ,函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围. 【解析】 (1)∵ f ( x) ? ? x ? ax ? b ,
3 2

∴ f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? ?3x( x ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,

2a ). 3
2a . 3

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得

2a ? x ? 0. 3

综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 没有单调递增区间; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,

2 a) ; 3

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( a, 0) . (2)由(1)知, a ? ?3, 4? 时, x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

2 3

x
f ?( x)

(??,0)

0
0
极小值

2 (0, a ) 3
?

2 a 3
0
极大值

2 ( a, ??) 3

?

?

f ( x)

∴ f ( x)极小值 ? f (0) ? b , f ( x)极大值 ? f (

2a 4a 3 )? ?b , 3 27

∵对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点,

? f ? 0 ? ? 0, ?b ? 0, 4a 3 ? ? 3 ?b ? 0. ∴ ? 2a ,即 ? 4a 解得 ? 27 ? b ? 0. ? f ( ) ? 0. ? ? 27 ? 3 4a 3 ∵对任意 a ? [3, 4] , b ? ? 恒成立, 27 4a 3 4 ? 33 ) max ? ? ? ?4 . ∴ b ? (? 27 27
∴实数 b 的取值范围是 ? ?4, 0 ? .

4

6. (2012 济南质检)已知函数 f ( x) ? x ? 3x.
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1) f ?( x) ? 3x ? 3, f ?(2) ? 9, f (2) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ,
2 3

∴所求的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 ? 0 . (2)过点 A(1, m) 向曲线 y ? f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) , 则 y0 ? x03 ? 3x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3x0 2 ? 3 . 则切线方程为 y ? ( x03 ? 3x0 ) ? (3x0 2 ? 3)( x ? x0 ) , 将 A(1, m) 代入上式,整理得 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .
3 2

∵过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, ∴方程 2 x ? 3x ? m ? 3 ? 0 (*)有三个不同实数根.
3 2

记 g (x) ? 2 x ? 3x ? m ? 3 , g ?( x) = 6 x ? 6 x ? 6 x( x ? 1) .
3 2

2

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 1. ∴ x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x
g ?( x)
g ( x)

(??,0)

0
0
极大值

(0,1)
?

1

(1, ??)

?

0
极小值

?

∴ g ( x)极大值 ? g (0) ? m ? 3 ; g ( x)极小值 ? g (1) ? m ? 2 . ∴当且仅当 ?

? g (0) ? 0 ?m ? 3 ? 0 , 即? , ? g (1) ? 0 ?m ? 2 ? 0

∴ ?3 ? m ? ?2 时,函数 g ( x) 有三个不同零点.故 m 的范围是 (?3, ?2) .

5


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