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2013届高三数学复习学案:排列组合、二项式定理、概率


2013 届高三数学学案(十九) :排列组合、二项式定理、概率
一、基础知识: 1.2 个计数原理和 2 个计数模型:乘法原理,加法原理,排列模型,组合模型 排列数公式: Pn ? n ( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1) ?
m

n! ( n ? m )!

组合数公式:

Pn P

m

m m

?

n ( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1) m!

?

n! m !( n ? m )!

计数问题的【基本策略】 例 1.3 封不同的信投入 4 个不同的邮箱,共有 种不同的投法。 [变式]3 名运动员在奥运会上争夺 4 项冠军,共有 种不同的比赛结果。 【辨析】组一:礼品袋中有 10 个不同颜色的球,从中取 3 个 (1)若每次取一个,取 3 次,且取后不放回,有 种不同的取法。 (2)若每次取一个,取 3 次,且取后放回,有 种不同的取法。 (3)若一次性取出,有 种不同的取法。 组二:宜川中学高三(8)班有 44 名同学 (1)若从中选择 2 名同学去参加团代会,有 种不同的选法。 (2)若从中选择 2 名同学担任正副班长,有 种不同的选法。 乘法原理和排列数的差别: 排列数和组合数的差别: 例 2.全班有 20 名男生,18 名女生,选出 3 名女生,2 名男生站成一排,有 种排法。 解决计数问题: 【程序化】1. 2. 例 3.100 件产品中有合格品 90 件,次品 10 件,现从中抽取 4 件检查,至少有 1 件次品的取 法有 种。 (两种方法) 乘法原理和加法原理的差别: 2.二项式定理:展开式,通项,系数(二项式系数,项的系数) 展开式: ( a ? b ) ? C n a ? C n a
n 0 n 1 n ?1

b ? ? ? Cn a
r

n?r

b ? ? ? Cn b
r n

n

通项: Tr ?1 ? C n a
r

n?r

b

r

多项式展开的实质:1 个括号中取 1 个数相乘为 1 项,项的系数为取该项的次数 1 9 2 9 ) 展开式中含 x 的项为第 例 4. ( x ? 项。 2x 例 5. 51 被 7 除的余数为
1 2 2 3 5
51


6

[变式] C 6 ? 9 C 6 ? 9 C 6 ? ? ? 9 C 6 的值为 例 6. (1 ?
x ) (1 ?
6

。 。
2 2

x ) 展开式中 x 项的系数为
2 9

4

例 7.(1) ( x ? 3) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 9 x , ( a 0 ? a 2 ? ? ? a8 ) ? ( a1 ? a 3 ? ? a 9 ) ?
8

。 (2) bn ? 2 , (1 ? 4 x ) ? a 0 ? a1b1 x ? a 2 b2 x ? ? ? a n bn x , a1 ? a 2 ? ? a n ?
n n 2 n

。 。

(3) x ? a 0 ? a1 ( x ? 2) ? a 2 ( x ? 2) ? a 3 ( x ? 2) ? a 4 ( x? 2) , a 3 =
4 2 3 4

1

3.组合数性质的应用 组合数的性质: C n ? C n
m 3 3 n?m

, Cn ? Cn
m

m ?1

? C n ?!
m

例 8.方程 35C x ? 51C x ? 2 的解为 例 9.(1) C n ? 2 C n ? 3C n ? ? nC n ?
1 2 3 n



[变式] C 3 n 。 。 。

38 ? n

? C 21? n ?
3n



(2) C 2 ? C 3 ? C 4 ? ? ? C n ?! ?
1 2 3 n

[变式] C 4 ? C 5 ? C 6 ? ? ? C n ?
3 3 3 3

4.基本事件的概率问题 基本事件的概率问题等价于 2 次排列组合问题来解决。 例 10.两颗骰子掷一次,分别出现 3,6 的概率是 。 例 11.袋中有红、 黄、 白球各 1 个, 有放回的取 3 次, 取出无红色或无黄色的概率是 。 例 12.将 1,2,?,9 分成 3 组,每组 3 个数给甲、乙、丙 3 人,3 人手中的数都成等差数列 的概率是 。 二、基本问题: 1.乘法原理的转化使用 例 13.(1)多项式 ( a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 )( b1 ? b2 ? b3 )( c1 ? c 2 ) 有
2

项。

(2)120 有

个正约数。 种可能。

(3) {a1 , a 2 , a 3 } ? A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 } ,则集合 A 有

(4)若集合 A1 , A2 满足 A1 ? A2 ? A , 则称 ( A1 , A2 ) 为 A 的一种分拆, 当且仅当 A1 ? A2 时, ( A1 , A2 ) 为同一分拆, M ? {1, 2, 3} 有 种不同的分拆。

2.典型计数问题 (1)定位问题(特优法) 例 14.用 0,1,2,3,4,5 能组成 个无重复数字,且个位、十位都是奇数的四位数。 是否需要分类的判定依据: (2)相邻问题(捆绑法) 、间隔问题(插空法) 例 15.10 个人站成一排,其中甲、乙两人必须排在一起,而丙、丁两人不能排在一起, 则共 有 种不同的排法。 [变式 1]将 5 个不同颜色的球放入 5 个不同的盒子,恰有一个空盒的放法有_____种。 [变式 2]一排 8 个座位 3 个人坐,每人两边均有空位,则有 种排法。 (3)错位问题(跟随法) 例 16.四名同学每人写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡, 则四张贺卡不同的分配方法有______种。 (4)定序问题(去序法) 例 17.书架上有 4 本不同的书,再放上 3 本不同的书排成一排,并保持原有 4 本顺序不变, 则有 种放法。

2

例 18.6 本不同的书分成 3 份,每份 2 本,有 种分法。 [变式 1]6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 个人,每人 3 本,有 种分法。 [变式 2]有 3 个学习小组,A 组 5 人,B 组 3 人,C 组 2 人,从中任选 4 人参加比赛,且每组 至少一人参赛,有 种不同的选法。 乘法原理本身就限定了顺序,平均分组问题须去序。 元素(组)是否有顺序的判断依据: 元素(组)有顺序的一般情境:元素(组)来源不同或元素(组)去向不同 三、复杂问题: 特殊背景下的计数问题 (1)染色问题 常用方法: (1)考虑选择可涂同色的区域(可捆绑)(2)考虑按涂色种数分类; ; (3)考虑适当枚举; (4)考虑适当变化图形形状 例 19.如右图,用 5 种不同颜色涂 4 个区域,且相邻区域不能涂相同颜色,有 种不同的涂色方法。 [变式]如下图,用 3 种不同颜色涂 4 个方格,相邻方格不涂同色,有 种不

1 3 2 4

同的涂色方法。 (2)几何问题 常用方法:尝试寻找图形规律,先考虑大类(酌情分类) ,再考虑剩余(适当枚举) ,关注分 类标准,做到不重不漏。 例 20.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一平 面上,不同取法有_______个。 [变式]若∠AOB 的两边上分别有 3 个点和 4 个点, 过这八个点(含 O 点)可作______个三角形。 (3)抽象性问题 常用方法:酌情将问题转化,把元素的实际意义抽象出来,赋予 m 和 n 具体的含义 例 21.不定方程 x ? y ? z ? 100 的正整数解不同组数为 。

四、上海高考近年命题热点: 前几年排列组合问题考借助分类、 枚举解决代数几何背景下有特定数学意义的计数问题为多 (07(理)7,08(理)7,10(理)14) ,近两年有考在现实背景下运用基本计数方法的趋势 (11(理)12,12(理)11),并多以概率形式考核。二项式定理的考核近 5 年几乎不涉及。 【反思】 “排列组合”解题中的注意点有: 1. 2. 五、同步练习: 1.方程 C x ? 2 ? 6 的解为
2



2.将 5 支不同的花栽入 4 个不同的花盆,有 种栽法。 1 5 2 3.在二项式 ( x ? ) 的展开式中, x 的一次项系数为 x

。 (用数字表示)

3

4.多项式 ( a1 ? a 2 ? a 3 )( b1 ? b2 ) ( c1 ? c 2 ? c3 ? c 4 ) 展开后共有
2

项。

5.从一个 43 人的班级中随机选出 5 人,班长、团支书、学习委员中至少 1 人被选中,则 有 种不同的选法。 6.满足 {1, 2, 3} ? A ? {1, 2, 3, ? n} 的集合 A 有 个。

7.2,1,0,4 能组成 个没有重复数字的 4 位偶数。 8.某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员, 规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职,则不同的任职方案______种。 9.若 (2 x ?
3 ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ,则 ( a 0 ? a 2 ? a 4 ) ? ( a1 ? a 3 ) =
4 2 3 4
2 2



10.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从这些教师中随机挑选一人表演 节目.若选到男教师的概率为
9 20

,则参加教师共有

人.

11.(2012(理)11)三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目, 则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 。
1 2
3
4

12.如右图, 某城市中心广场建造一个花圃分为 6 部分, 如右图现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种,且相邻区域不能栽种同色花,共 有______种栽种方法。

5

6

13.(2006(理)10.)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正 交线面对” 。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交 线面对”的个数是__________。 14.(2010(理)14.)从集合 U ? {a , b , c , d } 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以 下两个条件: (1)? ,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B 或 A ? B . 那么,共有___________种不同的选择。 15.从 5 名候选人中选出 3 名同学作为三好学生,有 (A) C 5
3 3 (B) P5

种选法。
5

(C) 5
14

3

(D) 3
1 13 2 12

16. A ? {a | a ? 9 k ? 1, k ? Z }, b ? 7 ? C14 7 ? C14 7 ? ? C14 7 ,A 与 b 的关系是
13



(A) b ? A

(B) b ? A
2 4

(C) b ? A

(D) b ? A

?1 ? 17.将 5,6,7,8 四个数填入 3 ? ? ?

? ? 中空白处构成 3 行 3 列的矩阵,要求每次从左到右, ? 9? ?

每列从上到下依次增大,则满足要求的填法有 (A)6 (B) 3 (C)24 (D)12

种。

18.13.6 名翻译中,6 人懂英语,4 人懂日语,既懂英语又懂日语的 1 人,从中选 3 名英语,2 名日语,有 种不同选法。
4

(A)60

(B) 90

(C)30

(D)120

5


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