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《金版新学案》数学新课标人教A版必修1教学课件:2.2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用#_图文

第2课时 对数函数及其性质的应用

1.进一步加深理
解对数函数的性 质. 2.掌握对数函数 的性质及其应用.

1.利用对数函数的单调性解 题.(重点) 2.常与方程、不等式等结合命 题.(难点) 3.对于底数含有参数的对数函 数进行分类讨论.(易混点)

1.形如y=logax的函数是对数函数,其中x是 自变量,定义域为_(0_,__+__∞__) _,值域为R.
2.对数函数的奇偶性,_既__不__是__奇__函__数__也__不__是__
_偶__函__数__;单调性_a_>_1_,__在__(0_,__+__∞__)上__是__增___函__数_,
_0_<_a_<_1_时__,__在__(_0_,__+__∞_)_是__减__函__数__,过定点_(1_,_0_)_.

复合函数y=logaf(x),x∈D的单调性:设集合 M?D,若a>1,且u=f(x)在x∈M上单调递增 (减),集合M对应的区间是函数y=logaf(x)的 _单__调__增__区__间__;若0<a<1,且u=f(x)在x∈M上 单调递增(减),集合M对应的区间是函数y= ogaf(x)的_单__调__减__区__间__.

1.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则

() A.a<c<b C.a<b<c

B.b<c<a D.b<a<c

解析: ∵log54>log53>0

1>log53>0

∴log54>(log53)2即a>b 又∵log45>1>log54 即c>a ∴c>a>b

答案: D

2.若 loga2<1,则( ) A.a∈(1,2) B.a∈(0,1)∪(2,+∞) C.a∈(0,1)∪(1,2)
D.a∈????0,12 ????
解析: ①若0<a<1,则loga2<0; ②若a>1,loga2<logaa ∴a<2, ∴1<a<2.故选A. 答案: A

3.已知函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)在区间 (1,2)上满足f(x)<0,则函数f(x)在(1,+∞)上是 ________函数.(填“增”或“减”) 解析: 已知1<x<2,则0<x-1<1,此时f(x)<0, 根据对数函数的图象知a>1.所以函数f(x)为增函 数.
答案: 增

4.判断函数 f(x)=lg( x2+1-x)的奇偶性.
解析: 由 x2+1-x>0 解得 x∈R, 故 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. ∵f(-x)=lg( x2+1+x),f(x)=lg( x2+1-x) ∴f(-x)+f(x)=lg( x2+1+x)+lg( x2+1-x) =lg( x2+1+x)( x2+1-x) =lg[(x2+1)-x2]=lg1=0. ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

利用对数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小:
(1)log2π 与 log20.9; (2)log20.3 与 log0.20.3; (3)3log45 与 2log23; (4)log130.3,log20.8

由题目可获取以下主要信息:(1)中底数相同, 真数不同;(2)中底数不同,真数相同;(3)(4) 中底数与真数各不相同.解答本题可考虑利用 对数函数的单调性或图象求解.

[解题过程] (1)因为函数y=log2x在(0,+∞) 上是增函数,π>0.9,所以log2π>log20.9. (2)由于log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0, 所以log20.3<log0.20.3. (3)3log45=log453=log4125, 2log23=log481, ∵对数函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数, ∴log4125>log481,即3log45>2log23.
(4)由对数函数性质知,
log130.3>0,log20.8<0,
∴log130.3>log20.8.

[题后感悟]

1.比较下列各组数中两个值的大小. (1)log23与log23.5; (2)log25与log35; (3)log3π与log20.8.

解析: (1)∵y=log2x在(0,+∞)内是增函数, 且3<3.5, ∴log23<log23.5. (2)考查对数函数y=log2x和y=log3x, 当x>1时,y=log2x的图象在y=log3x图象上 方(即底大图低),这里x=5,故log25>log35. (3)找中间量“搭桥”. ∵log3π>log33=1, log20.8<log22=1, ∴log2π>log20.8.

2.设 a=log32,b=ln 2,c=5-12,则(

)

A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<a<b

D.c<b<a

解析: 方法一:∵3>e

∴log32<ln 2 即 a<b 又ac=l5o-g3122= 5log32=log32 5

∵2 5>3,∴ac>1 即 a>c 故 c<a<b.故选 C.

方法二:a=log123,b=lo1g2e而 log23>log2e, ∴a<b



c=

1 ,而 5

5>2=log24>log23,∴c<a

综上,c<a<b.故选 C.

答案: C

利用对数函数的单调性解不等式 解不等式 2loga(x-4)>loga(x-2).
[策略点睛]

[题后感悟] 如何解同底对数不等式与对数方 程?
①a>1时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②0<a<1时,logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x). ③a>0,a≠1时,logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x) 且f(x)>0,g(x)>0.

3.解不等式loga(2x+3)>loga(5x-6). 解析:

??loga(2x+3)>loga(5x-6)

原不等式等价于?2x+3>0



??5x-6>0

?2x+3>5x-6

?

①当 a>1 时,?2x+3>0



??5x-6>0

解得65<x<3.

?2x+3<5x-6

?

②当 0<a<1 时,?2x+3>0



??5x-6>0

解得 x>3.

综 上 所 得 , 当 a>1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

???x????65

<x<3??;
?

当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x>3}.

对数函数的单调性
设 a>0 且 a≠1,函数 y=alg(x2-2x+3) 有最大值,求函数 f(x)=loga(3-2x-x2)的单调 区间.

[解题过程] 设t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+ 2]. 当x∈R时,t有最小值为lg2. 又∵y=alg(x2-2x+3)有最大值,∴0<a<1. 由f(x)=loga(3-2x-x2),得其定义域为(- 3,1). 设u(x)=3-2x-x2,x∈(-3,1),则y=logau. ∵u(x)=3-2x-x2在(-3,-1]上是增函数, 在[-1,1)上是减函数,且y=logau在(0,+∞) 是减函数.
∴f(x)=loga(3-2x-x2)单调减区间为(-3,- 1],单调增区间为[-1,1).

[题后感悟] 函数y=logaf(x)可看做是y=logat 与t=f(x)两个简单函数复合而成的,则由复合 函数的判断法则同增异减知:当a>1时,若t= f(x)为增函数,则y=logaf(x)为增函数,若f(x) 为减函数,则y=logaf(x)为减函数;当0<a<1 时,若t=f(x)为增函数,则y=logaf(x)为减函 数,若t=f(x)为减函数,则y=logaf(x)为增函 数.

4.求函数 y=log12(3+2x-x2)的单调 区间. 解析: 由 3+2x-x2>0 解得函数 y=log12(3+ 2x-x2)的定义域是{x|-1<x<3}. 设 u=3+2x-x2(-1<x<3),又设-1<x1<x2≤1, 则 u1<u2.从而 log12u1>log12u2,即 y1>y2. 故函数 y=log12(3+2x-x2)在区间(-1,1]上单 调递减.
同理可得函数在区间(1,3)上单调递增.

利用对数函数的单调性求参数

已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的 减函数,则 a 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.(2,+∞)

由题目可以获取以下主要信息:①函数y= loga(2-ax)在[0,1]有意义,②函数在[0,1] 上是减函数.,解决本类问题应注意复合函数单 调性的判定方法.

[解题过程] 设 y=f(x)=loga(2-ax),因为 f(x) 在[0,1]上是减函数,则 f(0)>f(1),即 loga2>loga(2 -a). 因为 a 为对数的底数,则 a>0,且 a≠1,
所以 2>2-a,因此???a2>-1a>0 ,解得 1<a<2. 故 a 的取值范围为 1<a<2.选 B.
答案: B

[题后感悟] 本题综合了多个知识点,解题需 要概念清楚、推理正确.本题的解法是处理对 数函数单调性问题的常用方法,理解并掌握对 数函数概念、图象和性质,特别是函数的定义 域,是解决这类题的前提.

5.已知函数 y=loga(2-ax)在[-1,0] 上单调递增,求 a 的取值范围.
解析: ∵y=loga(2-ax)在[-1,0]上单调递增, ∴f(-1)<f(0)即 loga(2+a)<loga2 ∴???02<+aa<>1a .解得 0<a<1.
∴a 的取值范围是(0,1).

1.对数值的大小比较 利用函数的单调性进行对数值的大小比较,常 用的方法: (1)若底数为同一常数,则可利用对数函数的单 调性进行判断; (2)若底数为同一字母,则可按对数函数的单调 性对底数进行分类讨论; (3)若底数不同,真数相同,则可利用对数函数 的图象或利用换底公式化为同底,再作比较.

(4)若底数、真数均不相同,则可借助中间值 -1,0,1等作比较. 2.复合函数单调区间的求法 关于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)一类函数的 单调性:
设u=f(x)(f(x)>0).当a>1时,y=logaf(x)与u =f(x)的单调性相同;当0<a<1时,y=logaf(x) 与u=f(x)的单调性相反.

◎求y=log2(x2-2x-3)的单调递增区间. 【错解】 由y=log2u在(0,+∞)上单调递增, 要求解
y=log2(x2-2x-3)的单调递增区间,只需求 解u=x2-2x-3=(x-1)2-4的单调递增区 间.
故y=log2(x2-2x-3)在[1,+∞)上单调递 增.

【错因】 忽略函数定义域,导致出错. 【正解】 令x2-2x-3>0得x<-1或x>3, 故y=log2(x2-2x-3)在(3,+∞)上单调递增.

练规范、练技能、练速度