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复变函数题库(包含好多试卷


《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题(一)
一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导,则函数 f(z)在 z0 解析. 2.有界整函数必在整个复平面为常数. 3.若 ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) )

{zn } 收敛,则 {Re zn } 与 {Im zn } 都收敛.
f ' ( z) ? 0 ,则 f ( z) ? C (常数).

4.若 f(z)在区域 D 内解析,且

5.若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 6.若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 7.若 z ? z 0

lim f ( z )

存在且有限,则 z0 是函数 f(z)的可去奇点.

8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则 f ' ( z ) ? 0(?z ? D) . 9. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C

?

C

f ( z )dz ? 0 .

(

)


10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.( 二.填空题(20 分) 1、

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? __________.( n 为自然数)
2

2. sin

z ? cos2 z ?

_________.

3.函数 sin z 的周期为___________.

f ( z) ?
4.设
?

1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________.
2

5.幂级数

? nz
n ?0

n

的收敛半径为__________.

6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.

7.若 n ? ?

lim zn ? ?

z1 ? z2 ? ... ? zn ? n?? n ,则 ______________. lim

Re s(
8.

ez ,0) ? zn ________,其中 n 为自然数.

sin z 的孤立奇点为________ . z lim f ( z ) ? ___ z z ? z0 f ( z ) 0 10.若 是 的极点,则 .
9. 三.计算题(40 分) :

f ( z) ?
1. 设

1 ( z ? 1)(z ? 2) ,求 f ( z ) 在 D ? {z : 0 ?| z |? 1}内的罗朗展式.

2.

1 ?|z|?1 cos z dz.
f ( z) ? ?
w?

3. 设

3?2 ? 7? ? 1 d? C ??z ,其中 C ? {z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i ).

4. 求复数

z ?1 z ? 1 的实部与虚部.

四. 证明题.(20 分) 1. 函数 为常数. 2. 试证 : f ( z) ?

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内
z(1 ? z) 在割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,

并求出支割线 0 ? Re z ? 1 上岸取正值的那支在 z ? ?1 的值.

《复变函数》考试试题(二) 一. 判断题.(20 分)
1. 若函数 f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续. 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. 3. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 有界整函数必为常数. 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.
z ? z0

( ( ( ( ( (
C

) ) ) ) ) )

6. 若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析. 7. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C ? f ( z )dz ? 0 .

(

)

8. 若数列 {zn } 收敛,则 {Re zn} 与 {Im zn} 都收敛.

(

)

9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. ( ) 1 1 1 )?0且 f( )? , n ? 1,2,... . 10. 存 在 一 个 在 零 点 解 析 的 函 数 f(z) 使 f ( n ?1 2n 2n ( ) 二. 填空题. (20 分)

1. 设 z

? ?i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __

2.设 f ( z) ? ( x2 ? 2xy) ? i(1 ? sin(x2 ? y 2 ),?z ? x ? iy ? C ,则 lim f ( z ) ? ________. z ?1? i 3.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)
? n ?0

4. 幂级数 ? nz n 的收敛半径为__________ . 5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的_____零点. 6. 函数 ez 的周期为__________. 7. 方程 2 z 5 ? z 3 ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设 f ( z ) ?
1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________. 1 ? z2

9. 函数 f ( z ) ?| z | 的不解析点之集为________. 10.

Res (

z ?1 ,1) ? ____ . 4 z

三. 计算题. (40 分)
3 1. 求函数 sin(2 z ) 的幂级数展开式.

2.

在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数

z

在正实轴取正实值的一个解析分支, 并求它在上半虚轴左沿的点及右 沿的点 z
3.

? i 处的值.

计算积分: I

? ? | z | dz ,积分路径为(1)单位圆( | z |? 1)
?i

i

的右半圆.

?
4. 求

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

dz
2
.

四. 证明题. (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z ) 在 D 内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题(三)
一. 判断题. (20 分). 1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k? . ( ( ( ( ) ) ) )

2. 若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件, 则 f(z)在 z0 解析. 3. 若函数 f(z)在 z0 处解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 若数列 {zn } 收敛,则 {Re zn} 与 {Im zn} 都收敛.

5. 若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f(z)在区 域 D 内为常数. ( ) 6. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数 f(z)在 D ? {z :| z |? 1} 上解析,且 | f ( z ) |? 1(| z |? 1) ,则
| f ( z ) |? 1(| z |? 1) .





8.

若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( ) ( ( ) )

9. 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点, 则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 10. 若 z 0 是

f ( z ) 的可去奇点,则 Res ( f ( z ), z0 ) ? 0 .

二. 填空题. (20 分) 1 1. 设 f ( z ) ? 2 ,则 f(z)的定义域为___________. z ?1 2. 函数 ez 的周期为_________. n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim z n ? __________. 3. 若 zn ? n?? 1? n n 4.
sin 2 z ? cos2 z ? ___________.

5.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)
? n?0

6. 幂级数 ? nxn 的收敛半径为__________.

7. 设

f ( z) ?
z

1 z 2 ? 1 ,则 f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设 e

? ?1,则 z ? ___ .

9. 若 z 0 是

f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

10.

三. 计算题. (40 分)

ez Res ( n ,0) ? ____ . z
1

1. 将函数 f ( z ) ? z 2e z 在圆环域 0 ? z ? ? 内展为 Laurent 级数. 2. 试求幂级数

n! n z 的收敛半径. ? n n n?

??

3.

e z dz 算下列积分: ?C z 2 ( z 2 ? 9) ,其中 C 是| z |? 1.
9

4. 求 z 四.

? 2 z 6 ? z 2 ? 8z ? 2 ? 0 在|z|<1 内根的个数.

证明题. (20 分)

1. 函数

f ( z ) 在区域 D 内解析.

证明:如果 |

f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它

在 D 内为常数. 2. 设 使得当 |

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R 及 M, z |? R 时
| f ( z ) |? M | z |n ,

证明

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)
一. 判断题. (20 分) 1. 若 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件. 2. 若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析. 3. 函数 sin z 与 cos z 在整个复平面内有界. 4. 若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( ) ( ) ( )

?

C

f ( z )dz ? 0 .
( ) ) ) ) )

lim 5. 若 z ?z

0

f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数的可去奇点.

( ( ( (

6. 若函数 f(z)在区域 D 内解析且 f ' ( z) ? 0 ,则 f(z)在 D 内恒为常数.

lim 7. 如果 z0 是 f(z)的本性奇点,则 z ?z
8. 若 9. 若

0

f ( z ) 一定不存在.

f ( z0 ) ? 0, f ( n ) ( z0 ) ? 0 ,则 z0 为 f ( z ) 的 n 阶零点.

f ( z) 与 g ( z) 在 D 内 解 析 , 且 在 D 内 一 小 弧 段 上 相 等 , 则
( )

f ( z ) ? g ( z ), z ? D .
10. 若

f ( z ) 在 0 ?| z |? ?? 内解析,则
( )

Res ( f ( z ),0) ? ?Res ( f ( z), ?) .
二. 填空题. (20 分) 1. 设 z

?

1 ,则 Re z ? __, Im z ? ___ . 1? i

2. 若 lim zn ? ? ,则 lim 3. 4. 5. 6.

z1 ? z2 ? ... ? zn ? ______________. n?? n?? n 函数 ez 的周期为__________. 1 函数 f ( z ) ? 的幂级数展开式为__________ 1 ? z2 若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________.

7. 设 C :|

z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

8. 9.

sin z 的孤立奇点为________. z 若 z 0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

10. 三.

ez Res( n ,0) ? _____________. z

计算题. (40 分) 3 1. 解方程 z ? 1 ? 0 .
ez ,求 Re s( f ( z ), ?). z2 ?1

2. 设 f ( z ) ?

3.

z ?|z|?2 (9 ? z 2 )(z ? i) dz.
z

.

4.

1 1 ? 函数 f ( z ) ? e ? 1 z 有哪些奇点?各属何类型 (若是极点, 指明它的阶数) .

四. 证明题. (20 分) 1. 证明:若函数

f ( z ) 在上半平面解析,则函数 f ( z ) 在下半平面解析.

2. 证明 z 4 ? 6 z ? 3 ? 0 方程在 1 ?| z |? 2 内仅有 3 个根.

《复变函数》考试试题(五)
一. 判断题.(20 分)
1. 若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数, 则它在 D 内有任意阶导数. ( ) 2. 若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内 恒等于常数. ( ) 3. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. ( ) 4. 若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析. ( ) 5. 若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f(z)在 z0 解析. ( ) 6. 若 lim f ( z ) 存在且有限, 则 z0 是 f(z)的可去奇点.
z ? z0

( ( (

) ) )

7. 若函数 f(z)在 z0 可导,则它在该点解析. 8. 设函数 9. 若 z 0 是

f ( z ) 在复平面上解析,若它有界,则必 f ( z ) 为常数. f ( z ) 的一级极点,则

Res ( f ( z ), z0 ) ? lim ( z ? z0 ) f ( z ) .
z ? z0





10. 若

f ( z) 与 g ( z) 在 D 内 解 析 , 且 在 D 内 一 小 弧 段 上 相 等 , 则
( )

f ( z ) ? g ( z ), z ? D .
二. 填空题.(20 分) 1. 设 z 2. 当 z 3. 设 e 4.

? 1 ? 3i ,则 | z |? __, arg z ? __, z ? __ .

? ___ 时, e z 为实数.
z

? ?1,则 z ? ___ .

e z 的周期为___.

5. 设 C :|

z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

6.

7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________。 1 8. 函数 f ( z ) ? 的幂级数展开式为_________. 1 ? z2 9.

ez ?1 Res ( ,0) ? ____ . z

sin z 的孤立奇点为________. z
1 ?C ( z ? a)n dz ? ___ .( n 为自

10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,则
然数)

三. 计算题. (40 分)

z ?1 1. 求复数 的实部与虚部. z ?1
2. 计算积分:

I ? ? Re zdz ,
L

在这里 L 表示连接原点到 1 ? i 的直线段.

3. 4.

d? ?0 1 ? 2a cos? ? a2 ,其中 0<a<1. 应用儒歇定理求方程 z ? ? ( z ) ,在 |z|<1 内根的个数,在这里 ? ( z ) 在
求积分: I ?
2?

| z |? 1上解析,并且 | ? ( z ) |? 1.
四. 证明题. (20 分) 1. 证明函数 2. 设

f ( z ) ?| z |2 除去在 z ? 0 外,处处不可微.

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个数 R 及 M, z |? R 时
| f ( z ) |? M | z |n ,

使得当 |

证明:

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题(六)

一、判断题(30 分) : 1. 2. 3. 4. 5. 若函数 f ( z ) 在 z0 解析,则 f ( z ) 在 z0 连续. ( ) 若函数 f ( z ) 在 z0 处满足 Caychy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z0 解析. ( 若函数 f ( z ) 在 z0 解析,则 f ( z ) 在 z0 处满足 Caychy-Riemann 条件. ( 若函数 f ( z ) 在是区域 D 内的单叶函数,则 f ?( z ) ? 0(?z ? D) . ( ) ) )

若 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( )

?

C

f ( z ) dz ? 0 .

6. 7.

若 f ( z ) 在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有

?

C

f ( z )dz ? 0 .(



若 f ?( z ) ? 0(?z ? D) ,则函数 f ( z ) 在是 D 内的单叶函数.( ) 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

8.

1 的 m 阶极点.( ) f ( z)

9.

如果函数 f ( z ) 在 D ? z : z ? 1 上解析,且 f ( z) ? 1( z ? 1) , 则 f ( z) ? 1( z ? 1) . ( )

?

?

10.

sin z ? 1(?z ? C) .( )
n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n 1 设 f ( z) ? 2 ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. z ?1 函数 sin z 的周期为_______________________.
若 zn ?

二、填空题(20 分) 1. 2. 3. 4. 5.

sin 2 z ? cos 2 z ? _______________________.
幂级数

? nz
n ?0

??

n

的收敛半径为________________.

6. 7. 8. 9.

若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点. 若函数 f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________. 函数 f ( z) ? z 的不解析点之集为__________. 方程 2 z ? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
5 3 ix

10. 公式 e ? cos x ? i sin x 称为_____________________. 三、计算题(30 分)

? 2?i ? 1、 lim ? ? . n?? ? 6 ?
2、设 f ( z ) ?

n

3? 2 ? 7? ? 1 ?C ? ? z d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . ez ,求 Re s( f ( z ), i ) . z2 ?1

3、设 f ( z ) ?

4、求函数

sin z 3 在 0 ? z ? ? 内的罗朗展式. z6
z ?1 的实部与虚部. z ?1

5、求复数 w ? 6、求 e
? i 3

?

的值.

四、证明题(20 分) 1、 方程 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2、 若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析,v( x, y ) 等于常数, 则 f ( z ) 在 D 恒等

于常数. 3、 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

1 的 m 阶极点. f ( z)

《复变函数》考试试题(七)
一、判断题(24 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 若函数 f ( z ) 在 z0 解析,则 f ( z ) 在 z0 的某个领域内可导.( ) 若函数 f ( z ) 在 z0 处解析,则 f ( z ) 在 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件.( 如果 z0 是 f ( z ) 的可去奇点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于零.( )
z ? z0



若函数 f ( z ) 是区域 D 内的单叶函数,则 f ?( z ) ? 0(?z ? D) .( ) 若函数 f ( z ) 是区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 若函数 f ( z ) 在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内恒等于 常数.( )

7.

若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

1 的 m 阶极点.( ) f ( z)

二、填空题(20 分) 1. 2. 3. 4. 5.

1 1 ? i(1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n z 设 f ( z) ? 2 ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. z ?1
若 zn ? sin 函数 e 的周期为______________.
z

sin 2 z ? cos 2 z ? _______________.
幂级数

?n z
n ?0

??

2 n2

的收敛半径为________________.

6. 7. 8. 9.

若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点. 若函数 f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________. 函数 f ( z) ? z 的不解析点之集为__________. 方程 3z ? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
8 3

10. Re s(

ez , 0) ? _________________. zn
2 2

三、计算题(30 分)

? 1? i ? ? 1? i ? 1、 求 ? ? ?? ? . ? 2? ? 2?
2、 设 f ( z ) ?

3? 2 ? 7? ? 1 ?C ? ? z d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . ez ,求 Re s( f ( z ),0) . z2

3、设 f ( z ) ?

4、求函数

z 在 1 ? z ? 2 内的罗朗展式. ( z ? 1)( z ? 1)
z ?1 的实部与虚部. z ?1

5、求复数 w ?

6、利用留数定理计算积分: 四、证明题(20 分)

?
3

2?

0

dx , (a ? 1) . a ? cos x

1、方程 24 z ? 9 z ? 6 z ? z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7 6 3

2、若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析, f ( z) 等于常数,则 f ( z ) 在 D 恒等 于常数. 3、 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数, 去将 z 平面上的上半单位圆盘 z : z ? 1, Im z ? 0 保形映射为 w 平面的单 位圆盘 w : w ? 1

1 的 m 阶极点. f ( z)

?

?

?

?

《复变函数》考试试题(八)
一、判断题(20 分) 1、若函数 f ( z ) 在 z0 解析,则 f ( z ) 在 z0 连续.( ) 2、若函数 f ( z ) 在 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z0 处解析.( ) 3、如果 z0 是 f ( z ) 的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.( )
z ? z0

4、若函数 f ( z ) 是区域 D 内解析,并且 f ?( z ) ? 0(?z ? D) ,则 f ( z ) 是区域 D 的单叶函数. ( ) 5、若函数 f ( z ) 是区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( )

6、若函数 f ( z ) 是单连通区域 D 内的每一点均可导,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 7、若函数 f ( z ) 在区域 D 内解析且 f ?( z ) ? 0 ,则 f ( z ) 在 D 内恒为常数.( ) 8. 9. 存在一个在零点解析的函数 f ( z ) 使 f (

1 1 1 ) ? 0且 f ( ) ? , n ? 1, 2,? .( ) n ?1 2n 2n

如果函数 f ( z ) 在 D ? z : z ? 1 上解析,且 f ( z) ? 1( z ? 1),则 f ( z) ? 1( z ? 1) . (

?

?

) 10. sin z 是一个有界函数.( ) 二、填空题(20 分) 1、若 zn ?

n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n

2、设 f ( z ) ? ln z ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. 3、函数 sin z 的周期为______________. 4、若 lim zn ? ? ,则 lim
n ??

z1 ? z2 ? ? ? zn ? _______________. n ?? n

5、幂级数

? nz
n ?0

??

n5

的收敛半径为________________.

6、函数 f ( z ) ?

1 的幂级数展开式为______________________________. 1? z2

7、若 C 是单位圆周, n 是自然数,则

?

C

1 dz ? ______________. ( z ? z0 ) n

8、函数 f ( z) ? z 的不解析点之集为__________. 9、方程 15z ? z ? 4 z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
5 3 2

10、若 f ( z ) ?

1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________________. 1? z2

三、计算题(30 分) 1、求

?

z ?1

e z ?1 sin zdz ?

1 dz ? 2? i z ?3 ( z ? 1)( z ? 4)

2、设 f ( z ) ?

3? 2 ? 7? ? 1 ?C ? ? z d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . ez ,求 Re s( f ( z ), ?) . z 2 ?1

3、设 f ( z ) ?

4、求函数

z ? 10 在 2 ? z ? ?? 内的罗朗展式. ( z ? 1)( z 2 ? 2)
z ?1 的实部与虚部. z ?1
6 3

5、求复数 w ?

四、证明题(20 分) 1、方程 15z ? 5z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7

2、若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内连续,则二元函数 u ( x, y ) 与 v( x, y ) 都在 D 内连续. 4、 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数,去将 z 平面上的区域 ? z : 0 ? arg z ?

1 的 m 阶极点. f ( z)

? ?

4 ? ? ? 保形映射为 w 平面的单位圆盘 5 ?

?w : w ? 1? .

《复变函数》考试试题(九)
一、判断题(20 分) 1、若函数 f ( z ) 在 z0 可导,则 f ( z ) 在 z0 解析.( ) 2、若函数 f ( z ) 在 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z0 处解析.( ) 3、如果 z0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于无穷大.( )
z ? z0

4、若函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( )

?

C

f ( z ) dz ? 0 .

5、若函数 f ( z ) 在 z0 处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.(



6、 若函数 f ( z ) 在区域 D 内的解析, 且在 D 内某一条曲线上恒为常数, 则 f ( z ) 在区域 D 内 恒为常数.( ) 7、若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

1 的 m 阶极点.( ) f ( z)
( . )

8、 如果函数 f ( z ) 在 D ? z : z ? 1 上解析, 且 f ( z) ? 1( z ? 1) , 则 f( z) ? 1 ( z 1 )? 9、 lim e ? ? .(
z z ??

?

?

) )

10、如果函数 f ( z ) 在 z ? 1 内解析,则 max{ f ( z )} ? max{ f ( z )}. (
z ?1 z ?1

二、填空题(20 分)

1 2 ? i (1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n 1 2、设 f ( z ) ? ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. sin z 3、函数 sin z 的周期为______________.
1、若 zn ? sin 4、 sin z ? cos z ? _______________.
2 2

5、幂级数

? nz
n ?0

??

n

的收敛半径为________________.

6、若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点. 7、若函数 f ( z ) 在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是______________.

8、函数 f ( z ) ? z 的不解析点之集为__________. 9、方程 20 z ? 11z ? 3z ? 5 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
8 3

10、 Re s (

ez ,1) ? _________________. z2 ?1
n

三、计算题(30 分)

? 2?i ? 1、 lim ? ? n?? ? 6 ?
2、设 f ( z ) ?

3? 2 ? 7? ? 1 ?C ? ? z d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . ez ,求 Re s( f ( z ), ?i) . z2 ?1

3、设 f ( z ) ?

4、求函数

z 在 1 ? z ? 2 内的罗朗展式. ( z ? 1)( z ? 2)
z ?1 的实部与虚部. z ?1

5、 求复数 w ?

6、 利用留数定理计算积分 四、证明题(20 分)

?

??

??

x2 ? x ? 2 dx . x 4 ? 10 x 2 ? 9

1、方程 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2、若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析,u ( x, y ) 等于常数,则 f ( z ) 在 D 恒等 于常数. 7、 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数,去将 z 平面上的带开区域 ? z : 盘 w: w ?1 .

1 的 m 阶极点. f ( z)

? ?

?

? ? Im z ? ? ? 保形映射为 w 平面的单位圆 2 ?

?

?

《复变函数》考试试题(十)
一、判断题(40 分) : 1、若函数 f ( z ) 在 z0 解析,则 f ( z ) 在 z0 的某个邻域内可导.( ) 2、如果 z0 是 f ( z ) 的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.( )
z ? z0

3、若函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在 D 内连续,则 u ( x, y ) 与 v( x, y ) 都在 D 内连续.( ) 4、 cos z 与 sin z 在复平面内有界.( ) 5、若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点.( ) 6、若 f ( z ) 在 z0 处满足柯西-黎曼条件,则 f ( z ) 在 z0 解析.( ) 7、若 lim f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数的可去奇点.( )
z ? z0

8、若 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有

?

C

f ( x)dz ? 0 .( )

9、若函数 f ( z ) 是单连通区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 10、若函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内恒等于常 数.( ) 二、填空题(20 分) : 1、函数 e 的周期为_________________. 2、幂级数
z

? nz
n ?0
2

??

n

的和函数为_________________.

3、设 f ( z ) ?

1 ,则 f ( z ) 的定义域为_________________. z ?1

4、

? nz
n ?0

??

n

的收敛半径为_________________.

ez 5、 Re s( n , 0) =_________________. z
三、计算题(40 分) : 1、

?

z

z dz. (9 ? z )( z ? i)
2

2、求 Re s (

eiz , ?i ). 1? z2
n

? 1? i ? ? 1? i ? 3、 ? ? ?? ? . ? 2? ? 2?
4、设 u( x, y) ? ln( x2 ? y 2 ). 求 v( x, y ) ,使得 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 为解析函数,且满足

n

f (1 ? i) ? ln 2 。其中 z ? D ( D 为复平面内的区域).
5、求 z ? 5 z ? 1 ? 0 ,在 z ? 1 内根的个数 .
4

《复变函数》考试试题(十一)
一、判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题 2 分) 1.当复数 z ? 0 时,其模为零,辐角也为零. ( ) 2.若 z0 是多项式 P( z) ? an z n ? an?1 z n?1 ? ? ? a0 (an ? 0) 的根,则 z0 也 P ( z ) 是的根.( ) 3.如果函数 f ( z ) 为整函数,且存在实数 M ,使得 Re f ( z ) ? M ,则 f ( z ) 为一常数.( ) 4. 设函数 f1 ( z ) 与 f 2 ( z ) 在区域内 D 解析, 且在 D 内的一小段弧上相等, 则对任意的 z ? D , 有 f1 ( z ) ? f2 ( z) . ( ) ( )

5.若 z ? ? 是函数 f ( z ) 的可去奇点,则 Re s f ( z ) ? 0 .
z ??

二、填空题.(每题 2 分) 1. i ? i ? i ? i ? i ? _____________________.
2 3 4 5 6

z ? ? ,? 0 , 且 ?? ? a r g 2 . 设 z ? x ? i y?

?

2 y arg ? a r c t a? n________________. x 1 2 2 3.函数 w ? 将 z 平面上的曲线 ( x ?1) ? y ? 1 变成 w 平面上的曲线______________. z
4.方程 z ? a ? 0(a ? 0) 的不同的根为________________.
4 4

?

y ? arcta ?n , 当 x ? 0 ,y ? 0时 , x 2

5. (1 ? i) ___________________.
i

6.级数

?[2 ? (?1) ]z
n n ?0

?

2

的收敛半径为____________________.

7. cos nz 在 z ? n ( n 为正整数)内零点的个数为_____________________.
3 3 6 8.函数 f ( z) ? 6sin z ? z ( z ? 6) 的零点 z ? 0 的阶数为_____________________.

9 . 设 a 为 函 数 f ( z) ?

? ( z) 的 一 阶 极 点 , 且 ? (a) ? 0, ? (a) ? 0, ? ?(a) ? 0 , 则 ? ( z)

Re s
z ?a

f ?( z ) ? _____________________. f ( z)

10.设 a 为函数 f ( z ) 的 m 阶极点,则 Re s
z ?a

f ?( z ) ? _____________________. f ( z)

三、计算题(50 分)

1 ln( x 2 ? y 2 ) 。求 v( x, y ) ,使得 f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 为解析函数,且 2 1 满足 f (1 ? i ) ? ln 2 .其中 z ? D ( D 为复平面内的区域).(15 分) 2
1.设 u ( x, y ) ? 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶).(10 分) (1) tan z ; (5 分) 3.计算下列积分.(15 分) (1)
2

(2)

e . (5 分) ez ?1

1 z ?1

z19 ? z ?4 ( z 2 ? 1)4 ( z 4 ? 2)3 dz

(8 分) ,

(2)

?

?

0

d? 1 ? cos 2 ?
7 4

(7 分).
2

4.叙述儒歇定理并讨论方程 z ? 5z ? z ? 2 ? 0 在 z ? 1 内根的个数.(10 分) 四、证明题(20 分)

u(x,y) i v?x (, y) 1. 设 f (z ) ?
析函数.(10 分)

是上半复平面内的解析函数, 证明 f ( z ) 是下半复平面内的解

2.设函数 f ( z ) 在 z ? R 内解析,令 M (r ) ? max f ( z ) , (0 ? r ? R) 。证明: M (r ) 在区
z ?r

间 [0, R ) 上是一个上升函数,且若存在 r1 及 r2 ( 0 ? r ,使 M (r 1 ) ? M (r2 ) ,则 1 ?r 2 ? R)

f ( z ) ? 常数.(10 分)

《复变函数》考试试题(十二)
二、判断题。 (正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题 2 分) 1.设复数 z1 ? x1 ? iy1 及 z2 ? x2 ? iy2 ,若 x1 ? x2 或 y1 ? y2 ,则称 z1 与 z2 是相等的复数。 ( ) ( ) ( )

2.函数 f ( z ) ? Re z 在复平面上处处可微。 3. sin z ? cos z ? 1 且 sin z ? 1, cos z ? 1 。
2 2

4.设函数 f ( z ) 是有界区域 D 内的非常数的解析函数,且在闭域 D ? D ? ?D 上连续,则存 在 M ? 0 ,使得对任意的 z ? D ,有 f ( z ) ? M 。 ( ) 5.若函数 f ( z ) 是非常的整函数,则 f ( z ) 必是有界函数。 ( ) 二、填空题。 (每题 2 分) 1. i ? i ? i ? i ? i ? _____________________。
2 3 4 5 6

z ? ? ,? 0 , 且 ?? ? a r g 2 . 设 z ? x ? i y?
y arg ? a r c t a? n________________。 x
3. 若已知 f ( z ) ? x(1 ?

?
2

?

y ? arcta ?n , 当 x ? 0 ,y ? 0时 , x 2

1 1 ) ? iy(1 ? 2 ), 则其关于变量 z 的表达式为__________。 2 x ?y x ? y2
2

4. n z 以 z ? ________________为支点。 5.若 ln z ?

?
2

i ,则 z ? _______________。

6.

?

z ?1

dz ? ________________。 z
2 4 6

7.级数 1 ? z ? z ? z ? ? 的收敛半径为________________。 8. cos nz 在 z ? n ( n 为正整数)内零点的个数为_______________。 9.若 z ? a 为函数 f ( z ) 的一个本质奇点,且在点 a 的充分小的邻域内不为零,则 z ? a 是

1 的________________奇点。 f ( z)
10.设 a 为函数 f ( z ) 的 n 阶极点,则 Re s
z ?a

f ?( z ) ? _____________________。 f ( z)

三、计算题(50 分) 1.设区域 D 是沿正实轴割开的 z 平面,求函数 w ?
5

z 在 D 内满足条件 5 ?1 ? ?1 的单值

连续解析分支在 z ? 1 ? i 处之值。 (10 分) 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶) ,并求它们留数。 (15 分) (1) f ( z ) ?

Ln z 的各解析分支在 z ? 1 各有怎样的孤立奇点, 并求这些点的留数 (10 分) z2 ?1

(2)求 Re s
z ?0

ez 。 (5 分) z n ?1

3.计算下列积分。 (15 分)

z7 (1) ? dz z ? 2 ( z 2 ? 1)3 ( z 2 ? 2)
(2)

(8 分) ,

?

??

??

x 2 dx ( x 2 ? a 2 )2

(a ? 0)
6

(7 分) 。

4.叙述儒歇定理并讨论方程 z ? 6 z ? 10 ? 0 在 z ? 1 内根的个数。 (10 分) 四、证明题(20 分) 1.讨论函数 f ( z) ? ez 在复平面上的解析性。 2.证明: (10 分)

1 z n e z? d? zn 2 ? ? ( ) 。 2? i ?C n !? n ? n!
此处 C 是围绕原点的一条简单曲线。 (10 分)

《复变函数》考试试题(十三)
一、填空题. (每题2分) 1.设 z ? r (cos ? ? i sin ? ) ,则

1 ? _____________________. z
z ? z0

2.设函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) , A ? u0 ? iv0 , z0 ? x0 ? iy0 ,则 lim f (z ) ? A 的充 要条件是_______________________. 3.设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分

?

C

f ( z )dz ? _________________________.
z ?a

4.设 z ? a 为 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ____________________. 5.设 f ( z ) ? z sin z ,则 z ? 0 是 f ( z ) 的________阶零点. 6.设 f ( z ) ?

1 ,则 f ( z ) 在 z ? 0 的邻域内的泰勒展式为_________________. 1? z2

7.设 z ? a ? z ? a ? b ,其中 a , b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是_________________. 8.设 z ? ? sin 9.

?
6

? i cos

?
6

,则 z 的三角表示为_________________________.

?

?

4 0

z cos zdz ? ___________________________.

10.设 f ( z ) ?

e? z ,则 f ( z ) 在 z ? 0 处的留数为________________________. z2

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) (1) cos i ; (2) ln(?2 ? 3i ) ;
3

(3) 3

3? i

2.求解方程 z ? 8 ? 0 . (7分)
2 2 3 . 设 u ? x ? y ? xy , 验 证 u 是 调 和 函 数 , 并 求 解 析 函 数 f ( z ) ? u ? iv , 使 之

f (i) ? ?1 ? i . (8分)
4.计算积分. (10 分)

(1) (2)

?

C

( x 2 ? iy )dz ,其中 C 是沿 y ? x2 由原点到点 z ? 1 ? i 的曲线.

?

1?i

0

[( x ? y) ? ix 2 ]dz ,积分路径为自原点沿虚线轴到 i ,再由 i 沿水平方向向右到1 ? i .
1 分别在圆环域 0 ? z ? 1 和 1 ? z ? 2 内展开为洛朗级 ( z ? 1)( z ? 2)

5.试将函数 f ( z ) ?

数. (8分) 6.计算下列积分. (8分) (1)

5z ? 2 ? ? z ?2 z ( z ? 1)2 dz ;
??

(2)

sin 2 z ? ? z ?4 z 2 ( z ?1) dz .

7.计算积分

x2 (8分) ??? 1 ? x4 dx .

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分) (1)

? nz
n ?1

?

n ?1


2

(2)

(?1) n n z . ? n! n ?1
?

9.讨论 f ( z ) ? z 的可导性和解析性. (6分) 三、证明题. 1.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z) 为常数,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) 2.试证明 az ? az ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分)

《复变函数》考试试题(十四)
一、填空题. (每题2分) 1.设 z ? r (cos ? ? i sin ? ) ,则 z ? ___________________.
n

2.设函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) , A ? u0 ? iv0 , z0 ? x0 ? iy0 ,则 lim f (z ) ? A 的充
z ? z0

要条件______________________. 3.设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分

?

C

f ( z )dz ? _________________________.
z ?a

4.设 z ? a 为 f ( z ) 的可去奇点, lim f ( z ) ? ____________________. 5.设 f ( z) ? z 2 (ez ?1) ,则 z ? 0 是 f ( z ) 的________阶零点. 6.设 f ( z ) ?
2

1 ,则 f ( z ) 在 z ? 0 的邻域内的泰勒展式为_________________. 1? z2

7.设 z ? a ? z ? a ? b ,其中 a , b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是_________________. 8.设 z ? sin ? ? i cos ? ,则 z 的三角表示为_________________________. 9.

?

1?i

0

ze z dz ? ___________________________.
2

10.设 f ( z ) ? z sin

1 ,则 f ( z ) 在 z ? 0 处的留数为________________________. z

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) (1) Ln(?3 ? 4i) ;
3

(2) e

?1?

?i 6

;

(3) (1 ? i)

1?i

2.求解方程 z ? 2 ? 0 . (7分) 3. 设 u ? 2( x ? 1) y , 验证 u 是调和函数, 并求解析函数 f ( z ) ? u ? iv , 使之 f (2) ? ?i . (8 分) 4.计算积分

?

1?i

0

[( x ? y) ? ix 2 ]dz ,其中路径为(1)自原点到点 1 ? i 的直线段;

(2)自原点沿虚轴到 i ,再由 i 沿水平方向向右到 1 ? i . (10 分)

5.试将函数 f ( z ) ?

1 在 z ? 1 的邻域内的泰勒展开式. (8分) ( z ? 2)

6.计算下列积分. (8分) (1)

? ?

sin z ( z ? )2 2

z ?2

?

dz ;

(2)

z2 ? 2 ? ? z ?4 z 2 ( z ? 3) dz .

7.计算积分

?

2?

0

d? . (6分) 5 ? 3cos ?

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分) (1)

? (1 ? i)n z n ;
n ?1

?

(2)
2

(n !) 2 n z . ? n n ?1 n

?

9. 设 f( z) ? m y 分) 三、证明题.

3

n ? x y 2i x ? (l x y3?

试确定 l ,m ,n 的值. (6 ) 为复平面上的解析函数,

1.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 在区域 D 内也解析,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) 2.试证明 az ? az ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分)

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题(一)参考答案
一. 判断题 1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 二.填空题 1. ? 6.√ 7.×8.×9.×10.×

?2? i n ? 1 ; ? 0 n ?1

2. 1;

3.

2k? , (k ? z ) ;

4.

z ? ?i ; 5. 1

6. 整函数; 三.计算题.

7. ? ;

8.

1 ; ( n ? 1)!

9. 0;

10. ? .

1. 解 因为 0 ? z ? 1, 所以 0 ? z ? 1

f ( z) ?

? 1 ? z 1 1 1 ? ? z n ? ? ( )n . ? ? 2 n ?0 2 ( z ? 1)( z ? 2) 1 ? z 2(1 ? z ) n ?0 2

2. 解 因为

Re s f ( z ) ? lim
z?

z?

?
2

?

2

z?

?

2

2 ? lim 1 ? ?1 , cos z z ?? ? sin z z?

?
2

Re s f ( z ) ? lim
z ??

?

2

z ??

?
2

2 ? lim 1 ? 1 . cos z z ?? ? ? sin z

所以

?

z ?2

1 dz ? 2? i(Re s f ( z) ? Re s f ( z) ? 0 . ? ? cos z z ?? z?
2 2
2

3. 解 令 ? (? ) ? 3? ? 7? ? 1, 则它在 z 平面解析, 由柯西公式有在 z ? 3 内,

f ( z) ? ?

? (? ) dz ? 2? i? ( z ) . c? ?z

所以 f ?(1 ? i) ? 2? i ??( z) z ?1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ?13i) . 4. 解 令 z ? a ? bi , 则

w?

z ?1 2 2a (? 1 ?b i ) 2a (? 1 ) b2 .2 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1 ) ? b ( a ? 1)?b a ( ? 1 )? b z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b , Im( . ) ? 1? )? 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1)2 ? b 2

故 Re(

四. 证明题. 1. 证明 设在 D 内 f ( z) ? C . 令 f ( z ) ? u ? iv,

则 f ( z) ? u 2 ? v2 ? c2 .

2

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)

因为函数在 D 内解析, 所以 ux ? vy , u y ? ?vx . 代入 (2) 则上述方程组变为

?uu x ? vvx ? 0 . 消去 ux 得, (u 2 ? v2 )vx ? 0 . ? vu ? uv ? 0 x ? x
1) 若 u ? v ? 0 , 则 f ( z ) ? 0 为常数.
2 2

2) 若 vx ? 0 , 由方程 (1) (2) 及 C . ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , vy ? 0 . 所以 u ? c1 , v ? c2 . ( c1 , c2 为常数). 所以 f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数. 2. 证明 f ( z) ?

z(1? z ) 的支点为 z ? 0,1. 于是割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内变点就

不可能单绕 0 或 1 转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当 z 从支割线上岸一点出发,连续变动到 z ? 0,1 时, 只有 z 的幅角增加 ? . 所以

f ( z) ? z(1 ? z) 的幅角共增加

? . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分 2
? i ? , 故 f (?1) ? 2e 2 ? 2i . 2

支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在 z ? ?1 的幅角为

《复变函数》考试试题(二)参考答案
一. 判断题. 1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题 1.1, ?

?
2

, i;

2. 3 ? (1 ? sin 2)i ;

3. ?

?2? i n ? 1 ; ? 0 n ?1

4. 1; 9. R ;

5. m ? 1 .

6. 2 k? i , (k ? z ) . 三. 计算题 1. 解 sin(2 z 3 ) ? 2. 解 令 z ? re . 则 f ( z) ?
i?

7. 0;

8. ?i ;

10. 0.

(?1)n (2 z 3 )2 n?1 ? (?1)n 22 n?1 z 6 n?3 . ?? ? (2n ? 1)! (2n ? 1)! n ?0 n ?0
?

z ? re
i

i

? ? 2 k?
2

,

(k ? 0,1) .

又因为在正实轴去正实值,所以 k ? 0 . 所以 f (i ) ? e
?
4

.

i? 3. 单位圆的右半圆周为 z ? e , ?

?
2

?? ?

?
2

.

所以 4. 解

?

i

?i

z dz ? ? 2? dei? ? ei?
? 2

?

?
2 ?

?
2

? 2i .

?

sin z
z ?2

(z ? )2 2

?

dz ? 2?i(sin z )?

z?

? ? 2?i cos z
2

z?

?
2 =0.

四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令 f ( z ) ? c1 ? ic2 ,则 f ( z) ? c1 ? ic2 . ( c1 , c2 为实常数). 令 u( x, y) ? c1 , v( x, y) ? ?c2 . 则 ux ? vy ? uy ? vx ? 0 . 即 u , v 满足 C . ? R. , 且 ux , vy , u y , vx 连续, 故 f ( z ) 在 D 内解析. (充分性) 令 f ( z ) ? u ? iv , 则 f ( z) ? u ? iv , 因为 f ( z ) 与 f ( z ) 在 D 内解析, 所以

ux ? vy , uy ? ?vx , 且 ux ? (?v) y ? ?vy , uy ? ?(?vx ) ? ?vx .
比较等式两边得 ux ? vy ? uy ? vx ? 0 . 从而在 D 内 u , v 均为常数,故 f ( z ) 在 D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 a0 z n ? a1z n?1 ???? ? an?1z ? an ? 0 根”. 证明 令 f ( z) ? a0 z n ? a1 z n?1 ???? ? an?1 z ? an ? 0 , 取 R ? max ? 在 C : z ? R 上时, 有

(a0 ? 0) 有且只有 n 个
? a1 ? ??? ? an ? ? ? ,1? , 当 z a0 ? ? ? ?

? ( z) ? a1 Rn?1 ????? an?1 R ? an ? ( a1 ????? an )Rn?1 ? a0 Rn .
? f ( z) .

由儒歇定理知在圆 z ? R 内, 方程 a0 z n ? a1z n?1 ???? ? an?1z ? an ? 0 与 a0 z n ? 0 有相 同个数的根. 而 a0 z n ? 0 在 z ? R 内有一个 n 重根 z ? 0 . 因此 n 次方程在 z ? R 内有 n 个根.

《复变函数》考试试题(三)参考答案
一. 判断题 1.× 2.×3.√ 4.√ 5.√6.√7. √ 8.√ 9.√ 10.√. 二.填空题. 1. z z ? ?i, 且z ? C ; 6. 1; 三. 计算题. 1. 解 2. 解
1 ? 1 1 z ? n?2 . z 2e z ? z 2 (1 ? ? ? ??? ) ? ? z 2! z 2 n ?0 n !

?

?

2. 2k? i

(k ? z ) ;

3. ?1 ? ei ;

4. 1; 9. ? ;

5. ?

7. ?i ;

8. z ? (2k ? 1)? i ;

?2? i n ? 1 ; 0 n ? 1 ? 1 10. . ( n ? 1)!

?1 c n ! (n ? 1n) n? 1 1 l i m n ? l i mn ? ? lim( n ? ) ? l i mn(? 1e . ) n ?? c n ?? n n ?? (n ? 1 ) ! n?? n n n ?1 所以收敛半径为 e . ez ez 1 3. 解 令 f ( z ) ? 2 2 , 则 Re s f ( z ) ? 2 ?? . z ?0 z ( z ? 9) z ? 9 z ?0 9 2? i 故原式 ? 2? i Re s f ( z ) ? ? . z ?0 9 9 6 2 4. 解 令 f ( z) ? z ? 2z ? z ? 2 , ? ( z ) ? ?8z . 则在 C : z ? 1上 f ( z )与? ( z ) 均解析, 且 f ( z) ? 6 ? ? ( z) ? 8 , 故由儒歇定理有

N ( f ? ? , C) ? N( ? f? , C ?) . 即在 1 z ? 1 内, 方程只有一个根.
四. 证明题. 1. 证明 证明 设在 D 内 f ( z) ? C .

令 f ( z ) ? u ? iv,

则 f ( z) ? u 2 ? v2 ? c2 .

2

两边分别对 x, y 求偏导数, 得

? uu x ? vvx ? 0 ? ?uu y ? vv y ? 0

(1) (2)

因为函数在 D 内解析, 所以 ux ? vy , u y ? ?vx . 代入 (2) 则上述方程组变为

?uu x ? vvx ? 0 . 消去 ux 得, (u 2 ? v2 )vx ? 0 . ? ?vu x ? uvx ? 0

1) u ? v ? 0 , 则 f ( z ) ? 0 为常数.
2 2

2)

若 vx ? 0 , 由方程 (1) (2) 及 C . ? R. 方程有 ux ? 0, u y ? 0 , vy ? 0 . 所以 u ? c1 , v ? c2 . ( c1 , c2 为常数). 所以 f ( z ) ? c1 ? ic2 为常数.

2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时,

f ( k ) (0) ?

k! f ( z) k ! Mr n . dz ? 2? ? z ?r z k ?1 rk

于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f ( k ) (0) ? 0 . 故 f ( z) ?

?c z
k ?0

n

n n

, 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题(四)参考答案
一. 判断题. 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.×8.× 9.√10.√ . 二. 填空题. 1.

1 1 , ; 2 2

2. ? ; 7. 0;

3. 2k? i 8. z ? 0 ;

(k ? z ) ;

4.

? (?1) z
n ?0

?

n 2n

( z ? 1) ;
10.

5. 整函数;

6. 亚纯函数; 三. 计算题. 1.

9. ? ;

1 . (n ? 1)!

解 : z 3 ? ?1 ? z ? cos

2k? ? ? 2k? ? ? ? i sin 3 3 ? ? 1 3 z1 ? cos ? i sin ? ? i 3 3 2 2 z 2 ? cos? ? i sin ? ? ?1 z 3 ? cos

k ? 0,1,2

5? 5? 1 3 ? i sin ? ? i 3 3 2 2 ez e ez e?1 2. 解 Re s f ( z ) ? . ? , Re s f ( z ) ? ? z ?1 z ? 1 z ?1 2 z ??1 z ? 1 z ??1 ?2
故原式 ? 2? i (Re s f ( z ) ? Re s f ( z )) ? ? i (e ? e ) .
?1 z ?1 z ??1

3. 解 原式 ? 2? i Re s f ( z ) ? 2? i
z ?? i

z 9 ? z2

?
z ?? i

?
5

.

z 1 1 z ? e ?1 ? z z z 4. 解 e ? 1 z = z (e ? 1) ,令 z (e ? 1) ? 0 ,得 z ? 0, z ? 2k?i , k ? ?1,?2,? 1 1 z ? ez ?1 1? ez lim( z ? ) ? lim z ? lim z z ?0 e ? 1 z ?0 (e ? 1) z z ?0 e ? 1 ? ze z z 而

? ez 1 ? lim z ?? z ?0 e ? e z ? ze z 2
z

? z ? 0 为可去奇点

当 z ? 2k?i 时, (k ? 0), z ? e ? 1 ? 0

?(e

z

? 1) z

而 四. 证明题.

?? z ? 2k?i ? e

z

? 1 ? ze z

z ? 2k?i

?0

? z ? 2k?i 为一阶极点.

1. 证明 设 F ( z) ? f ( z ) , 在下半平面内任取一点 z0 , z 是下半平面内异于 z0 的点, 考虑
z ? z0

lim

F ( z ) ? F ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) ? lim ? lim . z ? z z ? z 0 0 z ? z0 z ? z0 z ? z0

而 z0 , z 在 上 半 平 面 内 , 已 知 f ( z ) 在 上 半 平 面 解 析 , 因 此 F ?( z0 ) ? f ?( z0 ) , 从 而 在下半平面内解析. F ( z) ? f ( z ) 2. 证明 令 f ( z ) ? ?6 z ? 3 , ? ( z) ? z 4 , 则 f ( z ) 与 ? ( z ) 在全平面解析, 且在 C1 : z ? 2 上, f ( z) ? 15 ? ? ( z) ? 16 , 故在 z ? 2 内 N ( f ? ? , C1 ) ? N (? , C1 ) ? 4 . 在 C2 : z ? 1 上,

f ( z) ? 3 ? ? ( z) ? 1 ,

故在 z ? 1内 N ( f ? ? , C2 ) ? N ( f , C2 ) ? 1 . 所以 f ? ? 在 1 ? z ? 2 内仅有三个零点, 即原方程在 1 ? z ? 2 内仅有三个根.

《复变函数》考试试题(五)参考答案
一. 判断题. 1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 二. 填空题. 1.2, ? , 1 ? 3i ; 3 3. (2k ? 1)? i , (k ? z ) ;
?

10.√.

?

2. a ? 2k? i

(k ? z, a为任意实数) ;
5. 0; 9. 0; 10. ? 6. 0;

4. 2k? i, (k ? z ) ;
n 2n

7. 亚纯函数;

8.

? (?1) z
n ?0

( z ? 1) ;

?2? i n ? 1 . ? 0 n ?1

三. 计算题. 1. 解 令 z ? a ? bi , 则

w?

z ?1 2 2a (? 1 ?b i ) 2a (? 1 ) b2 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? .2 2 2 2 2 2 z ?1 z ?1 (a ? 1 ) ? b ( a ? 1)?b a ( ? 1 )? b

z ?1 2(a ? 1) z ?1 2b ) ? 1? )? , Im( . 2 2 z ?1 (a ? 1) ? b z ? 1 (a ? 1)2 ? b 2 2. 解 连接原点及 1 ? i 的直线段的参数方程为 z ? (1 ? i)t 0 ? t ?1 , 1 1 1? i 故 ? Re zdz ? ? ?Re[(1 ? i )t ]?(1 ? i )dt ? (1 ? i ) ? tdt ? . c 0 0 2 dz i? 3. 令 z ? e , 则 d? ? . 当a ? 0时 iz ( z ? a)(1 ? az ) 1 ? 2a cos ? ? a 2 ? 1 ? a( z ? z ?1 ) ? a 2 ? , z 1 dz 1 故I ? ? , 且在圆 z ? 1 内 f ( z ) ? 只以 z ? a 为一级极点, z ? 1 i ( z ? a)(1 ? az ) ( z ? a )(1 ? az ) 1 1 在 z ? 1上无奇点, 故 Re s f ( z ) ? ? ,(0 ? a ? 1) , 由残数定理有 z ?a 1 ? az z ?a 1 ? a 2 1 2? I ? 2? i Re s f ( z ) ? , (0 ? a ? 1) . z ? a i 1 ? a2 4. 解 令 f ( z ) ? ? z, 则 f ( z ), ? ( z ) 在 z ? 1 内解析, 且在 C : z ? 1上, ? ( z) ? 1 ? f ( z) ,
故 Re( 所以在 z ? 1内, N ( f ? ? , C ) ? N ( f , C ) ? 1 , 即原方程在 z ? 1 内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 因为 u( x, y) ? x ? y , v( x, y) ? 0 , 故 ux ? 2x, uy ? 2 y, vx ? vy ? 0 .
2 2

这四个偏导数在 z 平面上处处连续, 但只在 z ? 0 处满足 C . ? R. 条件, 故 f ( z ) 只在除了

z ? 0 外处处不可微.

2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时,

f ( k ) (0) ?

k! f ( z) k ! Mr n . dz ? 2? ? z ?r z k ?1 rk

于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f ( k ) (0) ? 0 . 故 f ( z) ?

?c z
k ?0

n

n n

, 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题(六)参考答案
一、判断题:1.√ 2.× 二、填空题:1. ?1 ? ei 6. m ? 1 阶 三、计算题: 1. 解:因为 3.√ 4.√ 2. z ? ?1 7. 整函数 5.√ 6.√ 3. 2? 8. ? 7.× 4. 1 9. 0 8.√ 9.√ 10.× 5. 1 10. 欧拉公式

2?i 1 1 5 ? ? ? ? 1, 6 9 36 6
2?i n ) ?0. 6

故 lim(
n ??

2. 解:? 1 ? i ? 2 ? 3,

? f ( z) ?

1 f (? ) d? ? 2? i C ? ? z

??
因此

3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z

2 f (? )? 2 ? i (?3 ? ?7 ? 2

1)

故 f ( z) ? 2? i(3z ? 7 z ? 1)

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ? 13i) .

ez ez 1 1 ? ?( ? ) 2 3.解: z ? 1 2 z ? i z ? i

? Re s( f ( z ), i) ?
?

ei . 2

4.解: sin z ?
3

(?1)n ( z 3 )2 n?1 , ? (2n ? 1)! n ?0

?

sin z 3 ? (?1)n 6 n?3 ?? z . z6 n ? 0 (2n ? 1)!

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi . ? ? z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1)2 ? y 2 Im w ? 2y . ( x ? 1)2 ? y 2

? Re w ?
? i 3

x2 ? y 2 ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2

?

6.解: e

? ? 1 ? cos(? ) ? i sin(? ) ? (1 ? 3i). 3 3 2

6 7 3 四、1. 证明:设 f ( z ) ? 9 z , ? ( z ) ? z ? 6 z ? 1,

则在 z ? 1上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8, 即有 f ( z) ?

? ( z) .

根据儒歇定理, f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点个 数为 6,故 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2. 证明:设 v( x, y) ? a ? bi ,则 vx ? vy ? 0 , 由于 f ( z ) ? u ? iv 在内 D 解析,因此

?( x, y) ? D 有

ux ? v y ? 0 ,

u y ? ?vx ? 0 .

于是 u( x, y) ? c ? di 故 f ( z ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数. 3.证明:由于 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设

f ( z) ? ( z ? z0 )m g ( z) ,
其中 g ( z ) 在 z0 的某邻域内解析且 g ( z0 ) ? 0 , 于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )
1 在内 D1 解析,故 g ( z)

由 g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

z0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)

《复变函数》考试试题(七)参考答案
一、判断题:1.√ 2. √ 3. × 二、填空题:1. ei 2. z ? ?1 6. m ? 1 阶 7. 整函数 三、计算题: 1. 解: ( 4.√ 5.√ 3. 2? i 8. ? 6.√ 7. √ 8. × 4. 1 5. 1 9. 0 10.

1 ( n ? 1)!

1? i 2 1? i 2 ) ?( ) ? i ? i ? 0. 2 2

2. 解:? 1 ? i ? 2 ? 3,

? f ( z) ?

1 f (? ) d? ? 2? i C ? ? z

??
因此

3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z

2 f (? )? 2 ? i (?3 ? ?7 ? 2

1)

故 f ( z) ? 2? i(3z ? 7 z ? 1)

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ? 13i) .

zn ez ? n! 1 1 1 3. 解: 2 ? n ?0 2 ? 2 ? ? ? ? , z z z z 2
因此 Re s( f ( z ),0) ? 1. 4. 解:

?

z ?1 2 ?1 1 ? ? ? ? ( z ?1)( z ? 2) z ?1 z ? 2 z (1 ? 1 ) 1 ? z z 2
1 ? 1, z z ?1. 2

由于 1 ? z ? 2 ,从而

因此在 1 ? z ? 2 内



z (z ? 1 ) z (?

? ? 1 ? 1 z n 1 n1 z ? ? ? ( )n ? ( ) ? ? [(? ) ? ( n ) ]. ? ? 2 ) zn?0 z n?0 2 z 2 n ?0

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi . ? ? z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1)2 ? y 2 Im w ? 2y . ( x ? 1)2 ? y 2

? Re w ?

x2 ? y 2 ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2

i? 6.解:设 z ? e ,则 d? ?

?

2?

0

dz 1 1 , cos ? ? ( z ? ) , iz 2 z d? dz 2 2idz ?? ? ?? 2 z ? 1 z ? 1 a ? cos ? iz 2a ? z ? 1 z ? 2az ? 1 z

? a ? 1 ,故奇点为 z0 ? a 2 ? 1 ? a

?

2?

0

d? 1 2? ? 4? ? Re s f ( z ) ? 4? ? ? 2 a ? cos ? z ? z0 2 a ?1 a2 ?1 .

四、证明题: 1.
7 6 3 2 证明:设 f ( z ) ? 24 z , g ( z ) ? 9 z ? 6 z ? z ? 1,

则在 z ? 1上, f ( z ) ? 24,

g ( z ) ? 9 ? 6 ? 1 ? 1 ? 17, 即有 f ( z) ? g ( z) .

根据儒歇定理知在 z ? 1 内 f ( z ) 与 f ( z ) ? g ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而在 z ? 1 内 f ( z ) 的零点个数为 7,故 24 z ? 9 z ? 6 z ? z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7 6 3 2

2.证明:设 f ( z) ? u ? v ? c ,则
2 2

2u ? u x ? 2v ? vx ? 0, 2u ? u y ? 2v ? v y ? 0.
已知 f ( z ) 在区域 D 内解析,从而有 ux ? vy , 将此代入上上述两式得

uy ? ?vx

uu x ? vu y ? 0, uu y ? vu x ? 0.

因此有 ux ? 0, u y ? 0, 于是有 vx ? 0, vy ? 0 . 即有

u ? c1, v ? c2 ,

f ( z) ? c1 ? ic2

故 f ( z ) 在区域 D 恒为常数. 3.证明:由于 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设

f ( z) ? ( z ? z0 )m g ( z) ,
其中 g ( z ) 在 z0 的某邻域内解析且 g ( z0 ) ? 0 , 于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )
1 在内 D1 解析,故 g ( z)

由 g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

z0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)

五、计算题 解: 根据线性变换的保对称点性知 i 关于实轴的对称点 ?i 应该变到 w ? 0 关于圆周的对 称点 w ? ? ,故可设 w ? k

z ?i z?i

《复变函数》考试试题(八)参考答案
一、判断题:1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题:1. ?1 ? ei
?

2. z ? 0,?

3. 2?

4.

?

5.

1

6. 三、计算题: 1. 解:由于 e 所以
z ?1

? ? 0, n ? 1 2k 7. ( iz ) ? ? k=0 ? ? 2? i, n ? 1
sin z 在 z ? 1 解析,

8. ?

9. 5

10.

z ? ?1

?

z ?1

e z ?1 sin zdz ? 0

1 dz 1 dz 1 1 ( z ? 4) ? ?? 而 ? ? 2? i z ?3 ( z ? 1)( z ? 4) 2? i z ?3 ( z ? 1) 3
因此

?

z ?1

e z ?1 sin zdz ?

1 dz 1 ?? . ? z ? 3 2? i ( z ? 1)( z ? 4) 3

2. 解:? 1 ? i ? 2 ? 3,

? f ( z) ?

1 f (? ) d? ? 2? i C ? ? z

??
因此

3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z

2 f (? )? 2 ? i (?3 ? ?7 ? 2

1)

故 f ( z) ? 2? i(3z ? 7 z ? 1)

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ? 13i) .
3. 解: f ( z ) ?

ez ez 1 1 ? ( ? ) 2 z ?1 2 z ?1 z ? 1

e R es ( f z( ) ,? 1) 2
因此

,

e?1 sR f ez (? ( ? )?, 1 ) 2

,

e e?1 e?1 ? e Re s( f ( z ), ?) ? ?( ? ) ? . 2 2 2

4.解:

z ? 10 11 11z ? 12 11 1 11z ? 12 1 ?? ? 2 ?? ? ? ? 2 2 ( z ? 1)( z ? 2) z ?1 z ? 2 z 1? 1 z2 1? 2 z z
1 ? 1, z 2 ?1 z2

由于 2 ? z ? ?? ,从而

因此在 2 ? z ? ?? 内有

z ?1 0 ( z ? 1 )z(2 ?

1 1? 1 ? ? ? ? ( )n ? 2 ) z n ?0 z

z 1? 1 z2

1?2 ?? ( n ? 0 z

n 2

2? n1 1) ?n 1 )? ? ( 2 ()? [ ?n 2 z ( ?1 1 ? 1 z 2) 11 ? n 0z

]

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi . ? ? z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1)2 ? y 2 Im w ? 2y . ( x ? 1)2 ? y 2

? Re w ?
ix

x2 ? y 2 ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2
ix

6.解:设 z ? e , 则 dz ? ie dx ? izdx

1 1 (z ? ) 2i z ? dx 1 2? dx ?0 2 ? sin 2 x ? 2 ?0 2 ? sin 2 x 1 1 2iz dz ? ? ? 2 dz ? ? 2 z ?1 z ? 4iz ? 1 2 z ?1 iz z ? 4iz ? 1 1 在 z ? 1内 2 只有 z ? ( 3 ? 2)i 一个一级极点 z ? 4iz ? 1 sin x ?

Re s[ f ( z ), ( 3 ? 2)i] ? ?
?

i 2 3

因此 四、证明:

?

0

dx ?i ? ? 2? i ? ? . 2 2 ? sin x 2 3 3

7 6 5 3 1. 证明:设 f ( z ) ? 15 z , g ( z ) ? 5 z ? z ? 6 z ? 1,

则在 z ? 1上, f ( z ) ? 15,

g ( z ) ? 13, 即有 f ( z) ? g ( z) .

根据儒歇定理知在 z ? 1 内 f ( z ) 与 f ( z ) ? g ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而在 z ? 1 内 f ( z ) 的零点个数为 7,故 15 z ? 5 z ? z ? 6 z ?1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7
7 6 5 3

2. 证明:因为 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) ,在 D 内连续, 所以 ?( x0 , y0 ) ? D ,

?? ? 0, ?? ? 0.
当 x ? x0 ? ? , y ? y0 ? ? 时有

f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ? u( x, y) ? u( x0 , y0 ) ? i[v( x, y) ? v( x0 , y0 )]
? {[u( x, y) ? u( x0 , y0 )]2 ? [v( x, y) ? v( x0 , y0 )]2}2 ? ? ,
从而有 u( x, y) ? u( x0 , y0 ) ? ? ,
1

v( x, y) ? v( x0 , y0 ) ? ? .
即与在连续,由 ( x0 , y0 ) ? D 的任意性知 u ( x, y ) 与 v( x, y ) 都在 D 内连续 3.证明:由于 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设

f ( z) ? ( z ? z0 )m g ( z) ,
其中 g ( z ) 在 z0 的某邻域内解析且 g ( z0 ) ? 0 , 于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )
1 在内 D1 解析,故 g ( z)

由 g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

z0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)
5

五、解:1.设 ? ? z 4 ,则 ? 将区域 {z : 0 ? arg z ?

4 ? } 保形映射为区域 {z : 0 ? arg ? ? ? } 5

2.设 w ? e

i?

? ?i , 则 w 将上半平面保形变换为单位圆 w ? 1 . ? ?i

因此所求的单叶函数为

w ? ei?

z ?i z ?i
5 4

5 4

.

《复变函数》考试试题(九)参考答案 一、判断题(20 分)
1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 3、 2?

二、填空题(20 分) 1、 e ? z i
2、 z ? k? , k ? 0, ?1, ?2,? 4、1 5、1

6、 m ? 1 7、整函数 8、 c 三、计算题(30)

9、8 10、 e

1、解:?

2?i 5 2?i n ? ? 1, ? lim( ) ? 0. n ?? 6 6 6

2、解:? 1 ? i ? 2 ? 3,
? f ( z) ? 1 f (? ) d? ? 2? i C ? ? z

??
因此

3? 2 ? 7? ? 1 d ?. C ??z

2 f (? )? 2 ? i (?3 ? ?7 ?

1)

故 f ( z) ? 2? i(3z 2 ? 7 z ? 1)

f ?(1 ? i ) ? 2? i (6 z ? 7) 1?i ? 2? i(13 ? 6i) ? 2? (?6 ? 13i) .

3、解:

f ( z) ?

ez ez ? . z 2 ? 1 ( z ? i )( z ? i ) ?iei iei , Re s( f ( z ), ?i) ? . 2 2

Re s( f ( z ), i ) ?
4、解:

z ?1 2 ?1 1 ? ? ? ? ( z ? 1)( z ? 2) z ? 1 z ? 2 z (1 ? 1 ) 1 ? z z 2
1 ? 1, z z ?1. 2

由于 1 ? z ? 2 ,从而 因此在 1 ? z ? 2 内



z (z ? 1 ) z (?

? ? 1 ? 1 z n 1 n1 z ? ? ? ( )n ? ( ) ? ? [(? ) ? ( n ) ]. ? ? 2 ) zn?0 z n?0 2 z 2 n ?0

5、解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ? 1 x ? 1 ? iy ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 yi . ? ? z ? 1 z ? 1 ? iy ( x ? 1)2 ? y 2

? Re w ?

x2 ? y 2 ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2

Im w ?

2y . ( x ? 1)2 ? y 2

6、解:设 f ( z ) ?

z2 ? z ? 2 , 则 f ( z ) 在 Im z ? 0 内有两个一级极点 z1 ? 3i, z2 ? i , z 4 ? 10 z 2 ? 9

Re s( f ( z ),3i) ?

3 ? 7i 1? i , Re s( f ( z ), i) ? ? , 48 16

因此,根据留数定理有

?

??

??

z2 ? z ? 2 3 ? 7i 1 ? i ? dz ? 2? i ( ? )?? . 4 2 z ? 10 z ? 9 48 16 6

四、证明题(20 分)
6 7 3 1、证明:设 f ( z ) ? 9 z , ? ( z ) ? z ? 6 z ? 1,

则在 z ? 1上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8, 即有 f ( z) ?

? ( z) .

根据儒歇定理, f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点个 数为 6,故 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2 、 证 明 : 设 u( x, y) ? a ? bi , 则 ux ? u y ? 0 , 由 于 f ( z ) ? u ? iv 在 内 D 解 析 , 因 此

?( x , y )? D有

ux ? v y ? 0 ,

u y ? ?vx ? 0 .

于是 v( x, y) ? c ? di 故 f ( z ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数. 3、证明:由于 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设

f ( z) ? ( z ? z0 )m g ( z) ,
其中 g ( z ) 在 z0 的某邻域内解析且 g ( z0 ) ? 0 , 于是

1 1 1 ? ? m f ( z ) ( z ? z0 ) g ( z )
1 在内 D1 解析,故 g ( z)

由 g ( z0 ) ? 0 可知存在 z0 的某邻域 D1 ,在 D1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

z0 为

1 的 m 阶极点. f ( z)

五、计算题(10 分)

解:1、设 ? ? z ?

?
2

i, 则 ? 将区域 {z :

?

? Im z ? ? } 保形变换为区域 {? : 0 ? Im z ? } . 2 2

?

? 2、设 t ? e ,则 t 将区域 {? : 0 ? Im z ?

?

} 保形变换为区域 D{t : 0 ? arg t ? }. 2 2

?

3、设 s ? t 2 , 则 s 将 D 保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为

w ? ei? ?

s ?i t2 ? i e2? ? i ?e2 z ? i ? ei? ? 2 ? ei? ? 2? ? ei? ? 2 z . s?i t ?i e ?i ?e ? i

《复变函数》考试试题(十)参考答案
一、判断题(40 分) : 1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 二、填空题(20 分) : 1. 2? i 2. 8. √ 9. √ 10. √

z (1 ? z )2

3. z ? ?i

4. 1

5.

1 ( n ? 1)!

三、计算题(40 分) 1. 解: f ( z ) ?

z 在 z ? 2 上解析,由 cauchy 积分公式,有 9 ? z2

z 2 z 9 ? z2 ? z ?2 (9 ? z 2 )( z ? i)dz ? ? z ?2 z ? i dz ? 2? i ? 9 ? z 2

?
z ?? i

?
5

eiz e?i i 2. 解:设 f ( z ) ? ,有 Re s ( f , ? i ) ? ? e 2 1? z ?2i 2

2

? ? n ? ? n ? 1? i ? ? 1? i ? 3. 解: ? ? ?? ? ? (cos 4 ? i sin 4 ) ? (cos 4 ? i sin 4 ) ? 2? ? 2?
? cos
4. 解:

n

n

n? n? n? n? n? ? i sin ? cos ? i sin ? 2 cos 4 4 4 4 4

?u 2x ?u 2y ? 2 ? 2 , 2 ?x x ? y ?y x ? y 2
( x, y )

v( x, y) ? ?
??

(0,0)

?u y dx ? ux dy ? c ? ?

( x, y )

(0,0)

?2 y 2x dx ? 2 dy ? c 2 x ?y x ? y2
2

y

0

y 2x ?c dy ? c ? 2 a r c t a n 2 x x ?y
2

f (1 ? i) ? u(1,1) ? iv(1,1) ? ln 2 ? i(2arctan1 ? c) ? ln 2
故c ? ?

?
2

, v( x, y ) ? 2 arctan

y ? ? x 2

4 5. 解:令 f ( x) ? ?5z , g ( z ) ? z ? 1 则 f ( x ) , g ( z ) 在 z ? 1 内均解析,且当 z ? 1时

f ( z) ? 5 ? z 4 ? 1 ? z 4 ? 1 ? g ( z)
由 Rouche 定理知 z ? 5 z ? 1 ? 0 根的个数与 ?5 z ? 0 根的个数相同.
4

故 z ? 5 z ? 1 ? 0 在 z ? 1 内仅有一个根.
4

《复变函数》考试试题(十一)参考答案
一、1.× 二、1. 1 5. zk ? 2.√ 2. ?
4

3.× 3. u ?

4.√

5.√

a (cos

2 k? ? ? 2 k? ? ? ? i sin ) 4 4
7.

1 2

4. u ?

1 2 (k ? 0,1, 2,3)
8.15

6.

1 3

2n 2

?

?1

9.

? (a) ? ?(a)

10. ?m

三、1.解:

?u x ? 2 , ?x x ? y 2
( x, y ) (0,0)

?u y ? 2 ?y x ? y 2

v( x, y) ? ?
?? ??


?u y dx ? ux dy ? C
y x dx ? 2 dy ? C 2 x ?y x ? y2
2

( x, y )

(0,0)

?

y

0

x y dy ? C ? arctan ? C . 2 x ?y x
2

f ( 1? i )? u ( 1 , 1 ?)i v ( 1 , 1 )
? 1 1 ln 2 ? i (arctan1 ? C ) ? ln 2 . 2 2 y ? v( x, y ) ? arctan ? . x 4
2

故C ? ?

?
4

,

1 sin 2 z 2.解: (1) tan z ? 奇点为 z ? (2k ? )? , 2 2 cos z

k ? 0, ?1? 对任意整数 k ,

1 z ? (2k ? )? 为二阶极点, z ? ? 为本性奇点. 2
(2) 奇点为 z0 ? 1,

zk ? 2k? i,

(k ? 0, ?1?)

z ? 1 为本性奇点,对任意整数 k , zk 为一级极点, z ? ? 为本性奇点.
3. (1)解: f ( z ) ? 由留数定理,有

z19 共有六个有限奇点, 且均在内 C : z ? 4 , ( z 2 ? 1)4 ( z 4 ? 2)3

?

z ?4

f ( z )dz ? 2? i[? Re s( f , ?)]

将 f 在 z ? ? 的去心邻域内作 Laurent 展开

f ( z) ? z 8 (1 ?

z19 1 4 12 2 ) ? z (1 ? 4 )3 2 z z

1 1 ? ? 1 z (1 ? ) 4 (1 ? 2 )3 z2 z4 1 4 10 6 z4 ? (1 ? 2 ? 4 ? ?)(1 ? 4 ? 8 ? ?) z z z z z 1 4 ? ? 3 ?? z z
所以 Re s( f , ?) ? ?C?1 ? ?1

?

z ?4

f ( z )dz ? 2? i .

(2)解: 令 z ? e ,则

i?

I ??

?

0

d? 1 2? d? ? ? 2 1 ? cos ? 2 0 1 ? cos 2 ?

?

1 4 zdz 4 ? C : z ? 1 2 i( z ? 6 z 2 ? 1) 4 zdz 2du ? 2 ,故 2 i ( z ? 6 z ? 1) i (u ? 6u ? 1)
4

再令 z ? u 则
2

1 2du 2 du I ? ? 2? ? ? 2 2 2 C: z ?1 i(u ? 6u ? 1) i C u ? 6u ? 1
由留数定理,有

2 1 ? I ? ? 2? i Re s( f , ?3 ? 8) ? 4? ? ? i 4 2 2
4.解:儒歇定理:设 c 为一条围线,若函数 f 与 ? 均在 c 内部及 c 上解析且

? ( z) ? f ( z) , z ? c ,则 f ( z ) ? ? ( z) 与 f ( z ) 在 c 内部的零点个数相同.
4 7 2 令 f ( z ) ? ?5z , g ( z) ? z ? z ? 2 则 f ( z ), g ( z ) 在 z ? 1 内解析且

当 z ? 1时
7

7 2 7 2 f ( z ) ? 5? z ? z ?2 ? z ?z ? 2

? g( , z)

由儒歇定理 z ? 5z ? z ? 2 ? 0 的根个数与 ?5 z ? 0 根个数相同
4 2 4

故 z ? 5z ? z ? 2 ? 0 在 z ? 1 内有 4 个根.
7 4 2

四、1.证明: f ( z ) ? u( x, ? y) ? iv( x, ? y) ? u* ? iv*

u* ? u ( x, ? y ), u x* ? u x ,

v * ? ? v ( x, ? y ) v x * ? ?v x , v y* ? v y

u y* ? ?u y ,

由 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在上半平面内解析,从而有

ux ? vy ,
* * 因此有 u x ? v y ,

u y ? ?v x .

u y * ? ?vx *

故 f ( z ) 在下半平面内解析. 2.证明: (1) ?r 1 ?r 2,

0 ? r1 ? r2 ? R 则
z ? r1 z ? r1

M (r1 ) ? max f ( z ) ? max f ( z ) M (r2 ) ? max f ( z ) ? max f ( z )
z ? r2 z ? r2

故 M (r2 ) ? M (r 1 ) ,即 M (r ) 在 [0, R ) 上为 r 的上升函数. (2)如果存在 r1 及 r2 (0 ? r 1 ?r 2 ? R) 使得 M (r 1 ) ? M (r2 ) 则有 max f ( z ) ? max f ( z )
z ? r2 z ? r1

于是在 r 1 ? z ?r 2 内 f ( z ) 恒为常数,从而在 z ? R 内 f ( z ) 恒为常数.

《复变函数》考试试题(十二)参考答案
一、判断题. 1. × 2. × 二、填空题. 1. ?1 3. × 2. ( ?? ) 6. 2? 10. ??
1 arg z ? 2 k? i 5

4. √

5. × 3. f ( z ) ? z ?

1 z
8.

4. 0, ?

5. i 9.本性 三、计算题. 1.解: wk ? z 5 e

7. 1

2n 2

?

?1

k ? 0 , 1, 2 , 3 , 4
? ? 2 k?
5 i

由 5 ?1 ? ?1 得 ?1 ? e

从而有 k ? 2

w2 (1 ? i) ? 2 ? e

1 10

? ? 4? 4 5

?

i ? 2 (cos

1 10

3? 3? 1? i ? i sin ) ? 5 4 4 4

2.解: (1) f ( z ) ?

Lnz ln z ? 2k? 的各解析分支为 f k ( z ) ? , (k ? 0, ?1,?) . 2 z ?1 z2 ?1

z ? 1 为 f 0 ( z ) 的可去奇点,为 f k ( z ) 的一阶极点 (k ? 0, ?1,?) 。

Re s( f0 ( z),1) ? 0

? , ) R es (fk (z ) ,? 1 )? k i (k . ? ?1 , ? 2

? 1 ? zn ? 1 ez (2) Re s n ?1 ? Re s ? n ?1 ? ? ? ? z ?0 z z ?0 n! n ?0 n ! ? ?z
3.计算下列积分

z7 1 ? 解: (1) f ( z ) ? 2 3 2 1 ( z ? 1) ( z ? 2) z (1 ? )3 (1 ? 2 ) z2 z2

Re s( f , ?) ? ?C?1 ? ?1

?

z ?2

f ( z )dz ? 2? i[? Re s( f , ?)] ? 2? i

(2)设 f ( z ) ?

z2 z2 ? ( z 2 ? a 2 )2 ( z ? ai)2 ( z ? ai)2 z2 , ( z ? ai )2

令 ? ( z) ?

? ?( z ) ?

2aiz ( z ? ai)3

则 Re s( f , ai) ?

? ?(ai)
1!

?

2(ai 2 ) 1 ?? i 3 (2ai) 4a

?

Im z?

f ( z) d z ? 2 ? iR e s ( f , ? a i) 0 2a

?

?

??

??

x 2 dx ? ? 2 2 2 (x ? a ) 2a

4.儒歇定理:设 c 是一条围线, f ( z ) 及 ? ( z ) 满足条件: (1)它们在 c 的内部均解析,且连续到 c ; (2)在 c 上, f ( z) ?

? ( z)

则 f 与 f ? ? 在 c 的内部有同样多零点, 即 f ( z ) ? 10
6

g ( z) ? z 6 ? 6z 有

f ( z) ? g ( z)

由儒歇定理知 z ? 6 z ? 10 ? 0 在 z ? 1 没有根。 四、证明题 1 证明:.设 z ? x ? iy 有

f ( z )? ez ? ex ( c o ys ?i

s yi n )

u( x, y) ? ex cos y, v( x, y) ? ?e x sin y
?u ?u ?v ? e x cos y, ? ?e x sin y, ? ?e x sin y, ?x ?y ?x ?v ? ?e x cos y ?y

易知 u ( x, y ) , v( x, y ) 在任意点都不满足 C ? R 条件,故 f 在复平面上处处不解析。

2.证明:于高阶导数公式得

(e z? )( n )

? ?0

?

n! e z? d? 2? i ?? ?1 ? n ? 1

即z ?
n

n! e z? d? 2? i ?? ?1 ? n ? 1
? zn ? 1 z n e z? ? d? 从而 ? ? ? 2? i ?C: ? ?1 n ! ? n ? 1 ? n! ?
2

zn 1 e z? 故 ? d? n ! 2? i ?? ?1 ? n ? 1

《复变函数》考试试题(十三)参考答案
一、填空题. (每题2分) 1.

1 ? i? e r

2. lim v( x, y) ? v0 u( x, y) ? u0 及 lim x?x x?x
o y? yo
o y? yo

3. 0

4. ?

5. 2 8. ?

6. 1 ? z 2 ? z 4 ? z 6 ????(?1)n z 2n ????

7.椭圆

1 (1 ? 2i ) 2

9.

2 ? (1 ? ) ? 1 2 4

10. ?1

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) 解: (1) cos i ?

1 (e ? e ?1 ) 2

(2) ln(?2 ? 3i) ? ln ?2 ? 3i ? i arg(?2 ? 3i)

1 3 ? ln13 ? i(? ? arctan ) 2 2
(3) 3
3?i

? e(3?i )ln3 ? e(3?i )(ln3?i?2k? ) ? e3ln3?2k? ?i (6k? ?ln3)

? 27e2k? [cos(ln 3) ? i sin(ln 3)]
2. 解: z ? 8 ? 0 ? z ?
3
3

3

?8 ? 8e ? 2e
3

i?

i

? ? 2 k?
3

(k ? 0,1, 2)

故 z ? 8 ? 0 共有三个根: z0 ? 1 ? 3 , z1 ? ?2 , z2 ? 1 ? 3 3. 解: u ? x ? y ? xy ? ux ? 2x ? y, uy ? ?2 y ? x
2 2

?

? 2u ? 2u ? ? 2 ? 2 ? 0 ? u 是调和函数. ?x 2 ?y 2
(x ,y ) ( 0,0 )

v( x ,y ) ??

? (u y dx ) ? ux dy ? c ? ?
y 0

( x , y )

( 0,0 )

y (? 2 x dx ? )

x? (2 y dy ? ) c

? ? (? x)dx ? ? (2 x ? y)dy ? c
0

x

x2 y2 ? ? ? 2 xy ? ? c 2 2
? f ( z ) ? u ? iv ? ( x 2 ? y 2 ? xy ) ? i (? x2 y2 1 ? 2 xy ? ? ) 2 2 2

?
4. 解 (1) (2)

1 1 (2 ? i ) z 2 ? i 2 2
1 1 5 ? iy )dz ? ? ( x 2 ? ix 2 )d ( x ? ix 2 ) ? ? ? i 0 6 6

? (x
c

2

?

1?i

0

[( x ? y) ? ix2 ]dz ? i ? (? y)dy ? ? [( x ? 1) ? ix 2 ]dx
0 0

1

1

i i 1 1 ? ? ? ? ? ? (3 ? i ) 2 3 2 6
? 1 1 1 1 ? z 5. 解: 0 ? z ? 1 时 f ( z ) ? ? ? ? ? ?( ) ? ? zn ( z ? 1)( z ? 2) z ? 2 z ? 1 2 n ?o 2 n ?0 n

? ? ( 1?
n ?0

?

1 z n?1

z )n

1 ? z ? 2 时 f ( z) ?

1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ( z ? 1)( z ? 2) z ? 2 z ?1 2(1 ? z ) z(1 ? 1 ) 2 z
?? zn 1 ?? n n ? o 2n ? 1 n ?0 z ??

? ??

6. 解: (1)

? ?

5z ? 2 dz ? 2? i[? Re s( f , ?)] ? ?4? i c ? z ? 2 z ( z ? 1) 2

(2)

sin 2 z ? ? z ?4 z 2 ( z ?1)dz ? 2? i[? Re s( f , ?)] ? 0
z2 1? z4

7.解: 设 f ( z ) ?

z1 ?

2 2 ( 1? i ) 和 z2 ? (?1 ? i) 为上半平面内的两个一级极点, 2 2
z2 ? 1? i 4 2i

且 Re s[ f ( z ), z1 ] ? lim
z ? z1

[z ?

2 (?1 ? i)]( z 2 ? i ) 2

R es [ f z( z )2, ? ]

z2 1? i lim ? z ? z2 2 4 2 i [z ? (? 1 ? i )z ]2(? i ) 2

x2 1? i 1? i ? ??? 1 ? x4 dx ? 2? i( 4 2i ? 4 2i ) ? 2
??

8. (1) R ? 1

(2) R ? ?
2

2 2 9. 解: 设 z ? x ? iy ,则 f ( z ) ? z ? x ? y

ux ? 2 x, uy ? 2 y, v x ? v y ? 0

当且仅当 x ? y ? 0 时,满足 C ? R 条件,故 f ( z ) 仅在 z ? 0 可导,在 z 平面内处处不解析.

三、 1. 证明: 设 f ? u ? iv ,因为 f ( z) 为常数,不妨设 u ? v ? C ( C 为常数)
2 2

则 u ? ux ? v ? v y ? 0

u ? u y ? v ? vy ? 0

由于 f ( z ) 在 D 内解析,从而有 ux ? vy , u y ? ?vx 将此代入上述两式可得 ux ? uy ? vx ? vy ? 0 于是 u ? C1 , v ? C2 因此 f ( z ) 在 D 内为常数. 2. 解: 设 z ? x ? iy , a ? A ? Bi ( A , B 为实常数) 则 az ? ( A ? Bi)( x ? iy) ? ( Ax ? By) ? i( Ay ? Bx)

az ? az ? b ? az ? az ? b ? 0 ? 2( Ax ? By) ? b ? 0
故 az ? az ? b ? 0 的轨迹是直线 2 Ax ? 2By) ? b ? 0

《复变函数》考试试题(十四)参考答案
一、 1、 r n ? cos n? ? i sin n? ? 2、

limu ? x, y ? ? u 且 limv ? x, y ? ? v
x ? x0 y ? y0 0 x ? x0 y ? y0

0

3、0 7、椭圆

4、有限值 8、 cos ?

5、4

6、 1 ? z ? z ? ? ? z
2 4

2n

??
10、 ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? i sin ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

9、 ie

1? i

1 6

二、计算题。 1、解(1) ln ? ?3 ? 4i ?

4 ? ? ? ln 5 ? i ?? ? arg tan ? 2n? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ln 5 ? i ? ? arg tan ? ? 2n ? 1? ? ? ? n ? 0, ?1, ?2,?? 3 ? ?
(2) ie
?1?

?i
6

1? ? ? ? 1? 3 i ? ? ? cos ? i sin ? ? ? ? ? e? 6 6 ? e? 2 2? ? ?
? e?1?i ? ln ?1?i ? ? e
=?
?

(3) ?1 ? i ?

1? i

?1?i ? ?ln
?

?

? ? ?? 2 ? i ? ? ? 2 k? ? ? ? 4 ??

? e?

? ? ? ? ? ? ? ln 2 ? ? 2 k? ? ?i ? ? ? 2 k? ?l n 2 ? 4 ? ? 4 ?

2e 4

? 2 k?

? ? ? ? ? ? ?? ?cos ? ? 4 ? ln 2 ? ? i sin ? ? 4 ? ln 2 ?? ? ? ?? ? ?
3 i?

2、解: z ? ?2 ? 2e
3 3

i?

z? 2e

? ? 2 n?
3

?

n ? 0 , 1,? 2
3

故:方程 z ? 2 ? 0 共有三个根,分别为: 3、解: ux ? 2 y, uy ? 2 ? x ?1?

2 1 ? 3i , ? 3 2 2

?

?

? 2u ? 2u ? 0 ? ?x 2 ?y 2
故 u 是调和函数。

v ? x, y ? ? ?
4. 解: (1)

? x, y ?

? 0,0?

?u y dx ? ux dy ? c
1

?

1?i

0

2 2 ? ?( x ? y) ? ix ? ?dz ? ?0 ? ix ?d ( x ? ix)

? i (1 ? i ) ?

x3 1 1 ? ? i ? 1? 3 0 3

(2)

?

1? i

0

1 2 ? ?( x ? y ) ? ix ? ?dz ? 3 ? i ? 1?
n

1 1 1 ? ? z ? 1? 5. 解: f ? z ? ? ?? ?? ? z?2 3 n?0 3n ? z ?1 ? 3 ?1 ? ? 3 ? ?
= ?

?
n?0

?

? z ? 1?
3n ?1

n

6. 解: (1)

? ?

z ?2

dz ? 2? i ? cos( ) ? 0 2 ( z ? )2 2

sin z

?

?

(2) f ? z ? ?

z2 ? 2 1 3 ? (1 ? ? ?) 2 z ? z ? 3? z z

Re s( f , ?) ? ?C?1 ? ?1

? ?

z ?4

f ? z ?dz ? 2? i ? ? Re s( f , ?)? ? 2? i
i?

7. 解: 设 z ? e

dz z 2 ?1 则 d? ? , sin ? ? iz 2iz

d? 2dz 2 ?? ?? dz 2 ? ? 0 5 ? 3sin ? z ? 13z ? 10iz ? 3 z? 1 i 3( z ? 3i)( z ? ) 3 i 2 令 f ? z? ? , 则 f 在 z ? 1内只有一级权点, z ? ? ,依离数定理有 i 3 3( z ? 3i)( z ? ) 3

?

2?

?

2?

0

d? ? ? 2? i R es? f? ?z ? , 5 ? 3 s i? n ?

i? ? ? ?2 ? i ? ? ?3 ?

i? ? ?? ?4

2

8. 解: (1)

?1 ? i ? z
Cn ?

?1 即 z ?

1 1 . 故R ? 2 2

(2)

(n !) 2 nn
cn 1 ? 1? ? lim ?1 ? ? ? ?0 cn ? 1 n ?? ? n ? n ? 1
3 2 3 2
n

R ? lim
n ??

9.解 设 u( x, y) ? my ? nx y, v( x, y) ? x ? lxy , 则

?u ?u ? 2nxy, ? 3my 2 ? nx 2 , ?x ?y

2nxy ? 2lxy ? ?v ?v , 解得 ? 3x 2 ? ly 2 , ? 2lxy, 因 f ( z ) 解析 , 由 C ? R 条件有 ? 2 2 2 2 ?x ?y ?3my ? nx ? ?3x ? ly
l ? ?3, m ? 1, n ? ?3 .
三 1. 证明 设 f ? u ? iv ,由 f ? H ( D) 有

?u ?v ?u ?v ? , ? ? , (1) ?x ?y ?y ?x

又 f ( z) ? u ? iv 也在 D 也解析,有

?u ?(?v) ?u ? ( ?v ) , (2) ? , ?? ?x ?y ?y ?x

由 (1) 与 (2) 得

?u ?u ?v ?v ? ? ?? ?0 ?x ?y ?y ?x

故 f 在 D 内为常数. 2. 证明,设 z ? x ? iy, a ? A ? iB, 有 az ? ( A ? iB)( x ? iy) ? ( Ax ? By) ? i( Ay ? Bx)

az ? az ? b ? az ? az ? b ? 2( Ax ? By) ? b ? 0
即点 z 在直线 2 Ax ? 2 By ? b ? 0 上 A, B, b 为实常数.


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