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高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新_图文

第一章

集合与函数概念

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函 数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单 调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.增函数与减函数的定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 条件 的任意 两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时

(x x) )< ff (( xx 都有 ff( f( 1< 2)
结论

x)_____ ) f 都有 ff ((x > 1)>f(x2

那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减 函数 函数

图示

思考 1:增(减)函数定义中的 x1,x2 有什么特征?

[提示] 定义中的 x1,x2 有以下 3 个特征 (1)任意性,即“任意取 x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特 殊代替一般; (2)有大小,通常规定 x1<x2; (3)属于同一个单调区间.

2.函数的单调性与单调区间

增函数或减函数 ,那么就说函数 y=f(x)在这一 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数
区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 1 思考 2:函数 y= 在定义域上是减函数吗? x 1 1 [提示] 不是.y= 在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上也递减,但不能说 y= x x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上递减.

[基础自测] 1.思考辨析 (1)因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)在[-1,2]上是增函数.( (2)若 f(x)为 R 上的减函数,则 f(0)>f(1).( 数.( ) ) )

(3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2.函数 y=f(x)的图象如图 131 所示,其增区间是(

)

图 131 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] C [由图可知,函数 y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选 C.]

3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( 1 A.y=- x C.y=x2

) 【导学号:37102125】

B.y=x D.y=1-x

D [函数 y=1-x 在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增 函数,故选 D.]

4.函数 f(x)=x2-2x+3 的单调减区间是________.

(-∞,1) [因为 f(x)=x2-2x+3 是图象开口向上的二次函数,其对称轴为 x =1,所以函数 f(x)的单调减区间是(-∞,1).]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是 减函数.
? ?2x+1,x≥1, 1 (1)f(x)=- ;(2)f(x)=? x ? ?5-x,x<1;

(3)f(x)=-x2+2|x|+3. 【导学号:37102126】

[解]

1 (1)函数 f(x)=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0, x

+∞)上都是增函数. (2)当 x≥1 时,f(x)是增函数,当 x<1 时,f(x)是减函数,所 以 f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数 f(x) 在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. (3)因为
2 ? - x +2x+3,x≥0, ? 2 f(x)=-x +2|x|+3=? 2 ? ?-x -2x+3,x<0.

根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数 f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.

[规律方法] 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要 根据函数的自变量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象,如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要 用“,”隔开,如本例(3).

[跟踪训练] 1.(1)根据如图 132 说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;

图 132 (2)写出 y=|x2-2x-3|的单调区间.

[解]

(1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.

(2)先画出
2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, f(x)=? 2 ? - ? x -2x-3?,-1≤x≤3 ?

的图象,如图.

所以 y=|x2-2x-3|的单调减区间为(-∞,-1],[1,3]; 单调增区间为[-1,1],[3,+∞).

函数单调性的判定与证明
1 证明函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x 【导学号:37102127】 思路探究: 设元0<x1<x2<1 ―→ 变形 判号:f?x ?>f?x ? ――→ 结论 减函数 作差:f?x1?-f?x2? ――→ 1 2

[证明] -

? 1? ? 设 x1, x2 是区间(0,1)上的任意两个实数, 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ? ? ? 1?

? 1? ? ? x + ? 2 x ? ? 2?

= (x1 - x2) +

?1 1? ? ? - ?x ? ? 1 x2?

? x2-x1 1 ? ? = (x1 - x2) + = (x1 - x2) ?1-x x ? ?= x1x2 ? 1 2?

?x1-x2??-1+x1x2? x1x2 ∵0<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,0<x1x2<1,则-1+x1x2<0, ?x1-x2??-1+x1x2? ∴ >0,即 f(x1)>f(x2), x1x2 1 ∴f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x

[规律方法] 利用定义证明函数单调性的步骤 ?1?取值:设 x1,x2 是该区间内的任意两个值,且 x1<x2. ?2?作差变形:作差 f?x1?-f?x2?,并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段, 转化为易判断正负的式子? ?3?定号:确定 f?x1?-f?x2?的符号?? ?4?结论:根据 f?x1?-f?x2?的符号及定义判断单调性?? 提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.

[跟踪训练] 2x 2.试用函数单调性的定义证明:f(x)= 在(1,+∞)上是减函数. x - 1 2 [证明] f(x)=2+ , x-1

设 x1>x2>1, 2?x2-x1? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 因为 x1>x2>1, 所以 x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(1,+∞)上是减函数.

函数单调性的应用
[探究问题] 1.若函数 f(x)是其定义域上的增函数,且 f(a)>f(b),则 a,b 满足什么 关系.如果函数 f(x)是减函数呢?

提示:若函数 f(x)是其定义域上的增函数,那么当 f(a)>f(b)时,a>b;若函数 f(x) 是其定义域上的减函数,那么当 f(a)>f(b)时,a<b.

2.若函数 f(x)=x2-2ax+3 在(2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是什 么?
提示:因为函数 f(x)=x2-2ax+3 是图象开口向上的二次函数,其对称轴为 x =a,所以其单调增区间为(a,+∞),由题意可得(2,+∞)?(a,+∞),所以 a≤2.

已知函数 f(x)=x2+ax+b. (1)若函数 f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求 f(x)的解析式. (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数 a 的取值范围. 【导学号:37102128】 思路探究: 待定系数法求f?x? 数形结合 ――→ 分析f?x?的对称与区间的关系 建立不等式 ――→ 求a的范围

[解]

(1)∵f(x)=x2+ax+b 过点(1,4)和(2,5),

? ?1+a+b=4, ∴? ? ?4+2a+b=5, ? ?a=-2, 解得? ? ?b=5,

∴f(x)=x2-2x+5. a (2)由 f(x)在区间[1,2]上不单调可知 1<- <2,即-4<a<-2. 2

母题探究:1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数 a 的取值范围. a a a a [[ 解 ] 由 f ( x ) 在区间 [1,2] 上单调可知- ≤ 1 或- ≥ 2 ,即 ≤ - 4 ≥ - 2. 解] 由 f(x)在区间[1,2]上单调可知- ≤1 或- ≥ 2 ,即a a ≤ - 4或 或aa ≥ - 2. 2 2 2 2 2. 若把本例改为“函数 g(x)在(-∞, +∞)上是增函数, 且 g(2x-3)>g(5x+6)”, 求实数 x 的取值范围.

[解] ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且 g(2x- -3)> 3)>g g(5 (5x x+ +6) 6), , ∴2x-3>5x+6,即 x<-3. 所以实数 x 的取值范围为(-∞,-3).

[规律方法]

函数单调性的应用

?1?函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反 过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. ?2?若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子 集上也是单调的.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.如图 133 是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说 法错误的是( ) A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性

图 133

C

[由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集

“∪”连接,故选 C.]

2.函数 f(x)在 R 上是减函数,则有( A.f(3)<f(5) C.f(3)>f(5)

) 【导学号:37102129】

B.f(3)≤f(5) D.f(3)≥f(5)

C [∵3<5,且 f(x)在 R 上是减函数,∴f(3)>f(5).]

3.如果函数 f(x)=x2-2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b 的取值范围为 ( ) B.b≥3 D.b≠3 A.b=3 C.b≤3

C [函数 f(x)=x2-2bx+2 的图象是开口向上,且以直线 x=b 为对称轴的抛物 线, 若函数 f(x)=x2-2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b≤3,故选 C.]

k 4.已知函数 f(x)= (k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x ________. 【导学号:37102130】

(-∞,0) [结合反比例函数的单调性可知 k<0.]

x 5.证明:函数 y= 在(-1,+∞)上是增函数. x+1

[证明] 设 x1>x2>-1,则 x1-x2 x1 x2 y1-y2= - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0, x1-x2 ∴ >0,即 y1-y2>0,y1>y2, ?x1+1??x2+1? x ∴y= 在(-1,+∞)上是增函数. x+1

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