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高中 冲量与动量复习课件


牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中, 如:碰撞(宏观)、 散射 (微观) … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应: 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 改变能量 力在空间上的积累效应 馨雅教育家园 功 QQ394818226

1

第4章 冲量与动量

§1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律

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2

§1 质点运动的动量定理
一、力的冲量

二、 质点运动的动量定理

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3

§1 质点运动的动量定理

? ? ? 定义:力 f 作用时间为 t , 则 f?t 称为力 f ? 在 ?t时间间隔内的冲量, 记作
? ? I ? f?t
SI

一、力的冲量

??

? ? MLT ?1 ? ?m? ? I ? ?F ??t ?
单位 Ns

? f

? I
I ? f?t
4

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? ? ? ? 若在?t 间隔内物体受力依次为 f1 , f 2 ,? fi ? f n
相应作用时间依次为 则在?t 间隔内力的冲量为

? ? 定义式 I ? f?t

?t1, ?t2 ,??ti ??tn
? f 2 ?t2
? f 3?t3?

? n ? I ? ? f i ?ti
i ?1

? f1?t1

若力的变 化连续
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? t ? ?t ? I ? ? f dt
t

? I
矢量 冲量 过程量

f 4 ?t4

5

二、质点运动的动量定理 ? ? dP 由牛顿第 F? dt 二定律

微分形式

? ? ( Fdt ? dP)
? ? P ? ?P ? P

? ? Fdt ?
t t0

? ? dP

积分形式

质点运动的 动量定理
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? ? I ? ?P
6

讨论

? ? I ? ?P

1)定理的形式特征 (过程量)=(状态量的增量) 2)估算平均作用力
? ? 将积分用平 Fdt ? F ?t ? 均力代替 t
t
0

动量定 理写为

? ? F?t ? ?P

? ? 平均力 F ? ?P 写为 ?t
7 馨雅教育家园 思考:为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢?大力士除外 QQ394818226

2 棒球质量为
0.14g. 用棒击球的力 随时间的变化如图所 示.设棒球被击前后

速度增量大小为70m
/s.求力的最大 值.打击时不计重量 。

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8

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9

§2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系

二、质点系的动量定理 动量守恒定律
三、火箭飞行原理-- 变质量问题

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一、质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 特点: 成对出现; 大小相等方向相反 ? 结论:质点系的内力之和为零 ? f i ? 0
i
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质点系

质点系中的重要结论之一

11

外力 external force
系统外部对质点系内部质点的作用力 约定: 系统内任一质点受力之和 ? ? 写成 F?f
i i

? 质点系 F

外力之和

内力之和

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二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。

第1步,对 mi 使用动量定理:

? fi

t2

t2 ? ? ? ? ? Fidt ? ? f idt ? Pi ? Pi 0 t1 t1

mi ? Fi
第2步, 对所有质 点求和:
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? ? ? ? Pi ? mi?i Pi0 ? mi?i0
t2 ? ? ? ? ? ( ? Fidt ? ? f idt ) ? ? (Pi ? Pi 0 ) t2 i t1 t1 i

外力冲量之和 内力冲量之和
13

t2 ? ? ? ? ? ( ? Fidt ? ? f idt ) ? ? (Pi ? Pi 0 ) t2 i t1 t1 i

第3步,化简上式:

? fi
? 质点系 Fi
? ? F外 ? ? Fi
i

? 先看外力冲量之和 ? ? Fidt
t2 i t1

mi

由于每个质点的受力时间dt 相同 t2 t2 ? ? 所以: ? ? Fidt ? ? (? Fi )dt
i t1 t1 i

写成:
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t2 ? ? ? ? Fidt ? ? F外dt t2 i t1 t1

将所有的外力 共点力相加 ? ? F 2 F

? c F3
1

14

t2 ? ? ? ( ? Fidt ? ? f idt ) ? t2 i t1 t1

? ? ? (Pi ? Pi 0 )
i

再看内力冲量之和

??
i t1

t2

? f i dt

同样,由于每个质点的受力时间dt 相同 所以:

??
i t1

t2

t2 ? ? f idt ? ? (? f i )dt t1 i

因为内力之和为零:?
i

? fi ? 0

所以有结论:
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??
i t1

t2

? f i dt ? 0

内力的冲量 之和为零
15

质点系的重要结论之二

t2 ? ? ? ? ? ( ? Fidt ? ? f idt ) ? ? (Pi ? Pi 0 ) t2 i t1 t1 i

最后简写右边 ? ? ? P ? ? Pi ? ? mi?i 令:
? ? ? P0 ? ? Pi 0 ? ? mi?i 0
i i i i

则,质点系的动量定理为
t2

? ? ? ? F外dt ? P ? P0(积分形式)
t1
16

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t2

? ? ? ? F外dt ? P ? P0
t1

动量定理

? ? dP F? dt
可以写成 ? ? F ? ma 吗? 注意后面 的讲解。

? ? ? 当 F外 ? 0 P ? C
动量守恒定律

讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。

2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 17 馨雅教育家园
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3. 动量若在某一惯性系中守恒,则在其它 一切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零,则该方向上动量 守恒,尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时(如碰撞) 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ,在 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题,应注意分析 过程、系统 18 馨雅教育家园 和条件。 QQ394818226

三、火箭飞行原理-- 变质量问题

“神州”号飞船升空
馨雅教育家园 QQ394818226 19

变质量问题(低速,v << c)有两类:
▲粘附 ▲

— 主体的质量增加(如滚雪球)

抛射 — 主体的质量减少(如火箭发射)
还有另一类变质量问题是在高速(v ? c)

情况下,这时即使没有粘附和抛射,质量也
可以改变— 随速度变化 m = m(v),这是相对 论情形,不在本节讨论之列。

下面仅以火箭飞行原理为例,讨论变质量问题。 20 馨雅教育家园
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三、火箭飞行原理 (rocket)

特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气,
所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度? 取微小过程,即微小的时间间隔d t 系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体

t
t ? dt

火箭体质量为M
M ? dM

喷出的气体 dm
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? 速度 V M ? ? V ? dV ? ? ? u ? (V ? dV )
21

? V
u

? u ---喷气速度(相对火箭体) 馨雅教育家园

? t 火箭体质量为 M 速度 V ? ? M ? dM t ? dt V ? dV ? ? ? 喷出的气体 d m u ? (V ? dV )
根据动量定理列出原理式:

系统:火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体

M

? V
u

? ? ? ? ? ? ? (M ? dM )(V ? dV ) ? dm(u ? V ? dV ) ? MV ? Fdt
假设在自由空间发射,
注意到:dm = - dM,
馨雅教育家园 按图示,可写出分量式,稍加整理为: QQ394818226 22

MdV ? udM ? 0
dM ? dV ? M? ? u M V0 0
M0 V ? V0 ? u ln M 提高火箭速度的途径有二:
第一条是提高火箭喷气速度u
V M

对应的措施是:

选优质燃料

第二条是加大火箭质量比M0/M 采取多级火箭
馨雅教育家园 QQ394818226 23

动量定理举例
注意:系统 过程 原理应用

例1 柔软的绳盘在桌面上,总质量为m0 ,总长 度l 质量均匀分布,均匀地以速度v0 提绳。
求:绳子被拉上任一段后,绳端的拉力F

x

? F

x o
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?0
24

例1 柔软的绳盘在桌面上,总质量为m0 ,总长度l 质量均匀分布,均匀地以速度v0 提绳。 求:绳子被拉上任一段后,绳端的拉力F

x

? F

解:(法一) 取整个绳子为研究对象

x o

t
t ? dt

m0 P0 ? x? 0 ? 0 l m0 P? ( x ? dx)? 0 l

?0
F

m0 g m0 m0 ( F ? N ? m0 g )dt ? ( x ? dx)? 0 ? x? 0 l l 受力图 25 N 馨雅教育家园
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m0 m0 ( F ? N ? m0 g )dt ? ( x ? dx)?0 ? x?0 l l
m0 N? (l ? x ) g l

?1?
x

?2?

? F

x o

?0

m0 2 m0 F? ?0 ? xg l l

#

N
m0 ?l ? x ?g l 26

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(法二) 类似火箭飞行的方法求解

系统是:

已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm ? x F m? 0 t
0

t ? dt

m?0 ?0dm
dm F ? mg ? ? 0 dt m0 2 m0 F? ?0 ? xg l l #

x

( F ? mg)dt ? dm?0

o

? ? mg 0

m0 m? x l
dm m0 dx ? dt l dt dx ? ?0 27 dt

馨雅教育家园 此例中方法2似乎更简便些 QQ394818226

§3 质心 质心运动定理
一、 质心的定义

二、质心运动定理

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28

一、质心的定义

? ? i rc ? m ?i
i

? mi ri

? ? drc ?c ? dt

? ? i ?c ? m ? i
i

? mi? i

? d? c ac ? dt

?

? ac ?

? ? mi ai

y

质点系

?m
i

i

i

? ri ?
o

mi c

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z

rc
29

x

对连续体

? ? m rc ? dm ?
m

? dmr

说明: 1)不太大物体 质心与重心重合

2)均匀分布的物体 质心在几何中心

3)质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量 4)具有可加性
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计算时可分解
30

二、质心运动定理
1.质心速度与质点系的总动量

? ? i ?c ? m ? i
i

? mi? i



?m ? m
i

? ? ? mi?i ? P
i

i

? ? P ? m?c
m?c
C

? ? P ? ? mi?i
i

?

m
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2.质心运动定理
质点系的动量定理
t2

? ? ? F外dt ? ? dP
t1 ? P0

? P

? ? F ? mac
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? d? c F ?m dt

? ? Fdt ? dP ? ? dP F? dt ?

讨论

1)质点系动量定理微分形式 ? ? dP ? ? F ? mac ( F ? ) dt t2 ? ? ? F外dt ? P ? P0 积分形式 ?
t1

2)质心处的质点(质点系总质量)代替质 点系整体的平动 ? 3)若 F ? 0 ?c 不变

质心速度不变就是动量守恒(同义语) 馨雅教育家园
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33

? ? 4) F ? mac
此式说明,合外力直接主导质点系的平动,

而质量中心最有资格代表质点系的平动。
为什么? 因为只有质心的加速度才满足上式。 只要外力确定,不管作用点怎样,质心的加 速度就确定,质心的运动轨迹就确定,即质 点系的平动就确定。
馨雅教育家园 QQ394818226 34

系统内力不会 影响质心的运动 (如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等,

其质心的运动都
是抛物线)。
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质心 1 2 35

例2 如图
已知: , m, l 地面光滑 M

m l o ?
mg

N

初:单摆水平,静止
求:下摆至? 时,车的位移 以例即将说明

M
Mg

X

动量守恒和质心速度不变是同义语。 动量守恒的问题也可以利用 质心速度不变来解。
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解:法一 用动量守恒定律
选 M + m 为系统

mg

m l o ?
M

画系统 受力图

N

?F
i

iX

?0

X
Mg

?PX ? 0

t

MVX ? m?x ? 0

?1?

?x ? VX ? ?? X
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?2?

m VX ? ? ? ?X M ?m
37

t

MVX ? m?x ? 0

?1?

?x ? VX ? ?? X
t

?2?
t

m VX ? ? ? ?X M ?m

m ?X ? ? V X dt ? ? ? ? ?X dt M ?m 0 0

? ?X dt ? l (1 ? cos? ) m 相对车的位移 ?
0

t

m ?X ? ? l (1 ? cos ? ) M ?m
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#

负号说明,车向 X的负向运动
38

法二 利用质心运动定理 解:根据质心运动定理,有结论

m l o ?
mg

N

FX ? 0 ? acx ? 0 ? ?cx ? c
?系统初始时静止

M
Mg

X

?任意时刻 ?cX ? ?cX 0 ? 0
又由质心速度定义 可知质心位置是一定值 (即质心位置不变)。
馨雅教育家园 QQ394818226 39

由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标:

m l o ?
mg

N

M
Mg

X

mX m ? MX M Xc ? M ?m
m?X m ? M?X M ? 0 ?1? ? ?X m ? ?X M ? ?X mM
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?2?

m ?X ? ? l (1 ? cos ? ) M ?m
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