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Fourier分析简介 ——概念与基本性质 Fourier变换的定义: ? f (? ) ? ? R f (t )e ? i?t dt 逆Fourier 变换: ? 1 ? f (t ) ? 2? ? R ? f (? )e i?t d? 其中: 1. 2. f(t)在任意区间满足狄里克雷条件。 f(t)绝对可积。 在f (t )的连续点,有 ? ? f (t ) ? f (t ) Fourier变换的物理意义: Fourier变换的基本性质: ? 线性性 对称性 共轭性 ? (ax(t ) ? by(t )) ? a x(? ) ? by(? ) ? ? ? ? ? ( x(t )) ? 2? x(?t ) ? ? ( x (t ))(?) ? x (??) ? ? 时间展缩性:(at ) ? x ? 1 ? ? x( ) a a ? 翻卷性:(?t ) ? x(?? ) x 时移性: (t ? t x ? ? ?e 0) ? i?t 0 ? x(? ) ? 频移性: ? j?0t x(t )) ? x(? ? ? 0 ) (e ? 微分性: (t ) ? (i? ) n x(? ) x ? 频率微分性: it ) x (t ) ? x ( n) (? ) (? ? 矩量公式:x ( n ) (0)=(? i ) ( n ) mn 其中:mn ? ? t n x(t )dt ?? ? ^ (n) ^ n 频率极限: x(? ) ? 0 lim ? ? ?? 卷积定理: ? ? ( f * g) ? f ? g ? ^ 其中: * g )(t ) ? (f ?? ? f (t ? x) g ( x)dx Fourier变换的基本定理: 定理1: 1 ikx 函数族{ e x ? Z }构成L2 [0,2? ]的规范正交基。 2? 即:对任意的 ( x) ? L2,有: f 1 f ( x) ? ck eikx ? 2? Fourier变换的基本定理: 定理2(Pavseval恒等式): ?f , g ? L2 , 有 ? ? ? f , g ?? 2? ? f , g ? 特别有: f 2 ? ? 2?) f ( 2 - 1 2 Fourier变换的基本定理: 定理3(Poisson定理): 若f ( x)绝对可积,且满足 1.周期延拓? f ( x ? 2?k )处处收敛与某个连续函 数。 -? ? 1 2.Fourier 级数 2? ? -? ? f? (k )e ? ikx 处处收敛。 f (k )eikx ?? ? 则: 1 ? f ( x ? 2?k ) ? 2? -? -? 例子: ? 高斯函数的Fourier变换仍是高斯函数。 f ( x) ? e ? ax 2 a?0 ? 则:f (? ) ? ? a e ? ?2 4a 证明: ? 令f ( y) ? ?? ?e ? ax 2 ? xy dx ? ? ?? ?e y 2 y2 ?a ( x? ) ? 2a 4a dx 1 ? e a y2 ? 4a ?? ?e ? x2 dx 利用 ? e ?? ? ? x2 dx= ? 令y ? ?i? , 则原式= ? a - ?2 4a e 信号的基本特征: ? 信号的时域描述 能量密度: | s(t ) |2 =在时间t , 单位时间内

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