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江苏省泰州中学高三数学学情调研测试苏教版【会员独享】_图文

江苏省泰州中学高三数学摸底考试试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.

1? i = 1? i





2.设全集 U=R, A ? ? x |

? ?

x?2 ? ? 0? , B ? ?x | log2 x ? 2?,则 A ? B ? x ?1 ?
2





3.已知命题:“ ?x ? ?1,2? , x ? 2 x ? a ? 0 ”为真命题,则 a 的取值范围是 4.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,第 2 小组 的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 ▲ .



.

?y ? x ? 5.已知变量 x,y 满足约速条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函 ? y ? 3x ? 6 ?
数 Z ? 2 x ? y 的最大值为 ▲ .

6. 已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内, 如果通过大量的实验发现米粒落入△

BCD 内的频率稳定在

3 附近,那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为 10
_ A





7.阅读下列程序: Read S ?1 For I from 1 to 5 step 2 S ?S+I End for Print S End 输出的结果是 ▲ .

_ B

_ D

_ C

第6题

8. 已知函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? b ? 0 ? b ? A? 的三个相邻交点的 横坐标分别是 2,4,8,则函数 y ? f ?x ? 的最小正周期 T = 9.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,且 an ?1 ? ▲ .

an ? 3 (n ? 1, 2, ) ,则 a20 ? 1 ? 3an





x2 y 2 10.以椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点为圆心的圆经过原点 O,且与该椭圆的右准线交 a b
与 A,B 两点,已知△OAB 是正三角形,则该椭圆的离心率是 ▲ .

11.若不等式

x2 y 2 xy ? ? k 对于任意正实数 x,y 总成立的必要不充分条件是 k ? ? m, ?? ? , 108 4 3
▲ .

则正整数 ...m 可取的值是

C

12.已知 a, b, c, d 都是整数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 7 ,若

a, b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于
▲ .

F A E
第 13 题

B

13 .如图,在△ ABC 和△ AEF 中, B 是 EF 的中点, AB=EF=1 ,
CA ? CB ? 2 ,若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角等于





14.如果关于 x 的方程 ax ? 为 ▲ .

1 ? 3 在区间 (0, ??) 上有且仅有一个解,那么实数 a 的取值范围 x2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 1 , 、C 所对的三条边分别是 a、b、c, 15.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B 3 5 , (Ⅰ)若 cos A ? , tan B ? 3 , a ? 4 ,求△ ABC 面积; 5 5 (Ⅱ)若 a、b、c 成等差数列,求角 B 的范围. 16. (本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,BC ? 平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥BE; (Ⅱ)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点. 求证:MN∥平面 DAE. E 第 16 题
2

D N A M F

C

B

17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? b(b ? 1 的 ) 图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ) 设定点 A 是圆 C 经过的某定点 (其坐标与 b 无关) , 问是否存在常数 k , 使直线 y ? kx ? k 与圆 C 交于点 M , N ,且 | AM |?| AN | .若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.

江苏省泰州中学高三数学摸底考试答题纸

2011-9-15

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.___________ 2.___________ 6.___________ 7.___________ 3.___________ 4.___________ 5.___________ 8.___________ 9.___________ 10.__________

11.___________ 12.___________ 13.___________ 14.___________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 1 15. (本小题满分 14 分) , 3 , 5

16. (本小题满分 14 分)

D N A E M F

C

B

第 16 题

17. (本小题满分 14 分)

18. (本小题满分 16 分)某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有 职工 2m 人(60<m<500,且 m 为 10 的整数倍),每人每年可创利 100 千元.据测算,在经营条 件不变的前提下,若裁员人数不超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就 能多创利 1 千元;若裁员人数超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能 多创利 2 千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的 75%.为保 障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年 20 千元的生活费. (Ⅰ)设公司裁员人数为 x,写出公司获得的经济效益 y(元)关于 x 的函数(经济效益=在 职人员创利总额—被裁员工生活费) ; (Ⅱ)为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

19

. (











16













{an }



an ? pn ? ?qn ( p ? 0, q ? 0, p ? q, ? ? R, ? ? 0, n ? N*) .

(Ⅰ)求证:数列 {an?1 ? pan } 为等比数列; (Ⅱ)数列 {an } 中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;
? ( Ⅲ ) 设 A ? {(n, bn ) | bn ? 3n ? k n , n ? N*} , 其 中 k 为 常 数 , 且 k ? N ,

B ? {(n, cn ) | cn ? 5n , n ? N*} ,求 A B .

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? a) , g ( x) ? ? x ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常
2 2

数) . (Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值;

(Ⅱ)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? ( ?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] , 若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点, 求实数 a 的 取值范围.

a 3

江苏省泰州中学高三数学摸底考试答案 1. i 9. ? 3 2. ?0,2? 3. a ? ? 3 4. 40

2011-9-15 5.9 6.

7 3

7.10

8.6

10.

6 3

11.1 或 2

12.21

13.

? 3

14. a ? 2或a ? 0

15.解: (1)6; (2) 0 ? B ?

?
3



17:解:(Ⅰ)设所求圆的一般方程为 x ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b ? 0 是同一个方程,故 D ? 2, F ? b .
2

2

2 令 x ? 0 得 y ? Ey ? 0 ,此方程有一个根为 b ,代入得出 E ? ?b ? 1 .

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0
2 2

(Ⅱ)由于圆 C 经过定点 A ,所以关于 b 的方程 (1 ? y)b ? x ? y ? 2x ? y ? 0 有无穷
2 2

解,∴ ?

1? y ? 0 ? x ? 0 ? x ? ?2 ,∴ ? 或? 2 ?x ? y ? 2x ? y ? 0 ?y ?1 ? y ?1 ?
2

∴圆 C 经过的定点 A(0,1) 或 A(?2,1) 由于直线 y ? kx ? k 恒过定点 (?1,0) 在圆内, 所以直线与圆 C 有两个交点 M , N ∵ | AM |?| AN | ,∴点 A 在线段 MN 的垂直平分线上, 即 AC 与直线 y ? kx ? k 垂直.

①若 A(0,1) ,则 k ? k AC

b ?1 2 ? ?1 , k ? 2 . ? ?1 ,得 k ? b ?1 0 ? (?1) 1?
b ?1 2 ? ?1 , k ? 2 . ? ?1 ,得 k ? 1? b ? 2 ? (?1) 1?

②若 A(?2,1) ,则 k ? k AC 综上, k ?

2 2 或k ? . b ?1 1? b
1 ? 2m时。y ? ? 2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5
…………2 分 ………………4 分

18. (1)解:设公司裁员人数为 x,获得的经济效益为 y 元, 则由题意得当 0 ? x ?

2 1 当 m ? x ? ? 2m时,y ? ? 2m ? x ??100 ? 2 x ? ? 20 x 5 4

2 ? ?? x 2 ? 2 ? m ? 60 ? x ? ? 200m, 0 ? x ? m且x ? N ? ? ? ? 5 ?y ?? , ??2 ? x 2 ? 2 ? m ? 30 ? x ? ? 200m, 2 m ? x ? 1 m, x ? N ? ? 5 2 ? ?
(2)由①得对称轴 x ? m ? 60 ? 0,

① ② ………..6 分

0 ?m? 1 0 0 当 0 ? m ? 60 ? 100 , 即6
当 100 ? m ? 500 时, x ?

时,x ? m ? 60 时, y 取最大值 y1 ? m2 ? 80m ? 3600 ,

2 16 2 m 时,y 取最大值 y2 ? m ? 152m 5 25 1 由②得对称轴 x ? m ? 30 , 60<m<500,? m ? 30 ? m 2 m 3 ?当x ? 时,y取得最大值y3 ? m 2 ? 140m …………12 分 2 2
当60<m ? 100时, y3 ? y1 ? 0.5m2 ? 60m ? 3600 ? 0.5 ? m ? 60 ? ? 5400 ? 0.5 ?120 2 ? 5400 ? 1800 ? 0
2

当100 ? m ? 500时, y3 ? y2 ? 43 2 ? 43 ? m ? 12m ? m ? m ? 12 ? ? 0,即当60 ? m ? 500时,y3最大 50 ? 50 ?
1 1 m ,即原有人数的 时,获得的经济效益最大。…………16 分 2 4
n

即当公司应裁员数为
n

19.解:⑴∵ an = p ? ? q ,∴ an?1 ? pan ? p ∵ ? ? 0, q ? 0, p ? q ∴

n?1

? ?qn?1 ? p( pn ? ?qn ) ? ?qn (q ? p) ,

an ? 2 ? pan ?1 ? q 为常数∴数列 {an?1 ? pan } 为等比数列 ---------4 an ?1 ? pan

分 ⑵取数列 {an } 的连续三项 an , an?1 , an?2 (n ? 1, n ? N ? ) ,
2 n?1 ∵ an ? ?qn?1 )2 ? ( pn ? ?qn )( pn?2 ? ?qn?2 ) ? ?? pnqn ( p ? q)2 , ?1 ? an an?2 ? ( p 2 p ? 0, q ? 0, p ? q, ? ? 0 ,∴ ?? pn qn ( p ? q)2 ? 0 ,即 an ?1 ? an an ? 2 ,

∴数列 {an } 中不存在连续三项构成等比数列; 分
n n n n ⑶当 k ? 1 时, 3 ? k ? 3 ? 1 ? 5 ,此时 B

--------------------9

C ??; C ??; B C ??


n n n n n n 当 k ? 3 时, 3 ? k ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 为偶数;而 5 为奇数,此时 B



k ?5





3n ? k n ? 5n







----------------------------------------------12 分
n n n 当 k ? 2 时, 3 ? 2 ? 5 ,发现 n ? 1 符合要求,下面证明唯一性(即只有 n ? 1 符合要求) 。

3 n 2 n 5 5 3 x 2 x 3 x 2 x 设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x) ? ( ) ? ( ) 是 R 上的减函数,∴ f ( x) ? 1 的解只有一个 5 5 5 5 3 n 2 n n n n 从而当且仅当 n ? 1 时 ( ) ? ( ) ? 1,即 3 ? 2 ? 5 ,此时 B C ? {(1,5)} ; 5 5
n n n 由 3 ? 2 ? 5 得 ( ) ? ( ) ? 1,
n n n 当 k ? 4 时, 3 ? 4 ? 5 ,发现 n ? 2 符合要求,下面同理可证明唯一性(即只有 n ? 2 符合

要求) 。

3 n 4 n 5 5 综上,当 k ? 1 , k ? 3 或 k ? 5 时, B C ? ? ;
当 k ? 2 时, B 当

n n n 从而当且仅当 n ? 2 时 ( ) ? ( ) ? 1,即 3 ? 4 ? 5 ,此时 B

C ? {(2, 25)} ;

C ? {(1,5)} ,
时 ,

k?4

B C ?{

(

。2

,

------------------------------16 分 20.解: (1) f ( x) ? x( x ? a) ? x ? 2ax ? a x ,
2 3 2 2 2 2 则 f ?( x) ? 3x ? 4ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,

a a ?1 ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值, 3 2 a ?1 a ?1 a ? a ? a ? ?1 ,或 ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 . ∴ 2 2 3
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或

(4 分)

(2)假设存在,即存在 x ? ( ?1, ) ,使得

a 3

f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a)2 ? [? x2 ? (a ?1) x ? a] ? x( x ? a)2 ? ( x ? a)( x ? 1) ? ( x ? a)[ x2 ? (1 ? a) x ? 1] ? 0 ,
当 x ? ( ?1, ) 时,又 a ? 0 ,故 x ? a ? 0 , 则存在 x ? ( ?1, ) ,使得 x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,
2

a 3

a 3

(6 分)

1当

a ?1 a 3 ?a? ?a? ? 即 a ? 3 时, ? ? ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,? a ? 3 ; 2 3 2 ?3? ? 3? a ?1 a 4 ? (a ? 1)2 ? 即 0 ? a ? 3 时, ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,? a 无解; 2 3 4
(9 分)

2 当 ?1 ?

综上: a ? 3 .

(3)据题意有 f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,且这 5 个 实根两两不相等. (ⅰ) g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g ( (ⅱ) f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; 2

1当

a ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 f (a) ? 0 ,不符合题意,舍; 3 a 2 当 ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; 3 a a 3 当 ? a 即 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 处取得极大值, 3 3

a 33 2 33 2 f ( ) ?1? a ? ;所以 a ? ; 3 2 2
因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ? 下证:这 5 个实根两两不相等, 即证:不存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 1 ? 0 和 g ( x0 ) ? 1 ? 0 同时成立; 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1, 由 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,即 x ( ) ? ? x0 ? (a ?1) x0 ? a , 0 x0 ? a
2 2

3 33 2 ; (注: a ? 也对) 3 2 4

(12 分)

得 (x0 ? a) ( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 ,
2

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去;
2 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0 2 又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1

①; ②;

联立①②式,可得 a ? 0 ; 而当 a ? 0 时, H ( x) ? [ f ( x) ?1] ?[ g ( x) ?1] ? ( x3 ?1)(? x2 ? x ?1) ? 0 没有 5 个不同的零点, 故舍去,所以这 5 个实根两两不相等.

33 2 综上,当 a ? 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. 2

(16 分)