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超详细的.二项式展开式性质


二项式定理

b) 对于(a+b)n = (a ? b )(a ? b )? (a ?? ???? ????? ?

的展开式有哪些项?

n个

二项式定理

(a+b)n bn

=C a +C

0 n n

1 n-1 na b+

C

2 n-2 2 r n-r r n a b +…+ n b +…+ n a n

C

C

右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项. 其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项, 记作 Tr+1 即

Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)

称为二项展开式的通项公式 (1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n (2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系. 试一试:写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。

总 结

(n ? N ) 定 (a ? b)n ? Cn0a n ? Cn1a n?1b ? ??? ? Cnr a n?r br ? ???Cnnbn
二项式定理:
*

理 特 征

右边的多项式叫做的

(a ? b)n 展开式

1.二项式系数规律:
0 1 2 n Cn、Cn、Cn、 、Cn ???

2.指数规律: (1)各项的次数均为n; (2)二项和的第一项a的次数由n降到0, 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律: 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.通项公式:Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)

1 3 4 1 4 ) ? 1 ? C ( ) ? C ( ) ? C ( ) ? C4 ( ) x x x x x r 二项式系数: n 4 6 4 1 C ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . 项的系数:该项所有常数因子的积. x x x x

解: 1 ? (

14 例1:求(1+ ) 的展开式 x 1 1 1
4 1 4 2 4

2

3 4

例2:2 x ? (

1 x

) 展开式中第 3项的二式系项数
6? 5 4 2 1 ) ? ? 2 x ? ? 240 x 2 x x
2

6

及第3项的系数
T3 ? T2?1 ?
2 C6 (2

x ) (?
4

1

2 第三项的二项式系数为 C6 ? 15

,第三项的系数为240.

解:

x 3 9 ( ) 的展开式常数项 例3: ? 3 x 1
r 9

1 9 3 变式:求( x ? 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式: Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)

9? r ? r x 9?r 3 r r 1 9?r r Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2 6 1 9?6 6 T7 ? C9 ( ) 3 ? 2268 3

练习:

x 3 9 ) 的展开式的中间两项 1、求 ( ? 3 x
x 9? 4 T5 ? T4?1 ? C ( ) ( 3 5 x 9 ?5 T6 ? T5?1 ? C9 ( ) ( 3 2
4 9

解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
3 4 3 ) ? 42 x x 3 3 5 ) ? 42 x 2 x

2.已知( x ?

系数与第3项的二项式系数之比是:14:3, 求展开式中的第4项

) n 的展开式中,第5项的二项式 2 x

二项式系数的性质

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b (n ? N )
n 0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n? r r n

?

(1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等. (2)增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的, 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值。 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值; 当n为奇数时,中间两项的二项式系数
n 2 n

C

相等,且同时取得最大值。 n (3)各二项式系数的和 C0 ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1

C

n ?1 2 n



C

n ?1 2 n

例1:已知(1+x)n展开式中x2 的系数等于 x的系数的3倍,求二项式系数最大的项

解:

例2:已知(1-2x)n展开式中二项式系数和 及所有项的系数之和

解:
变式:已知(2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6,
求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 (2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值 (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6

二项式系数的性质

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b (n ? N )
n 0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n? r r n

?

(1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等. (2)增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的, 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值。 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值; 当n为奇数时,中间两项的二项式系数
n 2 n

C

相等,且同时取得最大值。 n (3)各二项式系数的和 C0 ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1

C

n ?1 2 n



C

n ?1 2 n

特值思想、不可忽视

二项式定理对任意的数a、b都成
立,当然对特殊的a、b也成立!
(1 ? x ) ? C ? C x ? ? ? C x ? ? ? C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ; 0 1 r n (1 ? x )n ? Cn ? Cn x ? ? ? (?1)r C n x r ? ? ? (?1)n C n x n ;

考察在 n=1, 2, 3, 4 时,(a+b) n 的展开式的系数规律.

我国古代优秀成果介绍:

(a+b)1= (a+b)2= (a+b)3= (a+b)4=

a+b , a2+2ab+b2 , a3+3a2b+3ab2+b3 , a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1

列出上述各展开式的系数: 规律: (1)表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和.

1 1

1
1 1 3

2
3

1
1

试一试:你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗?

4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

杨辉三角形

(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5


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