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2015学年广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题及答案


2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡 指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ??1,0,1? , N ? x x ? x , 则 M ? N ? (
2

?

?

) D.

A.

?1?

B. ?0,1?

C. ??1,0?

??1,0,1?

2.已知等比数列 ?an ? 的公比为 2 , 则

a4 的值为( a2
C. 2

)

A.

1 4

B.

1 2

D. 4 )

3.直线 l 过点 ?1, ?2? 且与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直, 则 l 的方程是( A. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 7 ? 0
x

B. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 )

?1? 4.函数 f ? x ? ? ? ? ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( ?2?
A.

? ?1,0?

B.

? 0,1?

C. ?1, 2 ? )

D.

? 2,3?

5.已知非零向量 a 与 b 的方向相同, 下列等式成立的是( A. a ? b ? a ? b C. a ? b ? a ? b B. a ? b ? a ? b

D. a ? b ? a ? b

6. 要完成下列两项调查:①某社区有 100 户高收入家庭, 210 户中等收入家庭, 90 户低收入
1

家庭,从中抽取 100 户调查消费购买力的某项指标; ②从某中学高二年级的 10 名体育特长 生中抽取 3 人调查学习负担情况, 应采取的抽样方法是( ) A. ①用系统抽样法, ②用简单随机抽样法 B. ①用分层抽样法, ②用系统抽样法 C. ①用分层抽样法, ②用简单随机抽样法 D. ①、②都用分层抽样法

? x ? 1 ? 0, ? 7. 设 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 3 ? 0, ?
A. 3 B. 1 C. ?1 D. ?5 8. 某几何体的三视图及其尺寸如图, 则该几何体的体积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 ) D. 18

)
2
正视图 侧视图

3 3
俯视图

1 ?? ? 9. 函数 f ? x ? ? ? cos 2 ? ? x ? 的单调递增区间是( 2 ?4 ?
A. ? 2k? ? , 2k? ? ? , k ? Z 2 2? ? C. ? k? ? , k? ? , k ?Z 4 4 ? ? ?

?

?

??

B. ? 2k? ? , 2k? ? , k ?Z 2 2? ? ? D. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ? ) D. 2 2 ? 3

?

?

3? ?

?

?

3? ?

?

?

??

10. 设 a ? 1 , b ? 2 , 且 ab ? 2a ? b , 则 a ? b 的最小值为( A. 2 2 B. 2 2 ? 1 C. 2 2 ? 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是. 12. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边为射线

l : y ? ? 2 x ? x ? 0 ? , 则 cos ? 的值是.
13. 执行如图所示的程序框图, 若输入 x ? 1 , 则输出 y 的值是. 输入 x
y ? 5 ? 2x

y ? x ? 5?

y

x? y

14. 若函数 f ? x ? ? loga ? x ? m? ?1(a ? 0 ,且 a ? 1 ) 恒过定点 ? 2, n ? , 则 m ? n 的值为.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a ? 10 , b ? 8 , A ? 60? . (1) 求 sin B 的值; (2) 求 cos C 的值.

16. (本小题满分 12 分) 甲,乙两组各 4 名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他们答对 的题目个数用茎叶图表示,如图,中间一列的数字表示答对题目个数的十位数,两边的数 字表示答对题目个数的个位数. 甲组 乙组 (1) 求甲组同学答对题目个数的平均数和方差; (2) 分别从甲,乙两组中各抽取一名同学, 求这两名同学答对题目个数之和为 20 的概率.

8 9 2 1

0 1

8 8 9 1

17. (本小题满分 14 分) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 Sn ? n2 ? n ? 1 , n ?N .
*

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PC ? 5 , PB ? 4 , AB ? BC ? 2 3 , ?ACB ? 30? . (1) 求证: AC ? PB ; (2) 求三棱锥 P ? ABC 的体积.
A B P

C

3

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心为点 C ? 0,3? , 点 R

?

3, 2 在圆 C 上, 直线 l 过点 A ? ?1,0? 且与圆 C 相交

?

于 P , Q 两点, 点 M 是线段 PQ 的中点. (1) 求圆 C 的方程; (2) 若 AM ? AC ? 9 , 求直线 l 的方程.

uuur uuu r

20. (本小题满分 14 分) 已知点 A , B 是函数 y ? 2 x

? x ? ? ?1,1?? 图象上的两个动点, AB ∥ x 轴,点 B 在 y 轴的

右侧,点 M ?1, m? (m ? 2) 是线段 BC 的中点. (1)设点 B 的横坐标为 a ,△ ABC 的面积为 S ,求 S 关于 a 的函数解析式 S ? f ? a ? ; (2)若(1)中的 f ? a ? 满足 f ? a ? ? 求实数 k 的取值范围.

m2 ? 2mk ? 1 对所有 a ? ? 0,1? , m ? ? 4, ??? 恒成立, 6

4

2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 A 9 C 10 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ?1, 2 ? 12. ?

3 13. 7 14. 0 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分.

a b ? , sin A sin B ∵ a ? 10 , b ? 8 , A ? 60? , 10 8 ? ∴ . ? sin 60 sin B
(1) 解: 由正弦定理, 得 ∴ sin B ?

?????1 分

?????2 分

8sin 60? 2 3 . ? 10 5
∴ 0? ? B ? 60? .

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

(2) 解: ∵ a ? b ,

∴ cos B ? 1 ? sin 2 B ?

13 . 5

∵ A ? B ? C ? 180? , ∴ C ? 180? ? A ? B ? 120? ? B .
? ∴ cos C ? cos 120 ? B ?????8 分

?????7 分

?

?

? cos120? cos B ? sin120? sin B ?????9 分

1 13 3 2 3 ????11 分 ?? ? ? ? 2 5 2 5 ? 6 ? 13 . 10
????12 分

16.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分. (1) 解: 由茎叶图可知, 甲组四名同学答对题目个数分别是 9,8,11,12 , ∴平均数为 x ?

9 ? 8 ? 11 ? 12 ? 10 , 4
5

?????2 分

2 方差为 s ?

1? 5 2 2 2 2 9 ? 10 ? ? ? 8 ? 10 ? ? ?11 ? 10 ? ? ?12 ? 10 ? ? ? . ?????5 分 ? ? 2 4?

(2) 解:记甲组四名同学为 A1 , A2 , A3 , A4 ,他们答对题目个数依次为 9,8,11,12 ; 乙组四名同学为 B1 , B2 , B3 , B4 ,他们答对题目个数依次为 8,8,9,11 , ?????7 分 分别从甲,乙两组中随机抽取一名同学,所有可能结果有 16 个,它们是

? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, B3 ? , ? A1, B4 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , B4 ? ,

? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? , ? A3 , B4 ? , ? A4 , B1 ? , ? A4 , B2 ? , ? A4 , B3 ? , ? A4 , B4 ? .
?????9 分 用 C 表示“抽取的两名同学答对题目个数之和为 20 ”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是: ? A 1 , B4 ? , ? A 3 , B3 ? , ? A 4, B 1? ,? A 4 , B2 ? . 故所求概率为 P ? C ? ? ?????11 分 ?????12 分

4 1 ? . 16 4

17.本小题主要考查求数列通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力、推理论证 能力以及分类讨论的数学思想方法.满分 14 分. (1) 解: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,?????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?????2 分

? n 2 ? n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ? 2n .
2

?????4 分

∵ a1 ? 3 不适合上式, ∴ an ? ?

n ? 1, ?3, ?????5 分 ?2n, n ? 2.
1 1 ? , a1a2 12
?????6 分

(2) 解: 当 n ? 1 时, T1 ?

当 n ? 2 时, Tn ?

1 1 1 1 ?????7 分 ? ? ?L ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an?1

?

1 1 1 1 ? ? ?L ? ?????8 分 12 4 ? 6 6 ? 8 2n ? 2 n ? 2 ?
1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ?? ?????10 分 12 4 ?? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ? 1 ??
1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?????11 分 12 4 ? 2 n ? 1 ?
6

?

?

?
∵ T1 ?

5n ? 1 . 24 ? n ? 1?

?????12 分

1 适合上式,?????13 分 12
∴ Tn ?

5n ? 1 . 24 ? n ? 1?

?????14 分

18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、求锥体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力.满分 14 分. (1) 证明: 取 AC 的中点 D , 连接 PD , BD , ∵ PA ? PC , ∴ PD ? AC . ?????2 分 P ∵ AB ? BC , ∴ BD ? AC . ?????4 分 ∵ PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , PD ? BD ? D , ∴ AC ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AC ? PB . ?????5 分 ?????6 分

A E B
?????8 分

D

C

(2) 解: ∵在 Rt△ BDC 中, BC ? 2 3 , ?ACB ? 30? , ∴ BD ?

1 3 BC ? 3 , CD ? BC ? cos 30? ? 2 3 ? ? 3. 2 2

∵在 Rt△ PDC 中, PC ? 5 ,∴ PD ? 取 BD 的中点 E , 连接 PE , ∵ PB ? PD ? 4 , ∴ PE ? BD , PE ?

PC 2 ? CD2 ? 4 .

?????9 分

PB 2 ? BE 2 ?

61 . 2

?????11 分

∴△ PBD 的面积 S ?

1 183 . ? BD ? PE ? 2 4

?????12 分

∴三棱锥 P ? ABC 的体积 V ? VA? PBD ? VC ? PBD ?

1 1 183 183 . S ? AC ? ? ?6 ? 3 3 4 2

?????14 分 19.本小题主要考查直线与圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力以及分 类讨论的数学思想方法.满分 14 分. (1) 解: ∵圆 C 的圆心为点 C ? 0,3? , 点 R ∴圆 C 的半径为 CR ?

?

3, 2 在圆 C 上,
2

?

?0 ? 3 ?

2

? ?3 ? 2? ? 2 ,
7

?????1 分

2 ∴圆 C 的方程为 x ? ? y ? 3? ? 4 . 2

?????3 分 ?????4 分

(2) 解: ①当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时, 点 M 的坐标为 ? ?1,3? . 从而, AM ? ? 0, 3 ? , AC ? ?1,3 ? , 故 AM ? AC ? 0 ?1 ? 3 ? 3 ? 9 满足题意.?????5 分

uuur

uuu r

uuur uuu r

②当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 即 kx ? y ? k ? 0 , ?????6 分 依题意, CM ? AM , 则 AM ? AC ? AM ? AM ? MC ? AM ? AM ? MC ? AM , ∵ AM ? AC ? 9 ,

uuur uuu r

uuur uuur uuu r

?

?

uuur 2 uuur uuu r
2

uuur 2

?????7 分 ?????8 分

uuur uuu r

∴ AM
2

uuur 2 ? AM ? 9 .
2

在 Rt△ AMC 中,由于 AC ? 1 ? 3 ? 10 ,?????9 分 得 CM ?

AC ? AM

2

2

? 1 ,?????10 分
?3 ? k k 2 ?1

即点 C 到直线 l 的距离为 1 . 由点到直线的距离公式,得 解得 k ?

? 1,

?????11 分

4 , 3

?????12 分 ?????13 分 ?????14 分

此时, 直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 综上所述, 直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

另解:当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

M ? x0 , y0 ? ,?????6 分
由?

? 2 ? y ? k ? x ? 1? , 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2k ? k ? 3? x ? ? k ? 3? ? 4 ? 0 , (*) 2 2 ? ? x ? ? y ? 3? ? 4,
2k ? k ? 3 ? . 1? k 2

?????7 分 ∴ x1 ? x2 ? ? ?????8 分

∴ x0 ?

x1 ? x2 3k ? k 2 3k 2 ? k ? y ? k x ? 1 ? , . ? ? 0 0 2 1? k 2 1? k 2
8

?????10 分

∵ AM ? AC ? 9 ,

uuur uuu r

∴ x0 ? 1 ? 3 y0 ? 9 .

?????11 分



3k ? k 2 9k 2 ? 3k ? 1 ? ?9. 1? k 2 1? k 2
4 . 3
2

解得 k ?

?????12 分

4 25 11 ? 40 ? 当 k ? 时, (*)式的判别式 ? ? ? ? 4? ? ? 0 , ? 3 9 9 ? 9 ?
∴直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . ?????13 分

20.本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力以及 分类讨论的数学思想方法.满分 14 分. (1) 解:由于 A , B 是函数 y ? 2 x 在 x ?? ?1,1? 的图象上两个不同的点,且 AB ∥ x 轴, 点 B 在 y 轴的右侧,则点 B ? a, 2a ? , A ? ?a, 2a ? . 设点 C ? x0 , y0 ? , ∵点 M ?1, m? 是 BC 的中点, ?????2 分

2 a ? y0 ? m , 得 y0 ? 2m ? 2a . 2 ∴点 C 到直线 AB 的距离 h ? 2m ? 2a ? 2a ? 2m ? 4a .
∴ ∵ AB ? 2a , ∴ S ? f ?a? ?

?????3 分 ?????4 分

1 AB ? h ? ?4a 2 ? 2ma , a ? ? 0,1? . 2
2

?????6 分

(2) 解:由(1)得 S ? f ? a ? ? ?4a ? 2ma = ?4 ? a ? 当 m ? 4 时,

? ?

m ? m2 , a ? ? 0,1? , ?????7 分 ? ? 4? 4

2

m ? 1 , 此时, S ? f ? a ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 4

则当 a ? 1 时, 函数 S ? f ? a ? 取得最大值, 其值为 f ?1? ? 2m ? 4 . ?????8 分 ∵ f ?a? ?

m2 ? 2mk ? 1 对所有 a ? ? 0,1? , m ? ? 4, ??? 恒成立, 6 m2 ? 2mk ? 1 对 m ? ? 4, ??? 恒成立.?????9 分 6

∴ 2m ? 4 ? ∴ k ?1 ?

m 3 ? 对 m ? ? 4, ??? 恒成立.?????10 分 12 2m
9

由于

m 3 m 3 2 m 3 ? , 当且仅当 , 即 m ? 3 2 时,等号成立. ? ?2 ? ? 12 2 m 12 2m 12 2m 2

?????12 分 ∴k ?

2 ? 1. 2
? ? 2 ? ? 1? . 2 ?

?????13 分

∴实数 k 的取值范围为 ? ??, ?

?????14 分

另解:由 2m ? 4 ?

m2 ? 2mk ? 1 对 m ? ? 4, ??? 恒成立, 6

?????9 分



m2 ? 2 ? k ? 1? m ? 3 ? 0 对 m ? ? 4, ??? 恒成立. 6 m2 ? 2 ? k ? 1? m ? 3 ,则 g ? m? ? 0 对 m ? ? 4, ??? 恒成立等价于 6

令 g ? m? ?

?6 ? k ? 1? ? 4, ? ?6 ? k ? 1? ? 4, ? 或? ?????11 分 2 ? 1 g 4 ? 0. ? ? ? ? 2 k ? 1 ? 4 ? ? 3 ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ?
解得 ?

1 1 2 ?k? ? 1或 k ? ? ?????12 分 3 3 2
?????13 分

∴k ?

2 ? 1. 2
? ? 2 ? ? 1? . 2 ?

∴实数 k 的取值范围为 ? ??, ?

?????14 分

10


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