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江苏省清江中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文 苏教版


江苏省清江中学 2014—2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷(文科)
时间:120 分钟 满分:160 分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程 ,请把答案写在答 题纸的指定位置上.
2 1.命题“ ?x ? 4 , x ? 16 ”的否定是





3? ?? cos x ? ? 0 ? x ? ? 5? 2 ? ,则 sin 2 x 的值为____▲_____. 2.已知

??
3.“

?
4 ” 是“ tan ? ? 1 ”的
▲ 条件.

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)

4.若函数

f ( x) ?

1 ? x2 x ,则 f ( x) 的定义域是





5.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a , b, c 至少有 1 个偶数”的正确假设为 “ ▲ ”. ▲ .
a 6.在实数等比数列 ? n ? 中, a1 ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 ?

7.已知向量 a ? ( x,3 ? x) , b ? (?1,3 ? x) ,若 a // b ,则 x=



8.已知实数

x , y 满足

? x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? y ? 0, ? x ? 1, ?

则 z ? 2 x ? y 的最小值为





1 {x | ? x ? 1} 3 9.一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ,则 a ? b ?
2



10.函数 y ? 2x ? ln x 的最小值是
2



1 1 1 1 y? ? (? ,0) (0, 0) x x x ? 1 11. 已知函数 的图象的对称中心为 , 函数 的图象的对称中心为 2 , 1 1 1 y? ? ? x x ? 1 x ? 2 的 图 象 的 对 称 中 心 为 (?1,0) , …… , 由 此 推 测 , 函 数 函数 y? y? 1 1 1 1 ? ? ??? x x ?1 x ? 2 x ? n 的图象的对称中心为
▲ .

1 a ? x ? y ? 1 x y 的最小值是 9,则正数 a 的值为 12.已知正数 x、y 满足 ,则



-1-

?e x ? 2a ? (1 ? 2a) x ? 2a 13.已知函数 f(x)= ?
则实数 a 的取值范围是 ▲

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 x ? 0 对任意 x1≠x2,都有 成立,
x?0

2 S 2 S 4 S3 ? ?2?0 a 9 14.已知等差数列 ? n ? 的首项 a1 及公差 d 都是实数,且满足 2 ,则 d 的取值

范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15 .已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的内角,向量 m ? (sinA, sin B) , n ? (cosB, cos A) ,且

m ? n ? sin2C ,
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 AB 的长.

16.解关于 x 的不等式:①

x ?1 ?2 2x ? 1 ;

② (2mx-1)(x-2)<0(m 为实常数)

1 17. 如图,在半径为 30 cm 的 4 圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B
在圆弧上,点 A、C 在两 半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子
3 的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 AB ? xcm ,圆柱的体积为 Vcm .

(1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?并求出最大值。
-2-

C

B

O

A

18. 已知函数

f ?x ? ? x ?

a 4 x (x>0) 的最小最小值为 2 ? 2 , 设点 P 是函数图象上的任意一点,

过点 P 分别作直线

y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、N。

(1)求 a 的值; (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值。

-3-

19.已知函数

f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x2 ? x ? 3 2 3.

(1)若函数 f ( x) 的图象在点(2,f (2))处的切线方程为 9 x ? y ? b ? 0 ,求实数 a,b 的值; (2)若 a ≤ 0 ,求 f ( x) 的单调减区间; (3)对一切实数 a?(0,1),求 f(x)的极小值的最大值.

?1? ? ?a ? a ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 12,令 bn ? an ? an?1 ,数列 ? ? bn ? 的前 n 项 20.已知等差数列 n 中, 3
和为

Tn .

(1)求数列

?an ?的通项公式;
T T m, n , m, n 且1 ? m ? n , 使得 T1 , m , n 成等比数列?若存在, 求出

(2)求证:3Tn<1; (3) 是否存在正整数

的值,若不存在,请说明理由.

-4-

高二期中考试数学(文科)答题纸 一.填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分). 1.____________________;2._________;3.________________;4.________________; 5.___________________________________;6._________;7._________;8._________; 9._____;10.________;11.__________;12._____;13._________;14.____________; 二.解答题:(本大题共 6 小题,共计 90 分). 15.

-5-

16.

17. B

C

O

A

-6-

18.

-7-

19.

-8-

20.

-9-

江苏省清江中学 2014—2015 学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案(文科) 一、填空题:

24 2 ? x ? 4 , x ? 16 1. ;2. 25 ;3.充分不必要;4. [?1,0) ? (0,1] ;
5.假设自然数 a, b, c 都是奇数(或孙是偶数);6. 5;7. 3 或-1 ;8. ?1 ;9. 1 ;

1 1 1 1 1 n ? ln ? ln 2 (? ,0) 2 (或 2 10. 2 );11. 2 ;12. 4;13.[ 4 , 2 ) ;14. (??, ? 2] ? [ 2, ??)
二、解答题: 15.解:(Ⅰ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C , ……………(2 分)

? m ? n ? sin C. ………………………(4 分)
1 ? ? sin 2C ? sin C , cos C ? , C ? . 2 3 又? m ? n ? sin 2C ,

…………………(7 分)

, 得2 sin C ? sin A ? sin B , (Ⅱ)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列
由正弦定理得 2c ? a ? b. ………………………(9 分)

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2

……………………(12 分)
2

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.
x ?1 1 ? 3x ?2?0 ?0 2 x ? 1 2 x ? 1 16.解:①原不等式可化为 即 ……………………2 分

……(14 分)

?(2 x ? 1)(1 ? 3x) ? 0 ? 2x ? 1 ? 0 所以有 ? ……………………………………4 分
1 1 ?x? 2 …………………………………………………6 分 解得: 3
② 当 m=0 时,原不等式即为 -(x-2)<0 解得:x>2……………………7 分

- 10 -

当 m ? 0 时,原不等式可化为

2m( x ?

1 )( x ? 2) ? 0 2m

(x ?
当 m<0 时,得

1 1 )( x ? 2) ? 0 x? 或x ? 2 2m 2 m 解得 …………9 分 (x ? 1 )( x ? 2) ? 0 2m

当 m>0 时,原不等式可化为

1 1 1 2? x? 2m 当 0<m< 4 时, 2 m >2,所以 1 1 当 m= 4 时, 2 m =2,所以原不等式无解 1 1 1 ?x?2 当 m> 4 时, 2 m <2,所以 2m
综上所得:原不等式的解集为:

……………………10 分

……………………11 分

……………………12 分

(?? ,
当 m<0 时,解集为

1 1 ) ? (2,?? ) 2m ;当 m=0 时,解集为(2,+ ? ) ;当 0<m< 4

(2 ?,
时,解集为

1 1 1 1 ) ( ,2) ? 2m ;当 m= 4 时,解集为 ;当 m> 4 时,解集为 2m ……14 分
2

17.解: (1)连结 OB,因为 AB=x,所以 OA= 900 ? x …………2 分
2 2 设圆柱底面半径为 r,则 900 ? x =2 ?r 即 4?r ? 900 ? x ………4 分(不必解出 r)

2

?r 2 x ? ? ?
所以 V= 分)

900 ? x 2 900x ? x 3 ? x ? 4? 4? 2 ,其中 0<x<30……………………6 分(没有定义域扣 1
C B

900x ? x 3 900 ? 3 x 2 4? 4? (2)由 V= 求导得 V/= ………8 分
令 V/=0 得 x=10 3 ……………………10 分

O

A

?
因此 V=

900x ? x 3 4? 在(0,10 3 )上是增函数,

在(10 3 ,30)上是减函数……………………12 分

- 11 -

所以当 x=10 3 时 V 有最大值,且 Vmax=

?

1500 3

?

……………………14 分

18. 解: (1)∵x>0, 若 a ? 0,则 f (x)递增,没有最小值
4 ∴a>0, ∴ f ( x) ? 2 a ,∴x= a 时, f ( x) min ? 2 a ? 2 ? 2 ∴ a ?

2 …4 分

P( x 0 , x 0 ?
(2)设

2

| x0 ? ( x0 ?

2 x0

)| ?

x0 ,则

)

PM ?

2

1 x0 , PN ? x0 ,

∴ PM ? PN ? 1 ………………………………8 分

P( x 0 , x 0 ?
(3)设

2 x0

)
,则直线 PM:

y ? ( x0 ?

2 x0

) ? ?( x ? x0 )
…………9 分



? 2 ) ? ?( x ? x 0 ) ? y ? ( x0 ? x0 ? ?y ? x ?

? 2 2 ? x0 ? , x ? 0 ? 2 x0 2 x0 得 M?

? ? ? ? ……………………11 分

1 1 2 1 1 1 1 2 x0 ? 2 ? 2 ( x0 ? ) ? x0 ? ( 2 x0 ? ) ? 2 x0 x0 2 x0 x0 = 2 SOMPN=S△OPN+S△OPM= 2

2


1 2 1 x0 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 2 2 x0

……………………………14 分

1 2 1 x0 ? 2 2 2 x0 ,即 x0 ? 1 时取等号(没有等号成立条件扣 1 分) 当且仅当
故四边形 OMPN 面积的最小值 1 ? 2 ……… ……………………16 分 或用割补思想求:如图,设 PM 直线交 x 轴、y 轴于 A、B 点,

P( x 0 , x 0 ?

2 x0

)

? 2 2 ? x0 ? , x0 ? ? 2 x0 2 x0 ,M ?

? ? A(2 x ? 2 ,0) B(0,2 x ? 2 ) 0 0 ? x0 x0 ?,

所以 SOMPN=S△OAB- S△OMA-S△OPB

1 (OA ? OB ? OA ? y M ? BN ? x P ) B =2

1 2 1 x0 ? 2 ? 2 2 2 x0 =
A

- 12 -

2


1 2 1 x0 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 2 2 x0

1 2 1 x0 ? 2 2 2 x0 ,即 x0 ? 1 时取等号 当且仅当
2 ? 19.解: (1) f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 (a ? R) ,

………… 1 分 ………… 2 分

? 由 f (2) ? 9 ,得 a = 5.

5 1 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 3 .则 f (2) ? 3 . ∴
则(2,3)在直线 9 x ? y ? b ? 0 上.∴b = ?15. (2)① 若 a ? 0 , ………… 4 分

1 1 1 1 f ( x) ? ? x2 ? x ? ? ? ( x ? 1)2 ? 2 3 2 6,
………… 6 分

∴ f ( x) 的单调减区间为(1,?∞) .

1 f ?( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? a( x ? )( x ? 1), x ? R, a ② 若 a ? 0 ,则 1 1 ( x ? )( x ? 1) ? 0 x? ?( x) ? 0 f a a ,或 x ? 1. 令 ,得 .∴ ………… 9 分 1 (??, ) a , ∴ f ( x) 的单调减区间为 (1,?∞) . ………… 10 分 1 f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? ) a ,0 ? a ? 1, (3) 列表:

x
f ?( x) f ( x)

(?∞, 1) 1 + ↗ 0 极大值

1 (1, a )
? ↘

1 a
0 极小值

1 ( a , ?∞)
? ↗

(不列表,指出单调性及单调区间也行) ………… 12 分 1 a 1 1 1 1 1 f ( ) ? ? 3 ? (a ? 1) 2 ? ? 3 a 2 a 3 a ∴f(x) 的极小值为 a 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ( ? )2 ? 6 a 2 a 3 6 a 2 24 . 当

………… 14 分 ………… 16 分

a?

2 1 1 3 时,函数 f(x) 的极小值 f( a )取得最大值为 24 .

20.解: (1)设数列

?an ?的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12.

a ? 3n ? 2 ……………………4 分 解得 a1 ? 1 , d ? 3 ,∴ n
- 13 -

(2)∵

an ? 3n ? 2 , an?1 ? 3n ? 1,∴ bn ? an ? an?1 ? ?3n ? 2??3n ? 1?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?3n ? 2??3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ……………………6 分 b ∴ n
1? 1 ? 1 Tn ? ?1 ? ?? 3 3 n ? 1 ? ? 3, ∴
Tn ?

即 3Tn<1…………………………8 分

(3)由(2)知

n 1 n m T1 ? Tm ? Tm ? 3n ? 1 ,所以 4, 3n ? 1 , 3m ? 1 , (

m 2 1 n 6m ? 1 3n ? 4 ) ? ? ? 4 3n ? 1 ,即 m 2 n ………10 分 ∵T1,Tm,Tn 成等比数列,∴ 3m ? 1 13 3n ? 4 ? n ,n=16,符合题意;………………………………11 分 当 m=2 时, 4 19 3n ? 4 ? n ,n 无正整数解; 当 m=3 时, 9

25 3n ? 4 ? n ,n 无正整数解; 当 m=4 时, 16 31 3n ? 4 ? 25 n ,n 无正整数解; 当 m=5 时, 37 3n ? 4 ? n ,n 无正整数解; 当 m=6 时, 36
6m ? 1 3n ? 4 4 ?1 ? 3? ? 3 2 n 当 m ? 7 时, m ? 6m ? 1 ? ?m ? 3? ? 10 ? 0 ,则 m ,而 n ,
2 2

………………………………13 分

所以,此时不存在正整数

m , n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……15 分

6m ? 1 1 6 1 1 ? 2 ? ? ( ? 3) 2 ? 9 ? 2 ? 3 2 m m 9 m 或者当 m≥3 时, m
3n ? 4 4 ? 3? ? 3 n 而 n
所以,此时不存在正整数

6m ? 1 3n ? 4 ? 2 n ∴ m
m , n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列.……15 分

T T 综上,存在正整数 m ? 2, n ? 16,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , m , n 成等比数列.(16 分)
- 14 -


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