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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 专题四 圆锥曲线的综合及应用问题课件 理_图文

专题四

圆锥曲线的综合及应用问题

题型 1 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题在历年的高考中,常考常新,通常 有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;另一类是圆锥 曲线中有关几何元素的最值问题.解决有关最值问题时,首先 要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),通过回归定义, 结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式等知

识以及观图、设参、转化、替换等途径来解决.

例1:(2013年广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为 2 .设P为直线l上 的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切 点. (1)求抛物线C的方程; (2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (3)当点P在直线l上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. 3 2

解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy, |0-c-2| 3 2 由 = 2 ,结合c>0,解得c=1. 2 所以抛物线C的方程为x2=4y. 1 2 (2)抛物线C的方程为x =4y,即y=4x , 1 求导数得y′=2x. 2? ? x2 x 1 2 设A(x1,y1),B(x2,y2)?其中y1= 4 ,y2= 4 ?, ? ? 1 1 则切线PA,PB的斜率分别为2x1,2x2,
2

x1 所以切线PA的方程为y-y1= 2 (x-x1), x1 x2 1 即y= 2 x- 2 +y1,即x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0. 因为切线PA,PB均过点P(x0,y0), 所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0. 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.

? ?x0x-2y-2y0=0, 联立方程? 2 ? ?x =4y,
2 消去x,整理,得y2+(2y0-x0 )y+y2 0=0.

由一元二次方程根与系数的关系可得
2 y1+y2=x2 - 2 y , y y = y 0 0 1 2 0, 2 所以|AF|· |BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y2 0+x0-2y0+1.

又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2. 12 9 2 2 2 ? 所以y0+x0-2y0+1=2y0+2y0+5=2 y0+ ? + .
? ? ?

2?

2

1 9 所以当y0=- 时,|AF|· |BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2

【规律方法】(1)广东高考已经多年没有涉及关于韦达定理
的有关知识,但 2013 年、2014 年连续两年考查了韦达定理. (2)求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出 两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量”.不 等式的来源可以是Δ>0 或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的 某个量的范围. (3)求最值的问题,牢记“转化为只含一个变量的目标函 数,确定变量的范围”或“考虑几何意义”.

【互动探究】 x2 y2 1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:a2+b2=1(a> b>0)的离心率e= 大值为3. (1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使直线l:mx+ny= 1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△AOB的面积 最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△AOB的面积;若 不存在,请说明理由. 2 3 ,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最

c 解:(1)由e= = a
2 2

2 2 2 2 ,得c = a , 3 3

2 2 所以a -b =3a ,即a2=3b2. 设P(x,y)是椭圆C上任意一点, x2 y2 则a2+b2=1,所以x2+3y2=3b2. 则|PQ|= x2+?y-2?2= 3b2-3y2+?y-2?2 = -2?y+1?2+3b2+6(-b≤y≤b). 当-b≤-1,即b≥1时,取y=-1,|PQ|max= 3b2+6=3,

可得b=1,所以a= 3,c= 2; 当-b>-1,即b<1时,|PQ|< 3b2+6<3,不合题意. x2 2 故椭圆C的方程为 3 +y =1. (2)在△AOB中,|OA|=|OB|=1, 1 1 S△AOB=2×|OA|×|OB|×sin∠AOB≤2, 1 当且仅当∠AOB=90° 时,S△AOB有最大值2. 当∠AOB=90° 时,

2 点O到直线AB的距离为d=1×sin45° =2, 1 2 2 2 则 2 = ? m + n =2. 2 2 m +n
? 3 2 1 6 2? ? 又m +3n =3?m = ,n = ,此时点M?± ,± ? ?. 2 2 2 2 ? ?
2 2 2

题型 2 圆锥曲线中的定值(定点)问题 作为高考的一个热点,从考纲的要求以及全国各省高考命

题的趋势来看,圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们
的高度重视,特别是与向量、不等式的结合.关于定点与定值 问题,一般来说从两个方面来解决:①从特殊入手,求出定点 或定值,再证明这个点或值与变量无关;②直接推理、计算, 并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值.

例 2:(2014 年福建)已知曲线Γ上的点到点 F(0,1)的距离比

它到直线 y=-3 的距离小 2.
(1)求曲线Γ的方程; (2)曲线Γ在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A,直线 y=3 分 别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N,以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B,试探究:当点 P 在曲线Γ上运动(点

P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?并证明你
的结论.

解:(1)方法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,得 点S到点F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等, 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线. 所以曲线Γ的方程为x2=4y. 方法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点, 则|y-(-3)|- ?x-0?2+?y-1?2=2. 依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方, 所以y>-3.所以 ?x-0?2+?y-1?2=y+1. 化简,得曲线Γ的方程为x2=4y.

(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变. 1 2 证明如下:由(1)知,抛物线Γ的方程为y=4x . 1 2 设P(x0,y0)(x0≠0),有y0=4x0. 1 1 1 由y′=2x,得切线l的斜率k=2x x? x0 =2x0, 1 所以切线l的方程为y-y0=2x0(x-x0). 1 1 2 化简,得y=2x0x-4x0. 1 1 ? ?y= x0x- x2 ?1 ? 0, 4 由? 2 得A?2x0,0?. ? ? ? y = 0 , ?

1 1 ? ?y= x0x- x2 ?1 ? 6 0, 4 由? 2 得M?2x0+x ,3?,N(0,3). ? ? 0 ? y = 3 , ?
?1 ? 3 所以圆心C?4x0+x ,3?, ? ? 0 ?1 3? 1 半径r=2|MN|=?4x0+x ?, ? 0?

|AB|= |AC|2-r2 =
?1 ?1 ?1 3 ?? 3 ?2 ? ? 2 x0+ ?? +9-? x0+ ? = ?2x0-? 4 x0?? x0? ? ?4 ?

6.

所以点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的 长度不变.

【规律方法】(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量线 段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某 些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而 变化,而始终是一个确定的值.
(2)因为本题中的抛物线为二次函数,求切线可以考虑利 用导数,再联立方程求出有关点的坐标,最后代入|AB|= |AC|2-r2化简求解.

【互动探究】 2.(2013年广东揭阳一模)如图41,设点F1(-c,0),F2(c,0) x2 分别是椭圆C: a2 +y2=1(a>1)的左、右焦点,点P为椭圆C上 ???? ???? 任意一点,且 PF1 · PF2 的最小值为0. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1,l2均与椭圆C 相切,证明:m+n=0; (3)在(2)的条件下,试探究在x轴上是否存在定点B,使点B 到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点B的坐标;若不 存在,请说明理由.

图 4-1 ???? ???? (1)解:设P(x,y),则有 F1 P =(x+c,y), F2 P =(x-c,y),
2 ???? ???? a -1 2 2 2 2 PF1 · PF2 =x +y -c = a2 x +1-c2,x∈[-a,a], ???? ???? 由 PF1 · PF2 的最小值为0,得1-c2=0?c=1,

则a2=c2+b2=2.

x2 2 ∴椭圆C的方程为 2 +y =1. (2)证明:把l1的方程代入椭圆方程,得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. ∵直线l1与椭圆C相切, ∴Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0, 化简,得m2=1+2k2. 同理,得n2=1+2k2.∴m2=n2. 若m=n,则l1,l2重合,不合题意, ∴m=-n,即m+n=0.

(3)解:设在x轴上存在点B(t,0),使点B到直线l1,l2的距离 之积为1, |kt+m| |kt-m| 则 2 · 2 =1,即|k2t2-m2|=k2+1, k +1 k +1 把1+2k2=m2代入,并去绝对值整理,得 k2(t2-3)=2或k2(t2-1)=0. 前式显然不恒成立,而要使得后式对任意的k∈R恒成 立, 则t2-1=0,解得t=± 1. 综上所述,满足题意的定点B存在,其坐标为(-1,0)或(1,0).

题型 3 圆锥曲线中的存在(探究)性问题 探索性问题是近几年高考的热点问题,是一种具有开放性 和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求解答者 自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括. 主要题型包括条件追溯型、结论探索型、存在判断型等.圆锥

曲线的探索性问题大部分是存在判断型.解决这类问题的基本
策略是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认 可其中的一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若 由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证 法在解题中起着重要的作用.

例 3:(2013 年广东广州一模)已知椭圆 C1 的中心在坐标原
点,两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),点 A(2,3)在椭圆 C1 上,

过点 A 的直线 l 与抛物线 C2:x2=4y 交于 B,C 两点,抛物线

C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2,且 l1 与 l2 交于点 P.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足|PF1| +|PF2| =|AF1| +|AF2| 的点 P ?若存 在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的坐标);若不存在,

说明理由.

x2 y2 解:(1)方法一:设椭圆C1的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 22 32 ? 2 ? ? 2+ 2=1, a ? =16, 依题意,得?a b 解得? 2 ? 2 2 ?b =12. ? a = b + 4 , ? x2 y2 ∴椭圆C1的方程为16+12=1. x2 y2 方法二:设椭圆C1的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 根据椭圆的定义,得2a=|AF1|+|AF2|=8,即a=4. ∵c=2,∴b2=a2-c2=12. x2 y2 ∴椭圆C1的方程为16+12=1.

? ? 1 2? 1 2? (2)方法一:设点B?x1,4x1?,C?x2,4x2?, ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 2 → =?x2-x1, ?x2-x1??,BA → =?2-x1,3- x1?. 则BC 4 4 ? ? ? ?

→ ∥BA →. ∵A,B,C三点共线,∴BC
? 1 2? 1 2 2 ∴(x2-x1)?3-4x1?=4(x2-x1)(2-x1), ? ?

化简,得2(x1+x2)-x1x2=12.
2



1 2 1 由x =4y,即y=4x ,得y′=2x. ∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为

1 2 x1 y- x1= (x-x1), 4 2 x1 1 2 即y= 2 x-4x1. ②

同理,抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 x2 1 2 y= x- x2. 2 4 ③

x1 1 2 x2 1 2 设点P(x,y),由②③,得 x- x1= x- x2, 2 4 2 4 1 而x1≠x2,则x= (x1+x2). 2

1 代入②,得y= x1x2, 4 则2x=x1+x2,4y=x1x2,代入①,得 4x-4y=12,即点P的轨迹方程为y=x-3. 若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,且点P又 在直线y=x-3上. 又∵直线y=x-3经过椭圆C1内一点(3,0), ∴直线y=x-3与椭圆C1交于两点. ∴满足条件|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个.

方法二:设点B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0), 1 2 1 由x =4y,即y=4x ,得y′=2x.
2

∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为 x1 x1 1 2 y-y1= 2 (x-x1),即y= 2 x+y1-2x1. 1 2 x1 ∵y1=4x1,∴y= 2 x-y1. ∵点P(x0,y0)在切线l1上, x1 ∴y0= 2 x0-y1. ①

x2 同理,y0= 2 x0-y2. ② 综合①②,得点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程y0 x = x0-y. 2 ∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的, x ∴直线l的方程为y0=2x0-y. ∵点A(2,3)在直线l上,∴y0=x0-3. ∴点P的轨迹方程为y=x-3.

若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,则点P在椭圆C1上,且又在 直线y=x-3上. 又∵直线y=x-3经过椭圆C1内一点(3,0), ∴直线y=x-3与椭圆C1交于两点. ∴满足条件|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个.

【规律方法】本题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等

基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学方
法,以及推理论证的能力.第(1)小题利用椭圆的标准方程及其

性质即可得出;第(2)小题的关键在于求点 P 的轨迹方程,设出
点 B,C 的坐标,利用三点共线即可得出坐标之间的关系,利

用导数的几何意义可得切线的斜率,再得出切线的方程,将交
点 P 的坐标代入即可得到交点P 的轨迹方程.由|PF1|+|PF2|= |AF1|+|AF2|知,点 P 在椭圆C1 上,又点 P 在直线 y=x-3 上, 直线经过椭圆 C1 的内部一点(3,0),则可判断出其交点个数.

【互动探究】
2 2 x y 3.如图42,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2: a2 - b2 =

1(a>0,b>0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交 点,且|AF2|=5. (1)求双曲线C2的方程; (2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N: (x-2)2+y2=1.已知点P(1, 3),过点P作互相垂直,且分别与 圆M、圆N相交的直线l1和l2,设l1被圆M截得的弦长为s,l2被圆 s N截得的弦长为t.问 t 是否为定值?请说明理由.

图 4-2
解:(1)∵抛物线 C1:y2=8x 的焦点为 F2(2,0), ∴双曲线 C2 的焦点为 F1(-2,0),F2(2,0).

设 A(x0,y0)在抛物线 C1:y2=8x 上,且|AF2|=5,

由抛物线的定义,得x0+2=5,∴x0=3,
2 ∴y0 =8×3,即y0=± 2

6. 6?2=7.

∴|AF1|= ?3+2?2+?2

又∵点A在双曲线上,由双曲线的定义,得 |AF1|-|AF2|=2a=|7-5|=2. ∴a=1,b2=c2-a2=3.
2 y ∴双曲线的方程为x2- 3 =1. s (2) t 为定值,理由如下: 设圆M的方程为(x+2)2+y2=r2,双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.

若圆M与渐近线y=- 3x相切, 2 3 ∴圆M的半径为r= 2= 3. 1+? 3? 故圆M:(x+2)2+y2=3. 设l1的方程为y- 3=k(x-1),即kx-y+ 3-k=0, 1 设l2的方程为y- 3=- (x-1),即x+ky- 3k-1=0, k | 3-3k| ∴点M(-2,0)到直线l1的距离为d1= 2 ,点N(2,0)到 1+k |1- 3k| 直线l2的距离为d2= 2 . 1+k

∴直线l1被圆M截得的弦长为 s =2
?3k- 3? ?2 3-? 2 ? ? =2 ? 1+k ?

6

3k-6k2 , 2 1+k

直线l2被圆N截得的弦长为 t=2 s ∴t=
? 1-? ? ?

3k-1? ?2 =2 1+k2 ? ?

2

3k-2k2 . 1+k2

6 2

3k-6k2 2= 3k-2k

6? 3k-k2? s 2 = 3,故 为定值 3. t 2? 3k-k ?


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