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必修四第二章


第二章 [基础训练 A 组] 一、选择题
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( A. AB

平面向量

????

??? ?

??? ?

??? ?

) D. 0 )

??? ?

B. DA

C. BC

?

2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( A. a0 ? b0

?? ? ?? ?

? ?

?? ?

?? ?

B. a ? b ? 1 0 0

?? ? ?? ?

C. | a0 | ? | b0 |? 2

?? ?

?? ?

D. | a0 ? b0 |? 2

?? ? ?? ?

3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,

?

?

?

?

(2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

? ?

?

?

?

?

(3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a? b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 D. 3

??



4.下列命题中正确的是(

A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?



6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4,0



二、填空题
1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?
0

?

?

?

?



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是___________。

1

5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 1.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基 底表示 DE 、 BF 、 CG .

?

?

?

?

??? ? ?

?

?

?

??? ?

??? ?

D

F G E B

C

A

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

? ?

?

?

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

2

第二章 平面向量 [综合训练 B 组] 一、选择题
1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB ? AB ) B. AB ? BA ? 0

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

C. 0 ? AB ? 0

? ??? ?

?

D. AB ? BC ? CD ? AD )

??? ? ??? ? ??? ?

????

2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,则点 P 的坐标为( A. (3,1) B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1)
o

????

????

D.无数多个

3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于( A. ?2 B. 2 C.

?

?

? ?

?

?

)

1 2

D. ?

1 2
?

5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(

? ?

?

?

?

?

?

?

?



? ? 2? 5? B. C. D. 6 3 3 6 ? ? 1 ? 3 ? 6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3
A. A. 30
0



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题
1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?



2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为
0

?

?

?

?

? ?



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。
? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

3

三、解答题
1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a? c )b ? (a? b )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

?? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

4

第二章 平面向量 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0 ) D. a ? 2b ? 0

C. 2a ? b ? 3

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? , 1P 2 长度
的最大值是( A. 2 B. 3 ) C. 3 2 ) B .若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 D. 2 3

3.下列命题正确的是( A .单位向量都相等

C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0

? ?

D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1
0

? ?

4.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? ( A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

? ?

?

?



5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

二、填空题
1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 2.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?



?

?

?

?

? ? ?

? ?
?



b ? 5 ,则向量 b ? ______。 5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a?
5

? ?

三、解答题 1.已知 a, b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

? ? ?

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反 的一个向量.

?

?

?

?

?

?

?

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

3. 平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? 1 3 ? ? ? ? 若存在不同时为 0 的实数 k 和 t , 使 x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 ), 2 2

? ? x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

4.如图,在直角△ ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2 a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

6


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