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湖南省湖南师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考文数试题 Word版含解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 i (3 ? i ) 的共轭复数是( A. 1 ? 3i 【答案】B. B. 1 ? 3i ) C. ? 1 ? 3i D. ? 1 ? 3i

考点:1.复数的计算;2.共轭复数的概念.
x 2.设 U ? R , A ? x 2 ? 1 , B ? x log 2 x ? 0 ,则 A ? CU B ? (

?

?

?

?



A. x x ? 0 【答案】C. 【解析】

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

试题分析:易知 A ? x x ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? CU B ?? x 0 ? x ? 1 ,故选 C. 考点:集合的运算. 3.计算 sin 47 cos17 ? cos47 cos107 的结果等于(
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?



A. ?

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

【答案】D. 【解析】 试题分析: sin 47 cos17 ? cos 47 cos(90 ? 17 ) ? sin 47 cos17 ? cos 47 (? sin17 )
? ? ? ? ? ? ? ? ?

? sin(47? ? 17? ) ? sin 30? ?
考点:三角恒等变形.

1 ,故选 D. 2

-1-

4.已知向量 a ? (?1,1) , b ? (1, m) ,若 (2a ? b) ? a ? 4 ,则 m ? () A. ?1 【答案】C. 【解析】 试题分析:由已知得 2a ? b ? (?2,2) ? (1, m) ? (?3,2 ? m) ,又∵ a ? (?1,1) ,∴ B. 0 C. 1 D. 2

? ? ?

(2a ? b) ? a ? 3 ? 2 ? m ? 4 ,∴ m ? 1 ,故选 C.
考点:平面向量数量积. 5.已知抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点到准线距离为 1 ,则 a ? (
2



A. 4 【答案】D. 【解析】

B. 2

C.

1 4

D.

1 2

2 试题分析:抛物线方程化为 x ?

1 1 1 1 y ,∴ F (0, ) ,焦点到准线距离为 ? 1 ,∴ a ? , a 4a 2a 2

故选 D. 考点:抛物线的标准方程及其性质. 6.下列命题是假命题的是() A. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 B. ?? , ? ? R ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? C.向量 a ? (?2,1) , b ? (?3,0) ,则 a 在 b 方向上的投影为 2 D. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的既不充分又不必要条件 【答案】A.

?

-2-

b 考点:命题真假判断. 7.已知双曲线

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率为 ,则双曲线的两渐近线的夹角为( ) 2 a b 3
B.

A.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】C.

考点:双曲线的标准方程及其性质. 8.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 (a ? b ? c ) tanC ? ab ,则角 C 的
2 2 2

值为( ) A.

? 5? 或 6 6

B.

? 2? 或 3 3

C.

? 6

D.

2? 3

【答案】A. 【解析】

a 2 ? b2 ? c 2 1 cos C 1 ? ? ? cos C ? ? sin C ? ,C ? (0, ? ) , 试题分析: ∴C ? 或 2ab 2 tan C 2sin C 2 6

5? ,故选 A. 6
考点:余弦定理.
-3-

【思路点睛】由已知条件,可先将切化弦,再结合正弦定理,将该恒等式的边都化为角,然 后进行三角函数式的恒等变形,找出角之间的关系;或将角都化成边,然后进行代数恒等变 形,可一题多解,多角度思考问题,从而达到对知识的熟练掌握.

?x? y ?0 ? 2 x? y 9.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3 的最大值为( ?x ? 2 y ? 1 ?
A. 3 3 【答案】B. 【解析】 B. 3 C. 3 D. 9



考点:线性规划. 10.如图所示程序框图,如果输入三个实数 a , b , c ,要求输出这三个数中最小的数,那么 在空白的判断框中,应填入下面四个选项中的( )

-4-

A. c ? x 【答案】B. 【解析】

B. c ? x

C. c ? b

D. b ? c

试题分析:由题意可知,该程序框图的作用是通过比较判断,将较小的值赋值给 x ,故判断框 中应是 c ? x ,故选 B. 考点:程序框图. 11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 16 3cm ,它的三视图中的俯视图如图所 示,侧视图是一个矩形,则侧视图的面积是( )
3

A. 8 【答案】B.

B. 8 3

C. 4

D. 4 3

-5-

考点:三视图. 【思路点睛】根据几何体的三视图判断几何体的结构特征,常见的有以下几类:①三视图为 三个三角形,对应的几何体为三棱锥;②三视图为两个三角形,一个四边形,对应的几何体 为四棱锥;③三视图为两个三角形,一个圆,对应的几何体为圆锥;④三视图为一个三角形, 两个四边形,对应的几何体为三棱柱;⑤三视图为三个四边形,对应的几何体为四棱柱;⑥ 三视图为两个四边形,一个圆,对应的几何体为圆柱. 12.对于函数 f ( x ) , 若 ?a ,b ,c ? R , f ( a ) , f (b) , f (c) 为某三角形的三边长, 则称 f ( x )

2x ? t 为“可构造三角形函数” ,已知 f ( x) ? x 是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的取值范围是 2 ?1
() A. [ ?1,0] 【答案】D. 【解析】 B. (??,0] C. [ ?2,?1] D. [?2,? ]

1 2

2x ? 1 ? t ?1 t ?1 ? 1? x 试题分析: f ( x) ? , x 2 ?1 2 ?1
当 t ? 1 ? 0 ,即 t ? ?1 时: f ( x) ? 1 ,此时 f ( a ) , f (b) , f (c) 都为 1,能构成一个正三角 形的三边长,满足题意;

? t ? f ( x) ? 1 , (, )f b (, ) f(c ) 1 当 t ? 1 ? 0 即 t ? ?1 时:f ( x) 在 R 上单调递增, ∴ ?t? f a
由 f (a) ? f (b) ? f (c) 得 ? 2t ? 1 ? ?1 ? t ? ?

?



1 ; 2

当 t ? 1 ? 0 即 t ? ?1 时: f ( x) 在 R 上单调递减, 1 ? f ( x) ? ?t ,由 f (a) ? f (b) ? f (c) 得

1 2 ? ?t ? t ? ?2 ,∴ ? 2 ? t ? ?1 ,综上: ? 2 ? t ? ? ,故选 D. 2
考点:1.新定义问题;2.函数性质的综合运用. 【思路点睛】利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节: 1.考虑函数的定义 域,保证研究过程有意义;2.弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系; 3.注 意恒成立不等式的等价转化问题. 二、填空题(本大题共 5 个小题,满分 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.设函数 f ( x) ? ?

?log 2 x( x ? 0) 1 ,若 f ( x ) 为奇函数,则 g (? ) 的值为_______. 4 ? g ( x)( x ? 0)

-6-

【答案】 2 . 【解析】 试题分析: g (? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? log 2 考点:奇函数的性质. 14.已知点 A(?1,0) ,过点 A 可作圆 x 2 ? y 2 ? mx? 1 ? 0 的两条切线,则 m 的取值范围是 ______. 【答案】 (2, ??) .

1 4

1 4

1 4

1 ? ? log 2 2 ? 2 ? 2 ,故填: 2 . 4

考点:圆的标准方程. 15.已知 5 sin 2? ? 6 cos ? , ? ? (0, 【答案】 【解析】 试题分析: 10 sin ? cos ? ? 6 cos ? ,∴ sin ? ?

?
2

) ,则 tan

?
2

? _____.

1 . 3

3 , 5 4 ? ? 1? 2 sin 2 ? sin 2 1 ? cos ? 5 ? 1 ,故填: 1 . 2 ? tan ? ? ? 3 2 cos ? 2 sin ? cos ? sin ? 3 3 2 2 2 5

考点:三角恒等变形. 【思路点睛】1.三角函数式的变形,主要思路为角的变换、函数变换、结构变换,常用技巧 有“辅助角” “1 的代换” “切弦互化”等,其中角的变换是核心,②三角函数式的化简原则: 尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号 或减少根号的层次,能求值的应求出其值.
2 16.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ( x ? R) ,给出下列命题:

① ?a ? R ,使 f ( x ) 为偶函数;

-7-

②若 f (0) ? f (2) ,则 f ( x ) 的图象关于 x ? 1 对称; ③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x ) 在区间 [a,??) 上是增函数;
2

④若 a ? b ? 2 ? 0 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? 2 有 2 个零点.
2

其中正确命题的序号为_______. 【答案】①③.

考点:函数的图象和性质. 【思路点睛】函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观 性,它是探求解题途径,使问题成功获解的重要依托,函数图象主要应用于以下方面:①求 函数的解析式;②求函数的定义域;③求函数的值域;④求函数的最值;⑤判断函数的奇偶 性;⑥求函数的单调区间;⑦解不等式;⑧证明不等式;⑨探求关于方程根的分布问题;⑩ 比较大小;? 求函数周期等.

-8-

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn ? k (2n ?1) ,且 a3 ? 8 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Tn . 【答案】 (1) an ? 2n ; (2) Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 .

? Tn ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1 , Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 .
考点:1.数列的通项公式;2.错位相减法求数列的和. 18.(本小题满分 12 分) 如图 AB 是⊙ O 的直径,点 C 是弧 AB 上一点, VC 垂直⊙ O 所在平面, D , E 分别为 VA ,

VC 的中点.
(1)求证: DE ?平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,⊙ O 的半径为 5 ,求点 E 到平面 BCD 的距离.

-9-

【答案】 (1)详见解析; (2)

3 2 . 2

考点:1.线面垂直的判定;2.体积法求解点到平面的距离. 【思路点睛】计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意 充分利用多面体的截面特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,利用三棱锥的“等 体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通 过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题. 18.(本小题满分 12 分)

2015 年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研,从该校文科生中随机抽取 40
名学生的数学成绩进行统计,将他们的成绩分成六段 [80,90) , [90,100) , [100,110) ,

[120,130) , [130,140) 后得到如图所示的频率分布直方图.

- 10 -

(1)求这 40 个学生数学成绩的众数和中位数的估计值; (2)若从数学成绩 [80,100) 内的学生中任意抽取 2 人,求成绩在 [80,90) 中至少有一人的概 率. 【答案】 (1)众数的估计值为 115 ,中位数的估计值为 115 ; (2)

3 . 5

考点:1.频率分布直方图;2.古典概型. 20.(本小题满分 12 分) 在平角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且过点 (0, 3 ) ,椭 2 a b 2
- 11 -

圆 C 的长轴的两端点为 A , B ,点 P 为椭圆上异于 A , B 的动点,定直线 x ? 4 与直线 PA ,

PB 分别交于 M , N 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说明 理由.

【答案】 (1)

x2 y2 ? ?1; (2) (1, 0) , (7, 0) . 4 3

- 12 -

2 2 令 y ? 0 ,∴ x 2 ? 8x ? 16 ? 9k12 ? 6k1k2 ? k2 , ? 9k12 ? 6k1k2 ? k2

∴ x 2 ? 8x ? 16 ? 12k1k2 ? 0 ,∴ x ? 8 x ? 16 ? 12 ? (? ) ? 0 ,
2

3 4

即 x ? 8 x ? 7 ? 0 ,解得 x ? 7 或 x ? 1 ,∴存在定点 (1, 0) , (7, 0) 经过以 MN 为直径的圆.
2

考点:1.椭圆的标准方程;2.圆的标准方程;3.定点问题. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (?1)k 2a ln x(k ? N , a ? R且a ? 0) . (1)求 f ( x ) 的极值; (2)若 k ? 2016 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 【答案】 (1)极小值, a ? a ln a ; (2) a ?

1 . 2

- 13 -

当 x ? ( x0 ,??) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 ( x0 ,??) 上单调递增, 又 g ( x) ? 0 有唯一解,∴ ?

? x2 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0 ? g ( x0 ) ? 0 ,即 ? 0 2 , ?g ?( x0 ) ? 0 ? x0 ? ax0 ? a ? 0

两式相减得: 2a ln x0 ? ax0 ? a ? 0 ? 2 ln x0 ? x0 ?1 ? 0 ? x0 ? 1 ,∴ a ? 考点:导数的运用.

1 . 2

【思路点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数,然后用导数证明;2.求参数 范围问题的常用方法: (1)分离变量; (2)运用最值;3.方程根的问题:可化为研究相应函 数的图象,而图象又归结为极值点和单调区间的讨论. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, AD 平分 ?BAC 交 BC 于 D ,交 ?ABC 的外接圆于 E . (1)求证:

AB BD ? ; AC DC

(2)若 AB ? 3 , AC ? 2 , BD ? 1 ,求 AD 的长.

【答案】 (1)详见解析; (2) AD ?

4 3 . 3

- 14 -

AD AC ? , ∴ AD ? AE ? AB ? AC , ∴ AD ? ( AD ? DE) ? AB ? AC , AB AE 2 2 16 2 ∴ AD ? AB ? AC ? AD ? DE ? AB ? AC ? BD ? DC ? 3 ? 2 ? 1? ? 6 ? ? , 3 3 3
∵ ?ADC ~ ?ABE , ∴ ∴ AD ?

4 3 . 3

考点:1.圆的基本性质;2.相似三角形的判定与性质. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4 ? ? x ??5t 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,曲线 C2 的参数方程为 ? (t 为参数). 3 ? y ? ?2 ? t 5 ?
(1)判断 C1 与 C2 的位置关系; (2)设 M 为 C1 上的动点, N 为 C2 上的动点,求 MN 的最小值. 【答案】 (1)相离; (2)

6 . 5

- 15 -

(2) MN

min

?

11 6 ?1 ? . 5 5

考点:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.圆的方程. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a , b ? R , f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 . (1)若 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)对 ?b ? R ,若 a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) ( ?? , ) ; (2) (?? ,? ] ? [ ,?? ) .

3 2

1 2

1 2

考点:1.绝对值不等式;2.恒成立问题.

- 16 -