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2018版高中数学苏教版必修三学案:3.4 互斥事件

[学习目标] 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法 公式求某些事件的概率. 知识点一 互斥事件与对立事件的概念 1.事件的包含关系 一般地,对于事件 A 与事件 B,如果事件 A 发生,则事件 定义 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含 于事件 B) 符号 图示 ①不可能事件记作?,显然 C??(C 为任一事件);②事件 注意事项 A 也包含于事件 A,即 A?A; ③事件 B 包含事件 A,其含义就是事件 A 发生,事件 B 一定发生,而事件 B 发生,事件 A 不一定发生 2.事件的相等关系 定义 符号 图示 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生;②所谓 A 注意事项 =B,就是 A,B 是同一事件; ③在验证两个事件是否相等时,常用到事件相等的定义 3.事件的和 定义 符号 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称 此事件为事件 A 与事件 B 的和事件 A+B 一般地,若 B?A,且 A?B,那么称事件 A 与事件 B 相 等 A=B B?A(或 A?B) 图示 ①A+B=B+A;②例如,在掷骰子试验中,事件 C2,C4 注意事项 分别表示出现 2 点,4 点这两个事件,则 C2+C4={出现 2 点或 4 点} 4.互斥事件和对立事件的含义 不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 如果两个互斥事件必有一个发生, 那么称这两个事 件为对立事件,事件 A 的对立事件记为 A . [思考] (1)在掷骰子的试验中, 事件 A={出现的点数为 1}, 事件 B={出现的点数为奇数}, 事件 A 与事件 B 应有怎样的关系? (2)判断两个事件是对立事件的条件是什么? 答 (1)因为 1 为奇数,所以 A?B. (2)①看是不是互斥事件;②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件,则是对立 事件;否则不是. 知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围 (1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0~1 之间,从而任何事件的概 率在 0~1 之间,即 0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为 1. (3)不可能事件的概率为 0. 2.互斥事件的概率加法公式 如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率,等于事件 A,B 分别发生的概率的和, 即 P(A+B)=P(A)+P(B). 3.对立事件的概率公式 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A+B 为必然事件,P(A+B)=1.再由互斥事件的概率 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B),得 P(A)=1-P(B). 题型一 事件关系的判断 例 1 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从 1~10 各 10 张)中,任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 解 (1)是互斥事件,不是对立事件. 理由是:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生 的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或 者“梅花”,因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由是:从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件 不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 理由是:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数 大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然不 可能是对立事件. 反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件, 只需要分别找出各个事件包含的所有结果, 看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件的和事件是否为必然事件,从而 可判断是否为对立事件. 2.考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用 Venn 图分析,对于较难判断的关系,也 可考虑列出全部结果,再进行分析. 跟踪训练 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么下列各对事件中,互斥 而不对立的是________. ①至少有一个红球与都是红球; ②至少有一个红球与都是白球; ③至少有一个红球与至少有一个白球; ④恰有一个红球与恰有两个红球. 答案 ④ 解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断. ①中两事件不是互斥事件, 事件“三个球都是 红球”是两事件的交事件;②中两事件是对立事件;③中两事件能同时发生,如“恰有一个 红球和两个白球”,故不是互斥事件;④中两事件是互斥而不对立事件. 题型二 事件的运算 例 2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件 C1={出现 1 点},事件 C2={出 现 2 点}, 事件 C3={出现 3 点}, 事件 C4={出现 4 点}, 事件 C5={出现 5 点}, 事件 C6={出 现 6 点},事件 D1={出现的点数不大于 1},事件 D2={出现的点数大于 3},事件 D3={出 现的点数小于 5},事件 E={出现的点数小于 7},事件 F={出现的点数为偶数},事件 G= {出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题: (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件; (2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件. 解 (1)因为事件 C1,C2,C3,C4 发生,则事件 D3 必发生,所以 C1?D3,C2?D3,C3?D3, C4?D3. 同理可得,事件 E 包含事件 C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件 D2 包含事件 C4,C5,C6;事 件 F 包含事件 C2,C4,C6;事件 G 包含事件 C1,

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