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高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课堂探究新人教B版必修2-含答案

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 课堂探究 探究一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题 对于多面体,只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积,其余多面体的侧面 积要把每个侧面积求出来再相加,求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积. 【典型例题 1】如图所示, 正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm, 高与斜高的夹角为 30°, 求该正四棱锥的侧面积和表面积. 思路分析: 根据多面体的侧面积公式, 必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高, 我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解. 解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE= OE =4(cm). sin 30? 1 1 ch′= ×4×4×4=32(cm2), 2 2 因此 S 正四棱锥侧= S 正四棱锥表=S 正四棱锥侧+S 正四棱锥底=32+4×4=48(cm2). 点评解决此类题目先利用正棱锥的高、 斜高、 底面边心距组成的直角三角形求解相应的 元素, 再代入面积公式求解. 空间几何体的表面积运算, 一般先转化为平面几何图形的运算, 再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算. 【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的 侧面积. 解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分 ( 其余部分省略 ) ,则侧面 1 ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C, C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形. 根据正六棱台的性质可得, OC= 3 3 AB= (cm), 2 2 3 A1B1= 3(cm), 2 2 2 O1C1= 所以 CC1= OO1 ? (O1C1 ? OC ) = 7 (cm).又知上、下底面周长分别为 c=6AB= 2 7 cm.所以正六棱台的侧面积为 S 正六棱台侧= 2 6(cm),c′=6A1B1=12(cm),斜高 h′=CC1= 1 1 7 9 7 2 (c+c′)h′= ×(6+12)× = (cm ). 2 2 2 2 点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似, 除了利用相对应的侧面积公式, 也要利用正棱台 中的核心直角梯形. 探究二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S 圆柱侧=2π rl,S 圆锥侧=π rl,S 圆台侧=π (r1+r2)l, 如上图,当 r1 变化时,相应的图形也随之变化,当 r1=0,r2=r 时,相应的圆台就转 化为圆锥,而当 r1=r2=r 时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面积公式也随之变化. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为 S 圆柱侧=2π rl r1 ? r2 ? r ??? ?S 圆台侧 =π (r1+r2)l r1 ?0.r2 ? r ???? ?S 圆锥侧 =π rl. 2.对于圆锥还要明确如下结论: (1)圆锥的侧面展开图是扇形. (2)圆锥的底面周长?扇形的弧长. (3)圆锥的母线长?扇形的半径. (4)S 扇形= n? r 2 (其中 n°为扇形圆心角的度数,r 为扇形的半径). 360 ) 【典型例题 3】 (1)圆锥的底面直径为 6,高是 4,则它的侧面积为( 2 A.12π B.24π C.15π D.30 解析: 作圆锥轴截面如图, 高 AD=4, 底面半径 CD=3, 则母线 AC=5, 得 S 侧=π ×3×5 =15π . 答案:C (2)矩形的边长分别为 1 和 2,分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面 积之比为( A.1∶2 C.1∶4 ) B.1∶1 D.1∶3 解析: 以边长 1 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S1=2π ×2×1=4π , 以 2 所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积 S2=2π ×1×2=4π ,故 S1∶S2=1∶1,选 B. 答案:B 探究三 球的切接问题 对球的表面积公式的考查, 通常与球的性质结合在一起. 与其他多面体和旋转体组合也 是考查球的表面积的一种常见方式. 常见的有关球的一些性质: (1)长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;球与正方体 的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直 径是正方体的面对角线. (2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直 径. 【典型例题 4】(1)已知长方体的长、 宽、 高分别为 2,3,6, 则其外接球的表面积为( A.196π B.49π C.44π D.36π ) 解析:长方体的体对角线长为 22 ? 32 ? 62 =7,所以其外接球的直径为 2R=7,即 R = 7 2 ,所以它的表面积为 4π R =49π .故选 B. 2 3 答案:B (2)已知圆台内有一表面积为 144π cm 的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之 差为 5 cm,求圆台的表面积. 2 解:其轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为 r1,r2,母线长为 l,球半径 为 R,则 r2-r1=5,母线 l=r1+r2. 因为 4π R =144π ,所以 R=6. 又 l =(2R) +(r2-r1) , 所以(r1+r2) =(2R) +(r2-r1) =(2×6) +5 =13 . 所以 r1+r2=13. 结合 r2-r1=5 得 r1=4,r2=9,所以 l=13. 2 2 所以 S 圆台表= ? r 1 + ? r2 +π (r1+r2)l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =π ·4 +π ·9 +π (4+9)·13=