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吉林省吉林市2019届高三第三次高考模拟测试数学(文科)试卷(含答案)_图文

吉林市普通中学 2018—2019 学年度高中毕业班第三次调研测试

文科数学
本试卷共 22 小题,共 150 分,共 6 页,考试时间 120 分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一 并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号;非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求。 1. 已知集合 A = { - 1,1}, B ? { x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,则 A A. C. 2.

B?

{ ?1}

B. D.

{ ?1,1}

{ ?2, ?1,1}

{ ?1,1, 2}

欧拉公式 e ix ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将 指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,它在复变函数论 里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”, A. C. 第一象限 第三象限 B.

i
?

e4

i

表示的复数位于复平面内

第二象限

D. 第四象限

3.

已知角 ? 的终边经过点 P ( ?1, 3) ,则 sin2? 的值为

A. 4.

3 2

B.

?

3 2

C.

?

1 2

D.

?

3 4

已知命题 p, q ,则“ ? p 为假命题”是“ p ? q 为真命题”的 A. C. 充分不必要条件 充要条件 B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的 体积为 2 ,则正视图的面积 A. C.
x

2
3

B. D.

1
2 2
1

2 正视图

1

1 侧视图

6.

已知双曲线 C :

y2 x 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的实轴 a2 b2

俯视图

长是虚轴长的 2 倍,则双曲线 C 的渐近线方程为 A.

y ? ?2 2 x

B.

y ? ? 2x

C.

y??

2 x 2

D.

y??

2 x 4

7.

函数 y ?

1 ? cos( x ? ) 图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为 2 3
B.

A. 8.

? ?1
2

?2
4

?1

C.

4? 2 ? 1

D.

?2 ?4

已知 AB 是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 0 内过点 E (2,1) 的最短弦,则 | AB | 等于 A.

3

B.

2 2

C.

2 3
开始

D.

2 5

9.

执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 A. B. C. D.

1 3 ? log 2 3 2
log 2 3

S = 3, i = 1 i<=3?
是 否

2
3

S = log 2 S
i+1 i

S=S+log 2

输出S 结束

i=i+1

10. 已知圆锥的高为 3 ,底面半径长为 4 ,若一球的表面积与此圆锥侧面积相等,则该球 的半径长为 A.

5

B.

5

C.

9

D.

3

11. ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c ,且 a sin A ? c sin C ? ( a ? b )sin B , c ? 4 ,

则 ?ABC 面积的最大值为 A.

2 3

B.

4

C.

4 3

D.

8 3

12. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,点 A(4, 3) , P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上, 则 ?PAF 周长取最小值时,线段 PF 的长为 A.

1

B.

13 4

C.

5

D.

21 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 利用分层抽样的方法在学生总数为 1200 的年级中抽取 30 名学生,其中女生人数 14 人,则该年级男生人数为 . .

14. 已知向量 a ? ( m , ?1), b ? (1,1) ,若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则实数 m ?

?x ? y ?1? 0 ? 15. 已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?

.

16. 已知函数 f ( x ) ?| ln x | ,实数 m, n 满足 0 ? m ? n ,且 f ( m ) ? f ( n ) ,若 f ( x ) 在区 间 [m 2 , n] 上的最大值是 2 ,则

n 的值为 m

.

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分 17. (12 分) 已知等差数列 {an } 中,a2 , a3 (a2 ? a3 ) 为方程 x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 的两个根,数列 {an } 的前项和为

Sn .
(1)求 an 及 Sn ; (2)在(1)的条件下,记 bn ?

1 4 Sn ? 1

, {bn } 的前项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 . 2

18. (12 分) 2018 年 11 月 15 日,我市召开全市创建全国文明城市动员大会,会议向全市人民发出动员令, 吹响了集结号。为了了解哪些人更关注此活动,某机构随机抽取了年龄在 15

75 岁之间的 100 人进

行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示,其分组区间为:

[15, 25) , [25, 35) , [35,45) , [45,55) , [55,65) , [65,75) .
把年龄落在 [15, 35) 和 [35,75) 内的人分别 称为“青少年人”和“中老年人”,经统计“青少年 人”与“中老年人”的人数之比为 2 : 3 . (1)求图中 a , b 的值,若以每个小区间的
0.015

频率 组距

b
0.030

a 中点值代替该区间的平均值,估计这 100 人年 0.005 龄的平均值 x ; 15 25 35 45 55 65 75 年龄(岁) (2)若“青少年人”中有 15 人关注此活动, 根据已知条件完成题中的 2 ? 2 列联表,根据此统计结果,问能否有 99% 的把握认为“中老年人”比 “青少年人”更加关注此活动?

关注 青少年人 中老年人 合计 50 15

不关注

合计

50

100

P ( K 2 ? k0 )

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k0
附参考公式: K ?
2

n( ad ? bc ) 2 ( a ? b )( c ? d )(a ? c )(b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d .

19.(12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? AB, PH ? BC , PA ? PC ? AC ? AB ? 2 , H 为

AC 的中点
(1)求证: PA ? AB ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

P

C

H A B

20.(12 分) 已知椭圆 E :

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2 ,且离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)若椭圆 E 的右焦点,右顶点分别为 F , C , 过 F 的直线交椭圆于 A, B 两点, 求四边形 OACB ( O 为坐标原点)面积的最大值. 21.(12 分) 已知函数 f ( x ) ? m ln x ?

1 2 x ( m ? R, m ? 0 ) 2

(1)若 m ? 2 ,求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 y ? f ( x ) 在 [ e , e] 上有零点,求 m 的取值范围.

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22. (10 分)选修 4 — 4:坐标系与参数方程

? ? x ? 1? ? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数),以坐标原点为极点, 2 t 2

以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos? . (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 交于 A, B 两点,点 P 的极坐标为 ( 2 ,

?
4

) ,求

1 1 ? 的值. | PA | | PB |

23. (10 分)选修 4 — 5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 1 | . (1)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)记函数 f ( x ) 的最小值为 m ,若 a , b, c 均为正实数,且 a ? b ? 求 a 2 ? b2 ? c 2 的最小值.

1 2

3 c ? m, 2

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