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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:3.2函数模型应用举例知识导学案

3.2 函数模型应用举例
知识导学 通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法,简称建模.
解决函数应用题的基本步骤: 第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题实际背景,然后进行科学的抽
象、概括,将实际问题转化成数学问题,即实际问题数学化; 第二步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解; 第三步:将所得函数问题的解代入实际问题进行验证,看是否符合实际,并对实际问题
作答. 解决函数应用题的关键有两点:一是实际问题数学化,即在理解的基础上,通过列表、
画图,引入变量,建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题,把文字语言翻译成数 学符号语言;二是对得到的函数模型进行解答,得出数学问题的解,要注重数学能力的培养. 要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质,有助于我们开拓 思路提高运算速度.
用待定系数法求出函数解析式,待定系数法是一种非常重要的数学方法,常常首先根据 题意,设出函数解析式,取特殊值代入函数解析式得到方程组,由方程组求出待定系数.
记忆口诀: (1)收集数据,画图提出假设; (2)依托图表,理顺数量关系; (3)抓住关键,建立函数模型; (4)精确计算,求解数学问题; (5)回到实际,检验问题结果. 疑难导析 解决函数应用题关键在于理解题意,提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模 型的理解,弄清其产生的实际背景,把数学问题生活化.另一方面,要不断拓宽学生的知识 面,提高其间接的生活阅历,如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问 题,也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题,逐步渗透、细水长流,培养学生实 际问题数学化的意识和能力. 问题导思 要解好数学应用题,首先应当加强提高阅读理解能力,然后将普通语言转化为数学语言 和数学符号,实际问题转化为数学问题,再利用数学方法、数学思想去解决问题,这个过程 的每一个环节都必须注意. 解答应用题的实质是要转化题意,把实际问题转化为数学问题,然后灵活选择适当的方 法列出函数关系式,从而求解. 典题导考 绿色通道 从这个例题我们看到,底数大于 1 的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长 速度要快得多,而后者又比真数大于 1 的对数函数模型要快,从这个实例我们可以体会到对 数增长,直线上升,指数爆炸等不同函数类型增大的含义. 典题变式 1.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为 了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=a·bx+c(其中,a、b、c 为常数).

已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理

由. 答案:选择 y=-0.8×0.5x+1.4 更合适.

2.一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优惠政

策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭成员均可享受半价;乙旅行社承诺,家

庭旅行算团体票,按原价的 2 计算.这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同, 3
试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪家更

优惠.

答案:当家庭只有 1 个孩子时,两家随便选择,当孩子数多于 1 个时,应选择甲旅行社.

3.某城市出租汽车统一价格,凡上车起步价为 6 元,行程不超过 2 km 者均按此价收费,行

程超过 2 km,按 1.8 元/km 收费,另外,遇到塞车或等候时,汽车虽没有行驶,仍按 6 分钟

折算 1 km 计算,陈先生坐了一趟这种出租车,车费 17 元,车上仪表显示等候时间为 11 分

30 秒,那么陈先生此趟行程介于…( )

A.5~7 km

B.9~11 km

C.7~9 km

D.3~5 km

答案:A

绿色通道

在求 y= x2 ? 0.42 的最小值时可以移项、平方去根号,然后用判别式法求得.

典题变式

1.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖不

完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月内(以 30 天计算)有 20 天每天可卖出

400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从

报社买多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?

答案:每天从报社买进 400 份时,每月所获利润最大,最大利润为 870 元.

2.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂

质减少到原来的 5%以下,则至少需要过滤的次数为( )(参考数据 lg2=0.301 0,lg3

=0.477 1)

A.5

B.10

C.14

D.15

答案:C

黑色陷阱

不明白题意,一味地想分别解出 M 和 m 的值,将会步入思维陷阱.

典题变式 容器中有浓度为 m%的溶液 a 升,现从中倒出 b 升后用水加满,再倒出 b 升后用

水加满,这样进行了 10 次后溶液的浓度为( )

A.( b )10·m% a
答案:B

B.(1- b )10·m% a

C.( b )9·m% a

D.(1- b )9·m% a

绿色通道

这是一个分段函数类型的应用问题,注意判断自变量在分段

函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键.

典题变式

1.某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电

子产品国内市场零售价为每件 250 元,每年可销售 40 万件,若政府增加附加税率为每百元

收 t 元时,则每年销售量将减少 t 万件.

(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数; (2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于 600 万元,那么附加税率应控制在什么范围? 答案:(1)所求的函数关系式为 y=250(40-t)t%. (2)税率应控制在 10%~15%之间为宜. 2.在国内投寄平信,每封不超过 20 克重应付邮资 80 分,超过 20 克不超过 40 克重付邮资 160 分,将每封信应付邮资(分)表示为信重(0<x≤40=克的函数,其表达式 f(x)为 ________.

答案:

?80 0 ? x ? 20 ??16020 ? x ? 40

绿色通道 一般来说,若题中已给出数学模型,只要解模即可,较常用的方法是用待定系数法解模. 典题变式 某人从 A 地到 B 地乘坐出租车,有两种方案,第一种方案:租用起步价 10 元,每千米价为 1.2 元的汽车;第二种方案:租用起步价为 8 元,每千米价为 1.4 元的汽车,按出租车管理 条例,在起步价内,不同型号行驶的里程是相等的.则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方案比 较合适? 答案:当 A、B 距离在起步价以内时,选择第二种方案;当 A、B 距离在(a,a+10)时,选择 第二种方案;当 A、B 距离恰好为 a+10 时,选择两种方案均可以;当 A、B 距离大于 a+10 时,选择第一种方案.(其中 a 为起步价内汽车行驶的里程)