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高中数学1.2.1任意角的三角函数定义教学设计教案新人教A版

§1.2.2

任意角的三角函数

(第一课时)

舒城中学 杨俊 【教学目标】 :1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.了解任意角的三角函数定义的形成过程; 3.了解任意角的三角函数的函数属性的定义体现; 【教学重点】 :1.任意角的三角函数的定义; 2.任意角的三角函数的函数属性解释. 【教学难点】 :1.任意角的三角函数的函数属性解释; 2.任意角的三角函数用单位圆上的点的坐标的刻画方法及该法对三角函数本 质的反映. 【教学思路】 :从初中学习过的锐角三角函数定义延伸到象限角中定义,再构建锐角三角函 数用单位圆中的点的坐标定义,渐进的渗透三角函数的函数属性。引导学生 从函数的要素出发去体会在知识的形成过程中对函数属性的渗透。在学习过 程中引导学生品味从具体到抽象、从简单到复杂的思维发展规律。 【教学手段】 :多媒体辅助教学. 【教学设计】 : 一.引:回顾旧知,引出新知 1.角的推广; 2.角的弧度制表示. 由以上知识点的学习,我们已经将角与实数一一对应了。 二.垫:创设情境,突显新知 1.锐角三角函数的定义. 【问】 :角 ? ? R ,是否还能建立其正弦、余弦和正切值? 2. y ? f ( x) 函数属性:从数集 A 到数集 B 的函数对应关系. 【问】 :三角函数被称为函数,你是如何解释其函数属性? 三.传:抽象概括,形成新知 1.锐角 ? 的三角函数定义法的推广. B B

y
E

B( xo , yo )

O

?

? ? (0, )
2

?

C

O

?
C

O

?
F C

x

锐角三角函数的定义:

构造象限角,用角终边上的点坐标表示:

sin ? ?

BC OB OC cos ? ? OB BC tan ? ? OC

B( xo , yo )

2 2 ? OB ? xo ? yo

BC ? yo , OC ? xo
思考:选用 E、F 点值可有影响?

下面我们再将角 ? 放到单位圆中定义: 单位圆:圆心在坐标原点,半径为 1 个单位长度的圆。并且我们将角 ? 的终边与单位圆
1

的交点定为 P( x, y) ,显然 OP ? r ? 1 ,且角 ? 的大小就是相应的圆心角所对的弧长。

y

y ? y; r x 由图知道: cos ? ? ? x; r y tan ? ? x sin ? ?
【反思】 : 任意角 ? ? (0,

P( x, y)
O

?

M A(1, 0) M

x

?
2

)

唯一对应

P( x, y)

唯一对应

y y (或x,或 ) ,即: x

? ? y ? sin ?
或 或 称 y , x,

? ? x ? cos?
y ? ? ? tan ? x

y 分别为 ? 的正弦,余弦和正切。 x

【研思】 : Ⅰ. ? ? (0,

?
2

) ? 第一象限角? y x
(研思方向: 对应关系可否符合函数对应?)

sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?
Ⅱ.

? :第一象限角 ? R ?
y
P( x, y) P( x, y)

y

y

y

o

A(1, 0)

x

o

A(1, 0)

x

o
P( x, y)

A(1, 0)

x

o

A(1, 0)

x

P( x, y)

sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?

y ( x ? 0) x

(研思方向: 对应关系可否符合函数对应?且关注终边在不同象限时相应三角函数值的 符号的变化,完成教材 13 页“探究” )

2

2.任意角 ? 三角函数的定义: 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交点为 P( x, y) ,那么:

y 称为 ? 的正弦,记作 sin ? ,即: sin ? ? y ;

x 称为 ? 的余弦,记作 cos? ,即: cos? ? x ; y y 称为 ? 的正切,记作 tan ? ,即: tan ? ? ? x ? 0 ? ; x x ? 除 ? ? ? k? (k ? Z ), 时 x=0 正切无意义外,对于确定的角 ? (? R ) ,上述三 2 种对应的值都是唯一确定的。所以,正弦、余正切都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变 量为实数的函数。
【研思】 :三角函数的定义域、值域?(利用单位圆解释) 四.悟:教、练结合,感悟新知 Ⅰ 教: 例 1.求 ? ?

5? 的正弦、余弦和正切值 3

【教授意图】 :1.象限角为载体的三角函数定义; 2.单位圆上的点定义三角函数对三角函数本质的反映。

例 2.已知角 ? 的终边过点 P o (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值 【教授意图】 :1.象限角为载体的三角函数定义; 2.终边上的点定义三角函数与单位圆上的点定义三角函数的联系与区别。

3

Ⅱ 练 1.已知角 ? 的终边在射线 y ? 2 x( x ? 0) 上,求 ? 的三个三角函数值. 【练习意图】 :1.象限角为载体的三角函数定义; 2.单位圆上的点的坐标定义三角函数及其对三角函数函数属性的反映.

2.求函数 y ? 2sin x ?1 的定义域. 【练习意图】 :单位圆上的点的坐标对三角函数定义中函数属性的反映.

课下自主完成例3—例5的学习要求! ! !

五.思:教学总结及思路探寻. 1.三角函数定义建构过程中是如何建立数集 ? 与数集间的函数对应; 2.定义三角函数的目的是为了应用其工具性,研究其性质便成为后续研究方向的重点。如何 对性质有初步认识?在以前研究初等函数经验的基础上我们知道: 让函数直观性呈现是突破 认识难题的关键!如何形成三角函数值与自变量间的直观性认识便是后续研究中首要任务。

【作业布置】 : 习题 1.2:

A:2、7、9

4


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