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高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件第2章 第11节 第3课时 导数与函数的综合问题_图文

第十一节 导数的应用 第三课时 导数与函数的综合问题 [典例] (2013· 重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄 水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积 为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总 建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄 水池的体积最大. 点 拨 解答本题关键是用半径r表示出高h. 可通过建造 总成本建立等量关系. [解 ] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2π rh = 200π rh (元 ) , 底面的总成本为 160π r2 元, 所以蓄水池的总成本为 (200π rh + 160π r2) 元. 又根据题意 200π rh +160π r2= 12 000π , 1 所以 h = (300- 4r2), 5r π 从而 V (r)= π r2h = (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h >0 可得 r<5 3, 故函数V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以V′(r)= (300-12r2). 5 令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域 内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数; 当r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8. 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数 学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小, 最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [针对训练] 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据 有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某 一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近 似地用如下函数给出: 629 ? 13 32 ?-8t -4t +36t- 4 ,6≤t<9, ? y=?1 59 ?8t+ 4 ,9≤t≤10, ? 2 ?-3t +66t-345,10<t≤12, 求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻. 解:①当6≤t<9时, 32 3 y′=- t - t+36 8 2 3 =- (t+12)(t-8). 8 令y′=0,得t=-12(舍去)或t=8. 当6≤t<8时,y′>0, 当8<t<9时,y′<0, 故t=8时,y有最大值,ymax=18.75. 1 59 ②当9≤t≤10时,y= t+ 是增函数, 8 4 故t=10时,ymax=16. ③当10<t≤12时,y=-3(t-11)2+18, 故t=11时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午8点. [典例] (2014· 广东韶关阶段检测)已知函数 f(x)=ln x- ln x x,h(x)= x . (1)求 h(x)的最大值; (2)若关于 x 的不等式 xf(x)≥-2x2+ax-12 对一切 x∈ (0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围. [解] 1-ln x ln x (1)因为h(x)= x (x>0),所以h′(x)= ,由 x2 h′(x)>0,且x>0,得0<x<e.由h′(x)<0,且x>0,得x>e,所 以函数h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞), 1 所以当x=e时,h(x)取得最大值 . e (2)因为xf(x)≥-2x2+ax-12对一切x∈(0,+∞)恒成立, 即xln x-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈(0,+∞)恒成立, 12 即a≤ln x+x+ x 对一切x∈(0,+∞)恒成立,设φ(x)= x2+x-12 ?x-3??x+4? 12 ln x+x+ x ,因为φ′(x)= = , x2 x2 故φ(x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增,φ(x)min=φ(3) =7+ln 3,所以a≤7+ln 3. [类题通法] 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一 般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调 性、极值画出函数的大致图像,数形结合求解. [针对训练] 1 2 x 设函数 f(x)= x +e -xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), ∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 若x=0,则f′(x)=0; 若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0; 若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减. 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立. 故m的取值范围为(-∞,2-e2). [ 典例 ] ex(a>0). (2013· 河南省三市调研