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【志鸿优化设计】2016高考数学(浙江版)二轮专题复习配套课件:6.1 直线与圆_图文

专题六 解析几何

第 1 讲

直线与圆

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -3-

1 2 3 4 5 )

1.(2015北京,文2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2

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D 解析 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 4 -4-

1 2 3 4 5 )

2.(2015安徽,文8)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12

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D 解析 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -5-

1 2 3 4 5

3.(2014福建,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的 方程是( A.x+y-2=0 ) B.x-y+2=0

C.x+y-3=0D.x-y+3=0

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直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选D. D 解析
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答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -6-

1 2 3 4 5
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2 2 4.(2015山东,文13) 由题意可作右图 , 过点P(1,)作圆x +y =1的两条切线,切点分别为A,B,则=

.

∵OA=1,AP= 3,
又∵PA=PB,

∴PB= 3. ∴∠APO=30° . ∴∠APB=60° . ∴ · =||· ||cos 60° = 3× 3× = . 3 2 2
2
解析 答案
1 3
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专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -7-

1 2 3 4 5

5.(2015江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .

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(x-1)2+y2=2 答案

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -8-

1 2 3 4 5

解析:(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1), 即该方程表示所有过定点P的直线系方程. 当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大. 此时,半径为|AP|=. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -9-

1 2 3 4 5

(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=, 当m<0时,1+<1,故1+无最大值; 当m=0时,r=1; 当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤,即rmax=, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.

专题六
热点考题诠释 能力目标解读

第 1讲

直线与圆 -10-

直线方程是解析几何的基础,高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直 线方程;两条直线平行与垂直的判定;两条直线的交点和距离问题等,一般以选择 题、填空题的形式考查.对于圆的考查,主要是结合直线的方程用几何法或待定系 数法确定圆的标准方程及一般方程;利用圆的性质求动点的轨迹方程;直线与圆, 圆与圆的位置关系等问题,其中含参数问题为命题热点.一般以选择题、填空题的

形式考查,难度不大,从能力要求看,主要考查函数与方程的思想、数形结合思想以
及分析问题与解决问题的能力.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -11热点一 热点二 热点三

直线方程及其应用
例1(1)已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方
程为( ) B.y=x-3 D.3x+y+1=0 A.y=2x+4 C.x-2y-1=0

(2)(2015浙江杭州仿真考,文10)设直线l1:kx-y+1=0,l2:x-ky+1=0,A(1,1),B(2,2),若
l1∥l2,则k= ;若l1与线段AB相交,则k的取值范围为 .

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专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 12 -12热点一 热点二 热点三

解析:(1)由题意可知,直线AC和直线BC关于直线y=x+1对称.设点B(-1,2)关于直 线y=x+1的对称点为B'(x0,y0),则有解得即B'(1,0).因为B'(1,0)在直线AC上,所以直线 AC的斜率为k=,所以直线AC的方程为y-1=(x-3),即x-2y-1=0.故C正确.

(2)因为l1∥l2,所以k×(-k)-1×(-1)=0,解得k=±1,当k=1时,l1:x-y+1=0,l2:x-y+1=0,
不符合题意,当k=-1时,l1:-x-y+1=0,l2:x+y+1=0,符合题意,所以k=-1.当直线l1过点A 时,k-1+1=0,解得k=0,当直线l1过点B时,2k-2+1=0,解得k=,因为l1与线段AB相交,所 以0≤k≤,故k的取值范围是.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 13 -13热点一 热点二 热点三

规律方法
1.求直线方程的方法 (1)直接法:直接选用恰当的直线方程的形式,写出结果; (2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定 系数,再由题目中其他条件求出待定系数. 2.两条直线平行与垂直的判定

(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1;
(2)两条不重合的直线a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+c2=0平行的充要条件为a1b2a2b1=0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1;垂直的充要条件为a1a2+b1b2=0.判定两条直线平行

与垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情
况,还要考虑斜率不存在的情况.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 14 -14热点一 热点二 热点三
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迁移训练1(1)“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

(2)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长

为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为

.

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(1)A (2)x+y-3=0 解析 答案

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 15 -15热点一 热点二 热点三

圆的方程及其应用
例2

(2015湖北,文16)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点 A,B(B在A的上方),且|AB|=2. (1)圆C的标准方程为 ; .
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(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为

答案

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -16热点一 热点二 热点三

解析:

(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB, 则△BPC为直角三角形, 得|BC|=r==b, 故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2. (2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1. 圆C在点B处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,即切线在x轴上的截距为-1-.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -17热点一 热点二 热点三

规律方法
求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法,通过研究圆的性质或直线和圆、圆与 圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,用待定系数法先设出圆的 方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程,一般采用待定系数法.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -18热点一 热点二 热点三

迁移训练2已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-

2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为

.

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x2+(y-1)2=10 解析 答案

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -19热点一 热点二 热点三

直线与圆的位置关系
例3(2015课标全国Ⅰ,文20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以<1. 解得<k<. 所以k的取值范围为.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -20热点一 热点二 热点三

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2=,x1x2=. =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8. 由题设可得+8=12,解得k=1, 所以l的方程为y=x+1.

故圆心C在l上,所以|MN|=2.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -21热点一 热点二 热点三

规律方法
1.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性 质寻找解题途径,减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距 离和半径的比较实现,两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与 和的比较. 2.直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半 径”建立切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切 线段长可转化为圆心到圆外点距离,利用勾股定理处理.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -22热点一 热点二 热点三

迁移训练3

如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动 直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程; (2)当|MN|=2时,求直线l的方程; (3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -23热点一 热点二 热点三

解:(1)设圆A的半径为R. ∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R==2.

∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.

(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意; 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2), 即kx-y+2k=0. 连接AQ,则AQ⊥MN.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -24热点一 热点二 热点三

∵|MN|=2,∴|AQ|==1.
由|AQ|==1,得k=,∴直线l的方程为3x-4y+6=0,

∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP,

∴=0, ∴=()·
=. 当直线l与x轴垂直时,得P,

则.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -25热点一 热点二 热点三

又=(1,2),∴=-5.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).由解得P,

∴, ∴=-5.
综上所述,是定值,且=-5.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -26易错点一 易错点二

忽视直线斜率不存在的情况而失解
讨论两条直线的位置关系时,首先要注意对斜率是否存在进行讨论,其次要注意 对系数是否为零进行讨论.在求解直线方程时,有时也忽略斜率不存在的情况.研究

直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往易忽视直线的斜率不存在的情
况而导致失解.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -27易错点一 易错点二

例1(1)a为何值时,直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(3a-1)x-ay-1=0平行?
(2)求过点M(3,1)的圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的切线方程. 解:(1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.

②当a≠0时,l1:y=-x+,l2:y=x-,
直线l1的斜率为k1=-,直线l2的斜率为k2=, 要使两直线平行,必须解得a=. 综合①②可得当a=0或a=时,两直线平行.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -28易错点一 易错点二

(2)圆心C(1,2),半径为r=2,当直线的斜率不存在时,过点M(3,1)的方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切; 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0. 由题意知=2,解得k=,所以方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0. 综上可知,所求切线方程为x=3,3x-4y-5=0. 点评:(1)题中需注意对a=0和a≠0两类情况分别讨论; (2)题中需考虑当k不存在时,圆的切线也存在.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -29易错点一 易错点二

忽视圆的一般方程中隐含条件致误
二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆是有条件的,必须有D2+E2-4F>0这个 隐含条件,在探求与圆的一般方程相关的范围时,要特别注意,不要丢掉.

专题六
命题热点 易错题型

第 1讲

直线与圆 -30易错点一 易错点二

例2已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),且过定点A(1,2)作
圆的切线有两条,求a的取值范围. 解:将圆C的方程配方有,∴>0,①

∴圆心C的坐标为,半径r=.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r, 即,化简得a2+a+9>0.②

由①②得-<a<,∴a的取值范围是-<a<.
点评:本题易出现的失分原因是忽视了①这个条件.在解决此类问题时,可以直 接判断D2+E2-4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.

专题六 1 2 3 4

第 1讲

直线与圆 -31-

1.若过点P(-2,-2)的直线与圆x2+y2=4有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是(

)
A. C. B. D.
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B 解析 答案

专题六 1 2 3 4

第 1讲

直线与圆 -32-

2.(2015课标全国Ⅱ,文7)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点 的距离为( A. )

B.
C. D.
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B 解析 答案

专题六 1 2 3 4

第 1讲

直线与圆 -33-

3.(2015浙江宁波镇海中学5月模拟考试,文12)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为 P'(b+1,a-1),则圆C:x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为 与圆C'的公共弦的长度为 . ;圆C

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解析

答案

专题六 1 2 3 4

第 1讲

直线与圆 -34-

4.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0). (1)若l1与圆C相切,求l1的方程; (2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l1的方程.

解:(1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意;

②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,即=2,解之,得k=. 所以直线l1的方程为y=(x-1),即3x-4y-3=0.

综上所述,所求直线l1的方程为x=1或3x-4y-3=0.

专题六 1 2 3 4

第 1讲

直线与圆 -35-

(2)因为直线与圆相交,所以斜率一定存在且不为0,设直线方程为kx-y-k=0, 则圆心到直线l1的距离为d=, 又因为△CPQ的面积S=d×2=d, 所以当d=时,S取最大值2.所以d=,所以k=1或k=7,所以所求直线l1的方程为x-y1=0或7x-y-7=0.