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高中数学人教A版选修2-3教学课件:1.1.2分类加法计数原理和分步乘法计数原理(2)_图文

? 1 .能根据具体问题特征,选择分类加法 计数原理或分步乘法计数原理解决一些简 单的实际问题,从而发展学生的思维能力, 培养学生分析问题和解决问题的能力. ? 2 .能正确区分分类加法计数原理和分步 乘法计数原理. ? 本节重点:两个基本原理的应用. ? 本节难点:正确区分分类和分步. ? 1.用两个计数原理解决计数问题时,最 分类 重要的是在开始计算之前要进行仔细分 析 ——需要 还是需要 . 分步 ? 2.分类要做到不重不漏 ,分类后再 分别对每一类进行计数,最后用 分类加法计数原理 求和,得到总数. ? 3.分步要做到步骤完整 ,步与步之 间要 ,根据 分步乘法计数原理 相互独立 ,把完成每一步的方法数相乘得到总 数. ? [ 例 1] 书架的第一层放有 6 本不同的数学 书,第二层放有 6 本不同的语文书,第三 层放有5本不同的英语书. ? (1)从这些书中任取一本数学、一本语文、 一本英语共三本书的不同取法有多少种? ? (2)从这些书中任取三本,并且在书架上按 次序排好,有多少种不同的排法? ? [解析] (1)完成这个工作可分三个步骤: 第一步,从 6 本不同的数学书中,任取一 本,有6种取法;第二步,从6本不同的语 文书中,任取一本,有 6 种取法;第三步, 从5本不同的英语书中,任取一本,有5种 取法. ? 根据分步计数原理,共有6×6×5=180种 不同取法. ? (2)本题实际上是从17本书中任取三本放在 三个不同位置. ? 完成这个工作分三个步骤: ? 第一步,从17本书中任取一本放在第一个 位置上,共有17种不同的方法; ? 第二步,从16本书中任取一本放在第二个 位置上,共有16种不同的方法; ? 第三步,从15本书中任取一本放在第三个 位置上,共有15种不同的方法. ? 根据分步乘法计数原理,共有17×16×15 =4080种不同的排法. ? [点评] 本题是根据分步乘法计数原理解题, 使用这个原理的关键是:依据题意把完成 一件事恰当地分成若干个步骤. ? [例3] 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数 字可以重复,最多只能是四位数)? ? [ 解析 ] 组成的自然数可以分为以下四类: ? 第一类:一位自然数,共有4个; ? 第二类:二位自然数,又可分为两步来完 成,先取出十位上的数字,再取出个位上 的数字,共有4×4=16(个); ? 第三类:三位自然数,又可分三步来完 成.每一步都可以从 4 个不同的数字中任 取一个,共有4×4×4=64(个); ? 第四类:四位自然数,又可分四步来完 成.每一步都可以从 4 个不同的数字中任 取一个,共有4×4×4×4=256(个). ? 由分类加法计数原理知,可以组成的不同 的自然数为4+16+64+256=340(个). ? [点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定 理时,必须搞清是先“分类”,还是先 “分步”,“分类”和“分步”的标准又 是什么. ? (2)该题是先分类,后分步,按自然数的位 数“分类”,按组成数的过程“分步”. ? [例4] 某外语组有9人,每人至少会英语 和日语中的一门,其中7人会英语,3人会 日语,从中选出会英语和日语的各一人, 有多少种不同的选法? [分析] 外语组共 9 人,7 人会英语,3 人会日语,易知 既会日语又会英语的“多面手”有 7+3-9=1 人,解答本 题可按以下标准分类求解. ?1.“多面手”去,1名英语教师去 ? ?2.“多面手”去,1名日语教师去 ?3.“多面手”不去,去1名日语和英语教师 ? ? [ 解析 ] 第一类: “ 多面手 ” 去参加英语 时,选出只会日语的一人即可,有 2 种选 法. ? 第二类:“多面手”去参加日语时,选出 会英语的一人即可,有6种选法. ? 第三类:他既不参加英语又不参加日语, 则需从日语和英语中各选一人,有2×6= 12(种)方法. ? 故共有2+6+2×6=20(种)选法. ? [点评] 解两个计数原理的综合应用题时, 最容易出现不知道应用哪个原理来解题的 情况,其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”,突破方法在于认 真审题,明确“完成一件事”的含义.具 体应用时灵活性很大,要在做题过程中不 断体会和思考,基本原则是“化繁为 简”. ? 一、选择题 ? 1.一个礼堂有4个门,若从一个门进,从 任一门出,共有不同走法 ? ( ) ? A.8种 B . 12 种 C . 16 种 D.24种 ? [答案] C ? [解析] 由分步乘法计数原理得共有不同走 法种数为4×4=16,故选C. ? 2 .在 2 、 3 、 5 、 7 、 11 这五个数字中,任 取两个数字组成分数,其中假分数的个数 为 ? ( ) ? A.20 B.10 ? C.5 D.24 ? [答案] B ? [解析] 假分数的分子不小于分母.故以2 为分母的有4个;以3为分母的有3个;以5 为分母的有2个;以7为分母的只有1 个.由加法原理知共有 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ? 3 .有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道 上,若快车 A 不能停在第 3 道上,货车 B 不 能停在第1道上,则5列火车的停车方法共 有 ? ( ) ? A.78种 B.72种 C . 120 种 D.96种 ? [答案] A ? [解析] 不考虑不能停靠的车道,5辆车共 有 5×4×3×2×1 = 120( 种 ) 停法, A 停在 3 道上的停法有4×3×2×1=24(种);B停在 ? 二、填空题 ? 4 .乒乓球队有男运动员 7 人,女运动员 6 人,从中选一人担任队长有 ________种方 案;派出两人参加男、女混合双打比赛有 ________种选派方案. ? [答案] 13 42 ? 5.在一块并排10垄的田地上,选择2垄分 别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄, 为

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