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高中数学人教A版选修2-3教学课件:1.1.2分类加法计数原理和分步乘法计数原理(2)


? 1 .能根据具体问题特征,选择分类加法 计数原理或分步乘法计数原理解决一些简 单的实际问题,从而发展学生的思维能力, 培养学生分析问题和解决问题的能力. ? 2 .能正确区分分类加法计数原理和分步 乘法计数原理. ? 本节重点:两个基本原理的应用. ? 本节难点:正确区分分类和分步. ? 1.用两个计数原理解决计数问题时,最 分类 重要的是在开始计算之前要进行仔细分 析 ——需要 还是需要 . 分步 ? 2.分类要做到不重不漏 ,分类后再 分别对每一类进行计数,最后用 分类加法计数原理 求和,得到总数. ? 3.分步要做到步骤完整 ,步与步之 间要 ,根据 分步乘法计数原理 相互独立 ,把完成每一步的方法数相乘得到总 数. ? [ 例 1] 书架的第一层放有 6 本不同的数学 书,第二层放有 6 本不同的语文书,第三 层放有5本不同的英语书. ? (1)从这些书中任取一本数学、一本语文、 一本英语共三本书的不同取法有多少种? ? (2)从这些书中任取三本,并且在书架上按 次序排好,有多少种不同的排法? ? [解析] (1)完成这个工作可分三个步骤: 第一步,从 6 本不同的数学书中,任取一 本,有6种取法;第二步,从6本不同的语 文书中,任取一本,有 6 种取法;第三步, 从5本不同的英语书中,任取一本,有5种 取法. ? 根据分步计数原理,共有6×6×5=180种 不同取法. ? (2)本题实际上是从17本书中任取三本放在 三个不同位置. ? 完成这个工作分三个步骤: ? 第一步,从17本书中任取一本放在第一个 位置上,共有17种不同的方法; ? 第二步,从16本书中任取一本放在第二个 位置上,共有16种不同的方法; ? 第三步,从15本书中任取一本放在第三个 位置上,共有15种不同的方法. ? 根据分步乘法计数原理,共有17×16×15 =4080种不同的排法. ? [点评] 本题是根据分步乘法计数原理解题, 使用这个原理的关键是:依据题意把完成 一件事恰当地分成若干个步骤. ? [例3] 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数 字可以重复,最多只能是四位数)? ? [ 解析 ] 组成的自然数可以分为以下四类: ? 第一类:一位自然数,共有4个; ? 第二类:二位自然数,又可分为两步来完 成,先取出十位上的数字,再取出个位上 的数字,共有4×4=16(个); ? 第三类:三位自然数,又可分三步来完 成.每一步都可以从 4 个不同的数字中任 取一个,共有4×4×4=64(个); ? 第四类:四位自然数,又可分四步来完 成.每一步都可以从 4 个不同的数字中任 取一个,共有4×4×4×4=256(个). ? 由分类加法计数原理知,可以组成的不同 的自然数为4+16+64+256=340(个). ? [点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定 理时,必须搞清是先“分类”,还是先 “分步”,“分类”和“分步”的标准又 是什么. ? (2)该题是先分类,后分步,按自然数的位 数“分类”,按组成数的过程“分步”. ? [例4] 某外语组有9人,每人至少会英语 和日语中的一门,其中7人会英语,3人会 日语,从中选出会英语和日语的各一人, 有多少种不同的选法? [分析] 外语组共 9 人,7 人会英语,3 人会日语,易知 既会日语又会英语的“多面手”有 7+3-9=1 人,解答本 题可按以下标准分类求解. ?1.“多面手”去,1名英语教师去 ? ?2.“多面手”去,1名日语教师去 ?3.“多

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