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上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编:三角函数综合运用

上海市 16 区 2018 届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编

三角函数综合运用专题
宝山区
21. (本题满分 10 分) 已知在港口 A 的南偏东 75°方向有一礁石 B,轮船从港口出发,沿正东北方向(北偏东 45°方向)前行 10 里到达 C 后测得礁石 B 在其南偏西 15°处,求轮船行驶过程中离礁石 B 的 最近距离.

长宁区
22. (本题满分 10 分) 如图,一栋居民楼 AB 的高为 16 米,远处有一栋商务楼 CD, 小明在居民楼的楼底 A 处测得商务楼顶 D 处的仰角为 60 ° ,又在商 务楼的楼顶 D 处测得居民楼的楼顶 B 处的俯角为 45° .其中 A、C 两点分别位于 B、D 两点的正下方,且 A、C 两点在同一水平线上, 求商务楼 CD 的高度. (参考数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 .结果精确到 0.1 米) B D

A

C 第 22 题图

崇明区

22. (本题满分 10 分) 如图,港口 B 位于港口 A 的南偏东 37 ? 方向,灯塔 C 恰好在 AB 的中点处,一艘海轮位 于港口 A 的正南方向,港口 B 的正西方向的 D 处,它沿正北方向航行 5 km,到达 E 处,测 得灯塔 C 在北偏东 45 ? 方向上.这时,E 处距离港口 A 有多远? (参考数据: sin 37? ? 0.60, cos37? ? 0.80, tan 37? ? 0.75 ) A
37°

北 东

C
45°

E D
(第 22 题图)

B

奉贤区
22.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分) 如图,为了将货物装入大型的集装箱卡车,需要利用传送带 AB 将货物从地面传送到高 1.8 米(即 BD=1.8 米)的操作平台 BC 上.已知传送带 AB 与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°. (1)求传送带 AB 的长度; (2)因实际需要,现在操作平台和传送带进行改造,如图中虚线所示,操作平台加高 0.2 米(即 BF=0.2 米) ,传送带与地面所成斜坡的坡度 i=1:2.求改造后传送带 EF 的长度.(精确 sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75, 2≈1.41 , 5≈2.24 ) 到 0.1 米) (参考数值:

虹口区

如图,一辆摩拜单车放在水平的地面上,车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的 水平线上,A、B 之间的距离约为 49cm,现测得 AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45°与 68°, 若点 C 到地面的距离 CD 为 28cm,坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm,求点 E 到地面 的距离(结果保留一位小数) . (参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,cot68°≈0.40)

黄浦区
22. (本题满分 10 分) 如图,坡 AB 的坡比为 1∶2.4,坡长 AB=130 米,坡 AB 的高为 BT.在坡 AB 的正面有 一栋建筑物 CH,点 H、A、T 在同一条地平线 MN 上. (1)试问坡 AB 的高 BT 为多少米? (2) 若某人在坡 AB 的坡脚 A 处和中点 D 处, 观测到建筑物顶部 C 处的仰角分别为 60° 和 30°,试求建筑物的高度 CH.(精确到米, 3 ? 1.73, 2 ? 1.41) C

B D M H A T N

嘉定区
21. 如图 4, 某湖心岛上有一亭子 A, 在亭子 A 的正东方向上的湖边有一颗树 B,

在这个湖心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45o 方向上。测得树 B 在北偏东 36o 方向上, 又测得 B、C 之间距离等于 200 米,求 A、B 之间距离(结果精确到 1 米), ( 参 考 数 据 :

2 ? 1.414 , sin 36o ? 0.588 , cos36o ? 0.809 , tan36o ? 0.727 ,

cot36o ? 1.376)

金山区
22. (本题满分 10 分) 如图,MN 是一条东西方向的海岸线,在海岸线上的 A 处测得一海岛在南偏西 32°的方向 上, 向东走过 780 米后到达 B 处, 测得海岛在南偏西 37°的方向, 求小岛到海岸线的距离. (参考数据:tan37°= cot53°≈0.755,cot37°= tan53°≈1.327, tan32°= cot58°≈0.625,cot32°= tan58°≈1.600. )

静安区
22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分) 如图,在一条河的北岸有两个目标 M、N,现在位于它的对岸设定两个观测点 A、B,已 M N 知 AB∥MN, 在 A 点测得∠MAB=60°, 在 B 点测得∠MBA=45°, AB=600 米. (1)求点 M 到 AB 的距离; (结果保留根号) (2)在 B 点又测得∠NBA=53°,求 MN 的长. (结果精确到 1 米)
o o

A
o

(参考数据: 3 ? 1.732 , sin53 ? 0.8 , cos53 ? 0.6 , tan53 ? 1.33 , cot53 ? 0.75 . )
o

第 22 题图

B

闵行区
22. (本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,满分 10 分)
歼-20(英文:Chengdu J-20,绰号:威龙,北约命名: Fire Fang)是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高 隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代战斗机。 歼-20 在机腹部位有一个主弹仓,机身两侧的起落架前 方各有一个侧弹仓。歼-20 的侧弹舱门为一片式结构,这个弹

舱舱门向上开启,弹舱内滑轨的前端向外探出,使导弹头部 伸出舱外,再直接点火发射。

如图是歼-20 侧弹舱内部结构图,它的舱体 横截面是等腰梯形 ABCD,AD//BC,AB = CD, BE⊥AD,CF⊥AD,侧弹舱宽 AE = 2.3 米,舱底 宽 BC = 3.94 米,舱顶与侧弹舱门的夹角∠A = 53?. 求(1)侧弹舱门 AB 的长; (2)舱顶 AD 与对角线 BD 的夹角的正切值. (结果精确到 0.01,参考数据: sin 53o ? 0.799 ,
cos53o ? 0.602 , tan 53o ? 1.327 ) .

A

E

F

D

B
(第 22 题图)

C

浦东新区
22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 如图,为测量学校旗杆 AB 的高度,小明从旗杆正前方 3 米处的 点 C 出发,沿坡度为 i ? 1: 3 的斜坡 CD 前进 2 3 米到达点 D,在点 D 处放置测角仪,测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°,量得测角仪 DE 的高 为 1.5 米.A、B、C、D、E 在同一平面内,且旗杆和测角仪都与地面 垂直. (1)求点 D 的铅垂高度(结果保留根号) ; (2)求旗杆 AB 的高度(精确到 0.1) . (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75, 3 ? 1.73 . ) 37° E D B C
(第 22 题图)

A

普陀区 青浦区
22. (本题满分 10 分) 如图 7, 小明的家在某住宅楼 AB 的最顶层 (AB⊥BC) , 他家的后面有一建筑物 CD (CD // AB) ,他很想知道这座建筑物的高度,于是在自家阳台的 A 处测得建筑物 CD 的底部 C 的 俯角是 43 ,顶部 D 的仰角是 25 ,他又测得两建筑物之间的距离 BC 是 28 米,请你帮助小 明求出建筑物 CD 的高度(精确到 1 米) .
(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47; sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93. )

D A

C

图7

B

松江区
22. (本题满分 10 分) 某条道路上通行车辆限速 60 千米/时. 道路的 AB 段为监测区, 监测点 P 到 AB 的距离 PH 为 50 米(如图). 已知点 P 在点 A 的北偏东 45° 方向上,且在点 B 的北偏西 60° 方向上,点 B 在点 A 的北偏东 75° 方向上.那么, 车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内, 可认定为超速? (参 考数据 3 ? 1.7 , 2 ? 1.4 )
北 东

P B

H A
(第 22 题图)

徐汇区
21. (本题满分 10 分) 如图所示,巨型广告牌 AB 背后有一看台 CD,台阶每层高 0.3 米,且 AC=17 米,现有一 只小狗睡在台阶的 FG 这层上晒太阳.设太阳光线与水平地面的夹角为 α,当 α=60° 时,测 得广告牌 AB 在地面上的影长 AE=10 米,过了一会儿,当 α=45° 时,问小狗在 FG 这层是否 还能晒到太阳?请说明理由( 3 取 1.73) .

B

a A
杨浦区
22. (本题满分 10 分)

F E
第 21 题

G D

C

如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱 BC 的高为 10 米,灯柱 BC 与灯杆 AB 的夹角 为 120°.路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域 DE 的长为 13.3 米,从 D、E 两处测得路 灯 A 的仰角分别为 α 和 45°,且 tanα=6. 求灯杆 AB 的长度.

A B

C D (第 22 题图)

E

参考答案

宝山区

长宁区
22. (本题满分 10 分) 解:过点 B 作 BE⊥CD 与点 E,由题意可知∠DBE= 45 ? ,

∠DAC= 60 ? ,CE=AB=16
设 AC=x,则 CD ? 3x ,BE=AC=x ∵ DE ? CD ? CE ? 3x ? 16 ∵ ?BED ? 90?, ?DBE ? 45? ∴BE=DE ∴x? ∴ x ? 3x ? 16

(2 分) (1 分) (1 分) (2 分) (1 分)

16 3 ?1

∴ x ? 8( 3 ? 1) ∴ CD ? 3x ? 24 ? 8 3 ? 37.9 答: 商务楼 CD 的高度为 37.9 米。

(1 分) (1 分) (1 分)

崇明区
22、解:由题意可得∠A ? 37? ,∠AEC ? 45? ,∠D ? 90? , DE ? 5km 过点 C 作 CH ? AD ,垂足为点 H 则∠AHC ? ∠EHC ? 90? ∴ tanA ?

CH 3 ? AH 4 CH ?1 EH

………………………………………………………1 分

tan∠HEC ?

………………………………………………………1 分

设 CH ? x 则 AH ?

4 x , EH ? x 3

…………………………………………2 分

∴ DH ? x ? 5 ………………………………………………………1 分 ∵ ∠AHC ? ∠D ? 90? ∵ C 点是 AB 边的中点 ∴ ∴ CH∥BD ∴ AC ? BC ∴

AH AC ? DH BC

…………2 分 …………1 分

∴ AH ? DH

4 x ? x?5 3

解得 x ? 15 ………………………………………………1 分

∴ AE ?

4 x ? x ? 20 ? 15 ? 35km ………………………………………1 分 3

奉贤区

虹口区

黄浦区
22. 解: (1)在△ABT 中,∠ATB=90°,BT∶AT=1∶2.4,AB=130,——————(1 分)

令 TB=h,则 AT=2.4h,————————————————————(1 分)
2 2 有 h ? ? 2.4h ? ? 130 , ———————————————————— (1 分) 2

解得 h=50 (舍负) .—————————————————————— (1 分) 答:坡 AB 的高 BT 为 50 米. —————————————————————(1 分) (2)作 DK⊥MN 于 K,作 DL⊥CH 于 L, 在△ADK 中, AD=

1 1 AB=65, KD= BT=25, 得 AK=60, —————— (1 分) 2 2

在△DCL 中,∠CDL=30°, 令 CL=x, 得 LD= 3x ,——————— (1 分) 易知四边形 DLHK 是矩形,则 LH=DK,LD=HK, 在△ACH 中,∠CAH=60°,CH=x+25,得 AH= 所以 3x ? 60 ?

x ? 25 ,—————(1 分) 3

x ? 25 , 解得 x ? 30 3 ? 12.5 ? 64.4 , ————— (1 分) 3 则 CH= 64.4 ? 25 ? 89.4 ? 89 .————————————————— (1 分)
答:建筑物高度为 89 米.

嘉定区
21. 如图 4,某湖心岛上有一亭子 A,在亭子 A 的正东方向上的湖边有一颗树 B,在这个湖心岛 的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45o 方向上。 测得树 B 在北偏东 36o 方向上, 又测得 B、C 之间距离等于 200 米,求 A、B 之间距离(结果精确到 1 米), ( 参 考 数 据 : ,

2 ? 1.414 , sin 36o ? 0.588 , cos36o ? 0.809 , tan36o ? 0.727
cot36o ? 1.376)
【评析】解:过 C 点做 AB 的垂线,交 AB 于 D

【解答】279 米

金山区

静安区
22.解: (1)过点 M 作 MC⊥AB,垂足是点 C, 在 Rt△AMC 和 Rt△BMC 中,∠MAB=60° ,∠MBA=45° ,

tan ?MAC ?

MC MC ? 3 , tan ?MBC ? ? 1 , ………………………………(2 分) AC BC

设 AC 是 x 米, 则 MC=BC=

3x 米

∵AB=600 米,AC+BC=600,即 x ? 3x ? 600, ……………………………………(1 分) 解得 x = 300 3 ? 300 ∴MC= 900? 300 3 (米) ……………………………………(2 分) 答:点 M 到 AB 的距离是( 900? 300 3 )米. (2)过点 N 作 ND⊥AB,垂足是点 D, ………………………………………(1 分)

∴∠NDC=∠MCD=90° ,∴MC∥ND,又∵AB∥MN,∴四边形 MDBE 是矩形. ∴MN=CD, ND=MC= CB= 900? 300 3 , 在 Rt△NBD 中,∠NBD=53° ,cot∠NBD= …………………………………………(1 分)

BD ? 0.75 ND
…………………………(1 分)

∴ BD ? 0.75ND ? 0.75? (900? 300 3) ? 285 .3 米

CD ? BC ? BD ? (900? 300 3) ? 285.3 ? 95.1 ? 95米,即 MN =95 米 …………(2 分)
答:MN 的长约为 95 米.

闵行区
22.解: (1)∵BE⊥AD,∴∠BEA=90°. ∵在 Rt△ AEB 中,∠A = 53?,AE = 2.3,cos∠A= ∴AB=
AE ,………………(1 分) AB

2.3 2.3 = ≈3.82(米)………………………………………(2 分) o cos53 0.602

答: 侧弹舱门 AB 的长约为 3.82 米. ……………………………………… (1 分) (2)∵AD//BC,BE⊥AD,CF⊥AD, ∴BE = CF,BC = EF.……………………………………………………(1 分)

∵BE⊥AD,CF⊥AD,BE = CF,AB = CD, ∴Rt△AEB≌Rt△DFC.∴AE = DF.……………………………………(1 分) ∵AE = 2.3,BC = 3.94,∴DE = 6.24.……………………………………(1 分) ∵在 Rt△ AEB 中,∠A = 53?,AE = 2.3,tan∠A=
BE , AE

∴BE =AE· tan∠A =2.3· tan53?…………………………………………… (1 分)
BE 2.3 ? 1.327 = ≈0.49. …………………………………… (1 分) 6.24 DE 答:舱顶 AD 与对角线 BD 的夹角的正切值约为 0.49.…………………(1 分)

∴tan∠EDB=

浦东新区
22.解: (1)延长 ED 交射线 BC 于点 H. 由题意得 DH⊥BC. 在 Rt△CDH 中,∠DHC=90°,tan∠DCH= i ? 1: 3 .……………(1 分) ∴ ∠DCH=30°. ∴ CD=2DH.……………………………(1 分) ∵ CD= 2 3 , F ∴ DH= 3 ,CH=3 .……………………(1 分) 答:点 D 的铅垂高度是 3 米.…………(1 分) B C
(第 22 题图)

A

37°

E D H

(2)过点 E 作 EF⊥AB 于 F. 由题意得,∠AEF 即为点 E 观察点 A 时的仰角,∴ ∠AEF=37°. ∵ EF⊥AB,AB⊥BC,ED⊥BC, ∴ ∠BFE=∠B=∠BHE=90°. ∴ 四边形 FBHE 为矩形. ∴ EF=BH=BC+CH=6. ……………………………………………(1 分) FB=EH=ED+DH=1.5+ 3 . ……………………………………(1 分)

在 Rt△AEF 中,∠AFE=90°, AF ? EF ? tan ?AEF ? 6 ? 0.75 ? 4.5 .(1 分) ∴ AB=AF+FB=6+ 3 ………………………………………………(1 分)

……………………………………………(1 分) 答:旗杆 AB 的高度约为 7.7 米. …………………………………(1 分)

? 6 ? 1.73 ? 7.7 .

普陀区 青浦区
22.解:过点 A 作 AE⊥CD,垂足为点 E.……………………………………………………(1 分) 由题意得,AE= BC=28,∠EAD=25°,∠EAC=43°.………………………………(1 分) 在 Rt△ADE 中,∵ tan ?EAD ?
DE AE

,∴ DE ? tan 25?? 28 ? 0.47 ? 28 ? 13.2 .………(3

分) 在 Rt△ACE 中,∵ tan ?EAC ? 分) ∴ DC ? DE ? CE ? 13.2 ? 26 ? 39 (米) .………………………………………………(2 分) 答:建筑物 CD 的高度约为 39 米.
CE ,∴ CE ? tan 43?? 28 ? 0.93? 28 ? 26 . ………(3 AE

松江区
22.解:由题意得∠PAB=75°-45°=30°…………………………1 分 ∠PBA=105°-60°=45°…………………………………………1 分 在△PHB 中,∵∠PHB=90°,∠PBH=45°,PH=50, ∴BH=50………………………………………………………………1 分 在△PHA 中,∵∠PHA=90°,∠PAH=30°,PH=50, ∴AH= 50 3 ? 85 ……………………………………………………2 分 ∴AB=135……………………………………………………………1 分 60 千米/时=1000 米/分=

50 米/秒……………………………………1 分 3

135 ?

50 ? 8.1 (秒)……………………………………………1 分 3

车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内,可认定为超速……………………1 分 答:车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内,可认定为超速。……………1 分

徐汇区
21.解:在 Rt△ ABE 中,∵ tan60°?

∴ AB=10?tan60°=10

AB AB ? . AE 10 ≈10×1.73=17.3 米. …………………………(3 分)

当 α=45°时,小狗仍可以晒到太阳.理由如下: …………………………(1 分) 假设没有台阶,当 α=45°时,从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 M,与直 线 FC 的交点为点 N ……………………………………………………(1 分)

AB (2 分) ? 1. 此时的影长 AH=AB=17.3 米…… AF ∴ CM=AM﹣AC=17.3﹣17=0.3 米,……………………………………(1 分)
∵ ∠ BFH=45°, ∴ tan45°?

CN (1 分) ? 1. ∴ CN=0.3 米…… CM ∴ CN=CF=0.3 米,广告牌的影子恰好落在台阶 FC 这侧面上.……(1 分) 所以小狗仍可以晒到太阳.
在 Rt△ CMN 中, ∵ tan∠ CMN= tan45°?

杨浦区
22. (本题满分 10 分) 解:由题意得∠ADE=α,∠E=45°.----------------------------------------------(2 分) 过点 A 作 AF⊥CE,交 CE 于点 F,过点 B 作 BG⊥AF,交 AF 于点 G,则 FG=BC=10. 设 AF=x. ∵∠E=45°,∴EF=AF=x. B A G

AF 在 Rt△ADF 中,∵tan∠ADF= ,-----------------(1 分) DF
∴DF=

AF x x ? ? . --------------------------(1 分) tan?ADF tan ? 6

∵DE=13.3,∴ x ? ∴x =11.4.

x C D F =13.3. ---------------------------(1 分) 6

E

---------------------------------------------(1 分)

∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------(1 分) ∵∠ABC=120°,∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG =120°﹣90°=30°.-------------------(1 分) ∴AB=2AG=2.8 ----------------------------------------------------------------------- (1 分)

答:灯杆 AB 的长度为 2.8 米.------------------------------------------------------------(1 分)


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