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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第24课 利用导数研究函数的单调性


第 24 课

利用导数研究函数的单调性

1.设 f ( x) 、 g ( x) 是 R 上的可导函数, f ?( x) 、 g ?( x) 分别为 f ( x) 、 g ( x) 的导函数,且

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有(



A. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) C. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a) 【答案】C 【解析】设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ?( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , ∴ F ( x) 在 R 上是减函数,得 F (a) ? F ( x) ? F (b) ,∴ f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) . 2.函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A. (?1,1) 【答案】B 【解析】令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 , ∴ g ( x) 在 R 上为增函数, ∵ g (?1) ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 4 ? 0 , ∴由 g ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 . 3.已知 f ( x) ? e ? ax ? 1 .?
x



B. (?1, ??)

C. (??, ?1)

D. (??, ??)

(1)求 f ( x) 的单调增区间;? (2)若 f ( x) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.? 【解析】 (1)∵ f ?( x) ? e ? a .?
x

(1)若 a ? 0 , f ?( x) ? e ? a ? 0 恒成立,即 f ( x) 在 R 上递增.?
x

若 a ? 0 , f ?( x) ? e ? a ? 0 ,∴ e ? a , x ? ln a .
x

x

∴ f ( x) 的单调递增区间为 (ln a, ??) .? (2)∵ f ( x) 在 R 上递增,∴ f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立.? ∴ e ? a ,即 a ? e 在 R 上恒成立.?
x
x

x ∴ a ? (e ) min ,又∵ e ? 0 ,∴ a ? 0 .?
x

综上:当 a ?[?2,3] 时,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增.

1

4.(2012 东城二模)已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? 2 x ? ae x . 2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若 f (x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)由 a ? 1 , f ( x) ? ?
x

1 2 3 x ? 2 x ? e x , f (1) ? ? e , 2 2

∴ f ?( x) ? ? x ? 2 ? e ,∴ f ?(1) ? 1 ? e , ∴所求切线方程为 y ? ( ? e) ? (1 ? e)( x ? 1) , 即 2(1 ? e) x ? 2 y ? 1 ? 0 .

3 2

1 (2)由已知 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? ae x ,得 f ?( x) ? ? x ? 2 ? ae x . 2
∵函数 f (x) 在 R 上是增函数, ∴ f ?( x) ? 0 恒成立,即不等式 ? x ? 2 ? ae x ? 0 恒成立.

?x ? 2 . ex ?x ? 2 x ?3 令 g ( x) ? , g ?( x) ? x . x e e
整理得 a ?

x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表:

x
g ?( x)

(?? , 3)
?

3

(3 , ? ?)
+

0
极小值

g ( x)

?3 由此得 a ? g (3) = ?e?3 ,即 a 的取值范围是 ?? , ? e ? . ?

?

2

5. (2012 石景山一模)已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(1)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为1 ,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x
2a 2 x 2 ? 2a , ? x x
……1 分

【解析】(1) f ?( x) ? 2 x ?

由已知 f ?(2) ? 1 ,解得 a ? ?3 . (2)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ②当 a ? 0 时 f ?( x) ?

……3 分

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x) f ( x)

(0, ?a )
-

?a

( ? a , ??)
+

0
极小值

由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , ??) . (3)由 g ( x) ?

2 2 2a , ? x 2 ? 2a ln x ,得 g ?( x) ? ? 2 ? 2 x ? x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g ?( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,即 ? 即a ?

2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x

1 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立. x 1 2 1 1 令 h( x) ? ? x , x ? [1, 2] ,∴ h?( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 ∴ h( x ) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2 7 ∴a ? ? . 2
3

6. (2012 东莞一模)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) . x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2 2 x

【解析】 (1)当 a ?- 时, f ( x) ? ln x ? x ? - x ? (0, ??) , 1, 1

1 2 ? 1- 2 ,f (2) ? ln 2 ? 2 , f ?(2) ? 1 , x x ∴所求的切线方程为 y ? x-ln 2 . 1? a (2)∵ f ( x) ? ln x ? ax ? ? 1, x
∴ f ?( x) ? ∴ f ?( x) ?

ax 2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 ?a? 2 ? ? x x x2
2

x ? (0,??) ,

令 g ( x) ? ax ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), 当 a ? 0 时, g ( x) ? -x ? 1, x ? (0, ??) ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,

x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
当 a ? 0 时,由 f ?( x)=0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ①若 a ?

1 ?1 , a

1 ,函数 f ( x) 在 (0,+?) 上单调递减, 2 1 1 1 ②若 0 ? a ? ,在 (0,1), ( - , ?) 单调递减,在 (1, - 上单调递增. 1? 1) 2 a a 1 ③ 当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 , a
x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;
x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 ,此时函数 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增.
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,

1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (0,1), ( - , ?) 上单调递减; 1? 2 a 1 函数 f ( x) 在 (1, - 上单调递增. 1) a
当a ?
4


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