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2014届高考数学一轮复习讲义:第二章 2.1 平面向量的概念及线性运算


一轮复习讲义

平面向量的概念及线性运算

要点梳理
1.向量的有关概念 名称 向量

忆一忆知识要点

定义 既有 大小 又有方向的量; 向 量的大小叫做向量的长度 (或称为模) 长度为 0 的向量; 其方向 是任意的

备注 平面向量是自由向量

零向量

记作 0

单位向量

非零向量 a 的单位向量 长度等于1个单位 的向量 a 为± |a|

要点梳理
平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

忆一忆知识要点

方向 相同 或 相反 的非 零向量 0 与任一向量 平行 或 共线 两向量只有相等或不 等,不能比较大小 0 的相反向量为 0

方向相同或相反的非零
向量又叫做共线向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向相反 的向量

忆一忆知识要点

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律

(1)交换律: 加法 求两个向量 和的运算
平行四边形 三角形

a+b=b+a (2)结合律: (a+b)+c=
a+(b+c) .

要点梳理
求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差

忆一忆知识要点

a-b=a+(-b)

三角形 法则
(1)|λa|= |λ||a| ;

(2)当 λ>0 时, 的方向 λ(μa)= λμa ; λa 求实数 λ 与向 与 a 的方向 相同 ;当 (λ+μ)a= λa+ 数乘 量 a 的积的运 μa ; λ<0 时,λa 的方向与 a 算 的方向 相反 ;当 λ=0 λ(a+b)=λa+λb 时,λa= 0

要点梳理
3.共线向量定理

忆一忆知识要点

b=λa

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在惟一一个实数 λ, 使得 .

[难点正本

疑点清源]

1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素. 用有向线段表示向量时, 与 有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表 示同一向量. 或者说长度相等、 方向相同的向量是相等的. 向 量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较 大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况, 而直线平行不包括共 线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必 须说明这两条直线不重合.

平面向量的概念辨析
例 1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 → → AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b, b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确的序号是________.
①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一 定相同.
→ → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边 → → → 形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|= → → → |AB|,因此,AB=DC.

③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分 条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.
答案 ②③

探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系是: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

变式训练 1
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且 a 与 b 方向相同,则 a=b; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反; → → (6)若向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一 条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等.



(1)不正确,因为向量只讨论相等和不等,而不能比较大小.

(2)不正确,因为向量模相等与向量的方向无关.
(3)正确. (4)不正确,因为规定零向量与任意向量平行. (5)不正确,因为两者中若有零向量,零向量的方向是任意的. → → (6)不正确,因为AB 与CD 共线,而 AB 与 CD 可以不共线即

AB∥CD.(7)正确. (8)不正确,因为零向量可以与它的相反向量相等.

向量的线性运算
例2 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 → → BE 上一点,且 GB=2GE,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示 → → AD,AG.

结合图形性质, 准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键. → =1(AB+AC)=1a+1b; → → 解 AD 2 2 2 → =AB+BG=AB+2BE=AB+1(BA+BC) → → → → AG → → → 3 3 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 = AB+ (AC-AB)= AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3 3 3

探究提高
(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系, 能 熟练地找出图形中的相等向量, 并能熟练运用相反向量将加减法 相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧: ①观察各向量 的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④ 化简结果.

变式训练 2
在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G → → → 点,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AG.
→ → → → → AG=AB+BG=AB+λBE → λ → → =AB+ (BA+BC) 2 ? λ? → λ → → =?1-2?AB+ (AC-AB) 2 ? ? → +λ AC=(1-λ)a+λb. → =(1-λ) AB 2 2 解

→ =AC+CG=AC+mCF=AC+m(CA+CB) → → → → 又AG → → → 2 → +mAB=ma+(1-m)b, → =(1-m) AC 2 2 m ? ?1-λ= 2 2 → =1a+1b. ∴? ,解得 λ=m= ,∴AG 3 3 3 λ ?1-m= 2 ?

平面向量的共线问题
例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、 D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

解决点共线或向量共线问题,要结合向量共线定理进行. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)
→ =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B,

∴A、B、D 三点共线.

(2)解

∵ka+b 与 a+kb 共线,

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.

∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1.

探究提高
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出 三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b= 0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a、 b 不共线.

变式训练 2
如图所示,△ABC 中,在 AC 上取一点 N, 1 使得 AN= AC,在 AB 上取一点 M,使得 3 1 AM= AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 3 1 → → → NP= BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使得MQ=λCM时,AP= 2 → QA,试确定 λ 的值. 1 → → 1→ → → → 1 → → 解 ∵AP=NP-NA= (BN-CN)= (BN+NC)= BC, 2 2 2 → → → 1→ → QA=MA-MQ= BM+λMC, 2 1→ → → → 1→ 又∵AP=QA,∴ BM+λMC= BC, 2 2 1 → 1→ 即 λMC= MC,∴λ= . 2 2

思想与方法
用方程思想解决平面向量的线性运算问题
→ 1→ (14 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA, 4 → 1→ → OD= OB,AD 与 BC 相交于点 M,设OA=a, 2 → → OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.

审题视角
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领, 要 尽可能地转化到平行四边形或三角形中去. → → (2)既然OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM=ma+nb. (3)利用共线定理建立方程,用方程的思想求解.

规范解答 → 解 设OM=ma+nb, → → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 → → → 1→ → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, ? 1 ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ?
→ → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, ? 1 ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2

[3 分]

[5 分]

?m-1=-t ? ∴? ,消去 t 得,m-1=-2n, t n= ? 2 ? 即 m+2n=1. ① [7 分] 1? 1 ? → → → 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=?m-4?a+nb, 4 ? ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b. 4 4 → → 又∵C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. [10 分] → → ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB, ? ? 1 ? 1? ∴?m-4?a+nb=t1?-4a+b? ? ? ? ? 1 1 ? ?m- =- t1 4 4 ∴? ,消去 t1 得,4m+n=1. ② [12 分] ?n=t1 ? 1 3 → 1 3 由①②得 m= ,n= ,∴OM= a+ b. [14 分] 7 7 7 7

批阅笔记

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复 杂,有一定的难度.(2)学生的易错点是,找不到问题的切入口, 亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、 减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在 解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析判断求解, 这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视 A、 M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决 本题的关键,要注意体会.

方法与技巧
1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的 技能,也是向量坐标形式的基础. → → 2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题. 如AB∥CD → → 且 AB 与 CD 不共线,则 AB∥CD;若AB∥BC,则 A、B、 C 三点共线.

失误与防范
1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大 小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也 满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向 量的相反向量,导致错误.

知识网络

平 面 向 量

向量的应用

考点一

三角形的重心的向量形式

例1. 在△ABC中,中线?AD, BE, CF交于O, ???? ??? ??? ? ? 求证:(1) AD ? BE ? CF ? 0.
??? ? ??? ???? ? 证明: AD ? 1 ( AB ? AC ), ? 2

A
F D E C

? AD ? BE ? CF

??? ? ??? ??? ? ? BE ? 1 ( BA ? BC ), 2 ??? ? ??? ??? ? ? CF ? 1 (CA ? CB), B ??? ??? 2 ? ? ? ???

? AD ? BE ? CF ? 0.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? 1 ( AB ? AC ) ? 1 ( BA ? BC ) ? 1 (CA ? CB) ? 0. 2 ??? 2??? ??? ? ? ? ? 2

考点二

三点共线问题

例1.

??? ? nOB.

P B O A

考点二

三点共线问题

例1.
P

??? ? nOB.
B O A

uur u uur u 故 mOA ? nOB
?m ? ? , ?? ?n ? 1 ? ? ,

考点二

三点共线问题
P B

?三点共线的判定

??? ? ??? ? ?A, P, B三点共线 ? AP ? ? AB ??? ??? ??? O ? ? ? ? OP ? OA ? ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? ? OA ? ? OB (? ? ? ? 1)
?向量的中点公式 当? ? ? ? 1 时,

A

2 ??? ? ??? ???? ? ? OP= 1 (OA OB ). + 2
O

B

P
A

【1】如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的 ??? ? ???? ? 直线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M,N ,若 AB ? mAM , ???? ???? AC ? nAN ,则 m ? n 的值为

2



(07江西)

???? 1 ??? ???? ? AO ? ( AB ? AC ) 2 ???? ? ???? m AM ? n AN . ? 2 2

A N B O C

m ? n ? 1. ? 2 2

M

1 则mn的最大值为_____. 16

??? ? ??? ? ??? ? 【2】已知△AOB,点P在线段AB上,若 OP ? mOA ? 4nOB,

1 ? m ? 4n≥ 2 m ? 4n ? 4 mn
? mn ≤ 1 4 1. ? mn ≤ 16
P B O A


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