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2019-2020学年北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》2.1《直线与直线的方程(2)》教案

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料
第二课时 一、教学目标 (一)知识教学: 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件, 会运用条件判定两直线是否平行 或垂直. (二)能力训练 :通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题 的能力, 以及数形结合能力. (三)学科渗透:通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合 作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣. 二、重难点 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求 学生能熟练掌握,并灵活运用. 难点: 启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问 题. 注意: 对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好 这个问题. 三、教学方法:启发、引导、讨论. 四、 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能 否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜 率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾 斜角都为 90°, 它们互相平行; (2)当另一条直线的斜率为 0 时, 一条直线的倾斜角为 90°, 另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的 方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角 或斜率决定的. 所以我们下面要研究 的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相 两条直线的平行与垂直

等:α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2.即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°,∴α 1=α 2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么 它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 ........ 并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形.如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 ........ 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). (三) 、例题:例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的
w

位置关系, 并证明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ.

例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四 边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四 边形,再通过计算加以验证) 例3 解同上.

已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.

解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = - 1 所以 AB⊥PQ.

例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形 , 其中 AB⊥BC, 再通过 计算加以验证.(图略) (四) 、课堂练习:P94 练习 1. 2.

(五) 、课后小结:(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线 平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. (六) 、布置作业:P94 五、教后反思: 习题 3.1 5. 8.