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重庆市重庆一中2015届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)


2014 年重庆一中高 2015 级高三上期半期考试 数 学 试 题 卷(理科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)。 1.已知集合 A ? x x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 , B ? x 2 x ? 2 ,则 A ? B ? ( A. x x ? 6 2014.11

?

?

?

?



?

?

B. ? x 1 ? x ? 2?

C. x ? 6 ? x ? 2

?

?

D. x x ? 2

?

?

2.已知 sin x ? cos x ? A.

3 2 ,则 sin 2 x ? ( 5

) D. ? ) D. a ? 2b
2

18 7 7 B. C. ? 25 25 25 3.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 (
A.

16 25

a ? b2

B.

1 1 ? a b

C.

1 1 ? a b


【题文】4.下列命题的说法错误 的是 ( ..

A.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题. B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

D.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” 【题文】5.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, 若 a4 ? a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10, 则该数列的前 n 项和 S n 的 最大值为 ( A. 50 C ) B. 40 C. 45 D. 35

【题文】 6. (原创) 在△ABC 中, 已知 | AB |? 4,| AC |? 1 ,S ?ABC ? A. ?2 B. 2 C. ?4 【知识点】三角形面积公式;向量的数量积. F3 D. ?2

3 ,则 AB ? AC 的值为( D



【题文】7.函数 y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增,且函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则下列结论成立的是 ( ) B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( ) B3 B4

A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1) 【知识点】函数的单调性与奇偶性.

【答案】【解析】B 解析:因为函数 f ( x ? 2) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 关于直线 x=2 对称,

所以 f ? ? ? f ? ? , f ? ? ? f ? ? ,又因为函数 y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增, 所以 f ? ? ? f ?1? ? f ? ? ,所以( )<f(1)<f( ),故选 D. 【思路点拨】由 f ( x ? 2) 是偶函数得函数的对称性,根据对称性,把被比较大小的函数值, 变换到自变量值在函数 f(x)的同一单调区间上即可. 【题文】8.(原创)若点 P 是函数 f ( x) ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最
2

?5? ?2?

?3? ?2?

?7? ?2?

?1? ?2?

?1? ?2?

?3? ?2?

小距离为 A. 2

(

) B.

2 2
B11

C.

1 2

D.3

【知识点】导数的几何意义.

【答案】 【解析】A 解析:由 f ?(x) ? 2 x ?

1 ?1 ? x ? 1 (负值舍去),得曲线 f ( x) ? x 2 ? ln x 上 x

切线斜率为 1 的点是(1,1),所以点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距离为 故选 A.

1 ?1 ? 2 2

? 2,

【思路点拨】只需求曲线 f ( x) ? x ? ln x 的切线斜率为 1 的切点坐标,此点到直线线
2

x ? y ? 2 ? 0 的距离为所求.

? x?0 ? y?0 ? 【题文】9、(原创)在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值 ? x? y? s ? ?2 x ? y ? 4
的变化范围是 ( ) A.[6,15] B.[7,15] 【知识点】线性规划问题. E5 C.[6,8] D.[7,8]

【答案】【解析】D 解析:画出可行域如图四边形 OABC 内部(包括边界),易得点 B 是最优解,而

3 ? s ? 5 时,当 B 在线段 BD 上移动,又 B(1,2),D(0,4),代入 z ? 3x ? 2 y 得
目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是[7,8],故选 D.

【思路点拨】画出可行域,找出使目标函数 z ? 3 x ? 2 y 取得最大值的最优解的点的集合. 【题文】 10. (原创) 已知 O 为坐标原点,OP ? ? x, y ? ,OA ? ? a, 0 ? , OB ? ? 0, a ? ,OC ? ? 3, 4 ? , 记 PA 、 PB 、 PC 中的最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范围是 ( A. ? 7, ?? ? )

?

B. ?7 ? 2 6, ?? ?

?

C. ?7 ? 2 6, ?? ? F2

?

D. ?7, 7 ? 2 6 ?

?

【知识点】向量模的坐标运算;向量模的最值.

【答案】【解析】C 解析:因为 OP ? ? x, y ? , OA ? ? a, 0 ? , OB ? ? 0, a ? , OC ? ? 3, 4 ? 所以,(1)当 a=0 时,M≥

5 , 2

(2)当 a=7(A、B、C 三点共线)时,则点 P 落在 AB 中点时,M 取得最小值, M ? (3)当 a≠0 且 a≠7 时,P 落在△ABC 的外心 Q 时,M 有最小值 ∵ Q 所在的直线与 AB 垂直,故 Q 在直线 y=x 上,若 PA ? PB ,则 y≥x;
2 2
2 2 2 当 y≥x 时 M ? max PA , PC

7 2 , 2

?

?
2

∵到点 C 距离等于到 x 轴的距离的点的轨迹是抛物线: ? x ? 3? ? 8( y ? 2) ,交直线 y=x 于 P (7 ? 2 6,7 ? 2 6) ,∴ M min ? 7 ? 2 6 ,∴当 a=2 时,M 取得最小值 7 ? 2 6 , 综上得:M 的取值范围是 ?7 ? 2 6, ?? ,故选 C. ? 【思路点拨】(1)当 a=0(A、B、O 三点重合)时,P 是 OC 中点时,M 最小;(2)当 a=7(A、B、C 三点共线)时,则点 P 落在 AB 中点时,M 取得最小值;(3)当 a≠0 且 a≠7 时,P 落在△ABC 的外

?

心 Q 时,M 有最小值.三种情况下 M 均无最大值,故分类讨论出 M 的最小值,即可得到答案. 【题文】二.填空题:(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 【题文】11.在等比数列 ?an ? 中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项 公式 an ? _____. 【题文】12 已知 a ? (2,1), b ? (3, x) 若 (2a ? b) ? b ,则 x ? ___________ 【题文】 13. (原创) 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy , 且不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0
2

恒成立,则实数 a 的取值范围是 【知识点】基本不等式;不等式的解法. E3 E6 【答案】【解析】 ? ??, ?3?

?5 ? , ?? ? ? ?2 ?
2

解析:∵正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,

即 x+2y=4xy-4,∴不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立, 即 (4xy ? 4)a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒 成 立 , 变 形 得 2 xy(2a2 ? 1) ? 4a2 ? 2a ? 34 恒 成 立 , 即

2a 2 ? a ? 1 7 xy ? 恒成立. 2a 2 ? 1
∵x>0,y>0,∴ x ? 2 y ? 2 2xy ,∴4xy=x+2y+4 ? 4 ? 2 2 xy

即2

?

xy

?

2

? 2 xy ? 2 ? 0 ? xy ? 2 或 xy ? ?

2 (舍去),可得 xy ? 2 , 2

要使 xy ?

2a 2 ? a ? 17 2a 2 ? a ? 17 2 ? 恒成立,只需 恒成立, 2a 2 ? 1 2a 2 ? 1
2

化简得 2a ? a ? 15 ? 0 ? a ? ?3或a ?

5 . 2

【题文】(14)(15)(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按 前两题给分 【题文】14.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, PA ? 3, PB ? 1 ,则 。 ?PAB = 【知识点】切割线定理;直角三角形的性质. N1 【答案】【解析】 30 解析:设圆 O 的半径为 R,则由切割线定理得

PA2 ? PB ? PC ? ( 3)2 ? 1? ?1 ? 2R ? ? R ? 1,则 OP=2,连接 OA ,因为△OAP 是直角三角形,
AP 是斜边中线,所以 AB=BO=OA=1,所以∠OAB=60°,所以 ?PAB = 30 .

【思路点拨】由切割线定理求得圆的半径,再由直角三角形的性质求出∠PAB. 【题文】15.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已 知点 M 的极坐标为 ? 4 2 ,

? ?

??

? x ? 1 ? 2 cos ? ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),则点 M 到曲线 ? 4? y ? 2 sin ? ? ?

C 上的点的距离的最小值为

。 【知识点】极坐标与直角坐标互化;参数方程与普通方程互化;两点间距离公式. N3 【答案】【解析】 5 ? 2 解析:点 M 的直角坐标为(4,4),曲线 C 的普通方程为:

( x ?1)2 ? y 2 ? 2 ,曲线 C 是圆.M 到圆心(1,0)的距离为
点的距离的最小值为 5 ? 2 .

? 4 ? 1?

2

? 42 ? 5 ,所以点 M 到曲线 C 上的

【思路点拨】把点 M 的极坐标化为直角坐标,曲线 C 的参数方程化为普通方程,知曲线 C 是圆.根据 M 到圆上点的距离的最小值是:M 到圆心距离减去半径得结果. 【题文】16.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则实数 a 的取值范围是___. .. 【知识点】不等式有解得条件. 【答案】【解析】 a ? ?3 N4

解析:设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,则函数 f(x)的值域为[-3,3],

因为不等式 a≥f(x)存在实数解,所以 a≥-3. 【思路点拨】关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则 a 大于或等于|x+1|-|x-2|的最小 .. 值. 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程 【题文】17.(本题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 S n 是正数 时,求 n 的最大值 ...

【答案】【解析】(1)-4;(2)12. 解析:(1) ? ∵d 为整数,? d ? ?4

?a6 ? 23 ? 5d ? 0 23 23 ?? ?d ?? 5 6 ?a7 ? 23 ? 6d ? 0

(2) S n ? 23n ?

n(n ? 1) ? (?4) ? ?2n 2 ? 25n ? 0 ? 0 ? n ? 12.5 ? n 的最大值为 12. 2

【题文】18. (本题满分 13 分) 如图为 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像的一段.( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) (1)求其解析式; π (2)若将 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像向左平移 个单位长度后得 y ? f ( x) ,求 f ( x) 的对称轴方程. 6

【知识点】 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. C4 2π ? kπ 5 ? 【答案】【解析】(1)y= 3sin?2x- ?;(2)x= π + (k∈Z). 12 2 3 ? ? 解析:(1) 由已知图像得 A= 3 , T ? 2 ? 由 2?

? 5? ? ? ? ? ?? ?? ? 2 , ? 6 3?

2? 2? , k ? Z ,且 ? ? ? 得 ? ? ? , 3 3 3 2π ? ? 所以,所求解析式为 y= 3sin?2x- ?. 3 ? ? π? ? ? π ? 2π ? ? (2)f(x)= 3sin?2?x+ ?- ?= 3sin?2x- ?, 6? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? 2 k? ?
π π 5 kπ 令 2x- = +kπ (k∈Z),则 x= π + (k∈Z), 3 2 12 2 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π + (k∈Z). 12 2

?

【题文】19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2.
2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围 【知识点】导数的应用. B12 【答案】【解析】(Ⅰ) a=2,b=1;(Ⅱ) 1 ? m ≤
1 ?2 e2

1 e

解析:解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴

a a ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2 ? ? a ln 2 ? 4b . x 2

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 .解得 a=2,b=1 2

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x 2 ,设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x 2 ? m , 则 h? ? x ? ?
2 2(1 ? x 2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去). ? 2x ? x x

1 当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是减函数. e 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 e

? 1 ? h( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h(1) ? 0, 解得 1 ? m ≤ 2 ? 2 e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?
【思路点拨】(Ⅰ) 由 f ?(2) ? ?3 和 P (2, f (2)) 在直线 y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2 上,得关于 a、b 的方 程组,解此方程组得 a、b 值;(Ⅱ) 设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x 2 ? m , 利用导数确定函数 h(x)在

区间 [ , e] 上的单调性,找到极值点,从而得关于 m 的不等式组,求得 m 范围. 【题文】20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? m, (m ? R ) ,在区间 [0, (1)求实数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,三内角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,且 f ( B ) ? 1, a ? c ? 2 ,求 b 的取值范 围. 【知识点】三角函数单元综合.

1 e

?
4

] 内最大值为 2 ,

3 4

C9

【答案】【解析】(1)-1;(2) 1 ? b ? 2 ,(当 ?ABC 为正三角形时, b ? 1 ) 解析:(1) f ( x) ? 2 cos x sin x ? 2 cos x ? m ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m
2

) ? m ? 1 ,当 x ? [0, ] 时, 2 sin( 2 x ? ) 最大值为 2 ,所以 m ? ?1 4 4 4 3 3 ? 3 ? 3? (2) f ( B ) ? 1 ? 2 sin( B ? ) ? 1 ? B ? ? , (? 0 ? B ? ? ) 4 2 4 2 4 4 ? 2 sin( 2 x ?
解得 B ?

?

?

?

?
3

由正弦定理得: b ?

a?c 3 ? sin B ? ? sin A ? sin C 2

2 sin A ? sin( 2? ? A) 3

sin A ? sin(

2? 3 1 3 1 ? ? A) ? sin A ? cos A ? sin A ? 3 ( sin A ? cos A) ? 3 sin( A ? ) 所 3 2 2 2 2 6

以,

? 3 2? ? sin A ? sin( ? A) ? 3 ,(当 A ? 时取最大值 3 ) 3 2 3

所以, 1 ? b ? 2 ,(当 ?ABC 为正三角形时, b ? 1 ) 【思路点拨】(1)利用二倍角公式,两角和与差的三角函数公式,把已知函数化为: F(x)= ?

2 sin( 2 x ?

?

(2)由(1)得 B ?

?

) ? m ? 1 ,进而求得 f(x)在区间 [0, ] 内最大值 2 +m+1= 2 ,所以 m=-1; 4 4
,再由正弦定理及等比定理得

?

3

b?

a?c 3 ? sin B ? ? sin A ? sin C 2

2 sin A ? sin(

2? ? ? A) sin( A ? ) 6 3

=

1

,因为 A ? ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

可得 1 ? b ? 2 . 【题文】21. (原创)(本小题满分 12 分) 已知点 H (?3, 0), 点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,点 M 在 PQ 上,且满足

3 HP ? PM ? 0 , PM ? ? MQ . 2 (1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程 C;
(2)给定圆 N: x ? y ? 2 x ,过圆心 N 作直线 l ,此直线与圆 N 和(1)中的轨迹 C 共有四个交点,
2 2

自上而下顺次记为 A,B,C,D,如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方 程。 【知识点】轨迹方程求法;直线与圆锥曲线;直线方程. H9 H8 H1 【答案】【解析】(1) y ? 4 x( x ? 0) ;(2) 2 x ? y ? 2 ? 0或 2 x ? y ? 2 ? 0
2

3 HP ? PM ? 0, PM ? ? MQ , 2 3 1 1 ? ( x, y ? y?) ? ? ( x? ? x, ? y ) , (3, y?) ? ( x, y ? y?) ? 0 , ? x ? ? x, ( x ? 0), y ? ? ? y 带 入 2 3 2
解析:(1)设 M ( x, y ), P (0, y ?), Q( x?, 0),

3 x ? yy? ? y?2 ? 0, 得 y 2 ? 4 x( x ? 0) 。
2 2 (2)圆 N: ( x ? 1) ? y ? 1 ,直径 BC ? 2 ,圆心 N (1, 0) ,

设 l 的方程为 x ? my ? 1 带入 y ? 4 x( x ? 0) 得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,
2 2

设 A( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4, AD ? 4(m ? 1) ,因为线段 AB, BC , CD 成一个
2

等差数列,? 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,? AD ? 3 BC ? 6, m ? ? 为 2 x ? y ? 2 ? 0或 2 x ? y ? 2 ? 0 【思路点拨】 (1)设出 M、P、Q 的坐标代入 HP ? PM ? 0 , PM ? ?

2 ,所以直线 l 的方程 2

3 MQ ,求得点 M 的轨迹方程 C; 2

(2)设出直线 l 的方程 x ? my ? 1 ,代入 M 的轨迹方程 C,由弦长公式得:

AD ? 4(m2 ?1) ,再由线段 AB, BC , CD 成一个等差数列得, AD ? 3 BC ? 6 ,解得
m?? 2 ,从而得直线 l 的方程. 2

【题文】22. (原创)(本小题满分 12 分)
2 an (an ? 3) a ?1 , a1 ? 2, bn ? n 已知数列 ?an ? 满足: an ?1 ? 2 3an ? 1 an ? 1

(1)求 ?bn ? 的通项公式;

(2)求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? D1

241 . 648
E7

【知识点】已知递推公式求通项;放缩法证明不等式. 【答案】【解析】(1) ( ) 解析:(1) an ?1

1 3

3n?1

;(2)证明:见解析.
3

? a ? 1? ?1 ? n

2 3an ?1

, an ?1

? a ? 1? ?1 ? n

a ? 1 ? an ? 1? 3 ,? n ?1 , ? , 即 bn ?1 ? bn 2 an ?1 ? 1 ? an ? 1?3 3an ? 1
3
3

1 1 a1 ? 2 ,则 b1 ? , bn ? 0,? ln bn ?1 ? 3ln bn ,??ln bn ? 为等比,首项 ln b1 = ln , 公比为3 , 3 3 1 1 n?1 ? ln bn ? 3n ?1 ln ,? bn ? ( )3 3 3
( 2 ) 当
1 1 2 2 n? 1 n? 1 n ? 3 时 , 3n ?1 ? (1 ? 2)n ?1 ? Cn0?1 ? Cn ? 2n , ?1 2 ? Cn ?1 2 ? ... ? ?Cn ?1 2

1 ?1? ? bn ? ( ) 2 n ? ? ? (n ? 3) 3 ?9? ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn ? 1 1 ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 3 27 ? 9 ? ? 9 ? ?9?
3 4 n

n



=

1 1 ? 3 27

+

1 1 ( )3 ? ( ) n ?1 9 9 ? 1 1? 9

1 ( )3 1 1 241 ? ? ? 9 ? ,当 n ? 2 时,显然成立。 3 27 1 ? 1 648 9

3 【思路点拨】(1)首先寻找数列 ?bn ? 相邻两项的关系,得 bn ?1 ? bn ,两边取自然对数,得数列 ?ln bn ?

是等比数列,从而求得 bn ? ( )

1 3

3n?1

;(2)采用放缩法证明不等式,当 n ? 3 时,由二项式定理得:

0 1 1 2 2 n ?1 n ?1 3n ?1 ? (1 ? 2) n ?1 ? Cn ? 2n , ?1 ? Cn ?1 2 ? Cn ?1 2 ? ... ? ? Cn ?1 2

1 ?1? ? bn ? ( ) 2 n ? ? ? (n ? 3) ,代入 b1 ? b2 ? ... ? bn 得 n ? 3 时不等式成立,再检验 n ? 2 时不等式也 3 ?9?
成立即可. 【典例剖析】本题第一小题,已知递推公式求通项,是典型的考题.这种题的常用解法是:构造新数
3 列,但寻找新数列相邻两项的关系较困难.本考题得到 bn ?1 ? bn 后,采用两边取对数法,构造出一个

n

新的等比数列 ?ln bn ? ,从而求得数列 ?bn ? 的通项公式.


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