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2016课堂新坐标高考数学理科人教A版专题突破练3


专题突破练(三)
[A 级 一、选择题 1. (2015· 贵阳模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 若 a3=3, S9-S6=27, 则该数列的首项 a1 等于( 6 A.-5 6 C.5 [解析] ) 3 B.-5 3 D.5 ?a1+2d=3, 由? ?9a1+36d-?6a1+15d?=27, 基础达标练]

?a1+2d=3, 得? ?a1+7d=9, 3 解得 a1=5. [答案] D

2.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前 20 项的和等于( A.290 C.580 [解析] =29, 20?a1+a20? 所以 S20= =10(a2+a19)=300. 2 [答案] B ) B.300 D.600 由 a1+a2+a3=3a2=3 得 a2=1,由 a18+a19+a20=3a19=87,得 a19

?1? 3.已知 an=?3?n,把数列{an}的各项排列成如图 31 的三角形状, ? ? a1 a2 a5 a6 a3 a7 a4 a8 a9

………………………… 图 31 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)=( ?1? A.?3?93 ? ? ?1? C.?3?94 ? ? [解析] ?1? B.?3?92 ? ? ?1? D.?3?112 ? ? 前 9 行共有 1+3+5+…+17= ?1+17?×9 =81 项,所以 A(10,12) 2 )

?1? 为数列中的第 81+12=93 项,所以 a93=?3?93. ? ? [答案] A

4.已知等差数列{an}的公差 d=-2,a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+ a6+a9+…+a99 的值是( A.-78 C.-148 [解析] ∵a3+a6+a9+…+a99 ) B.-82 D.-182

=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =a1+a4+a7+…+a97+2d×33 =50+66×(-2) =-82. [答案] B

5.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 2an-a1=S1· Sn(a1≠0,n∈N*), 则 a7 等于( A.16 C.64 [解析] ) B.32 D.128 令 n=1,则 a1=1,当 n=2 时,2a2-1=S2=1+a2,

解得 a2=2,当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,① 得 2an-1-1=Sn-1,② ①②两式相减,解得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1, 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,

因此 an=2n-1.故 a7=26=64. [答案] C 二、填空题 6. 设{lg an}成等差数列, 公差 d=lg 3, 且{lg an}的前三项和为 6lg 3, 则{an} 的通项公式为________. [解析] 由题意知 lg a1+lg a2+lg a3=3lg a2=6lg 3,

∴lg a2=2lg 3, 又公差 d=lg 3, ∴lg a1=lg 3, ∴lg an=lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3=lg 3n, ∴an=3n. [答案] an=3n

2 1 7.(2013· 课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+3,则{an}的通项公 式是 an=________. [解析] ∴a1=1. 1? 2 2 1 ?2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3an+3-?3an-1+3?=3(an-an-1), ? ? an ∴an=-2an-1,即 =-2, an-1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列,其公比为-2, ∴an=1×(-2)n-1,即 an=(-2)n-1. [答案] (-2)n-1 2 1 当 n=1 时,S1=3a1+3,

8.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________. [解析] 当 n=1 时,a1=S1=-1.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5. ?-1 ∴an=? ?2n-5 ?n=1?, ?n≥2?.

5 令 2n-5≤0,得 n≤2,

∴当 n≤2 时,an<0,当 n≥3 时,an>0, ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=66. [答案] 66

三、解答题 9.(2015· 东北三省四市模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n+1,数列{bn}满 1 足 bn= +n, ?n+1?log2an (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)当 n=1 时,a1=S1=4.

由 Sn=2n+1 得 Sn-1=2n(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=2n 1-2n=2n(n≥2),


?4,n=1, ∴an=? n ?2 ,n≥2. 1 5 (2)当 n=1 时,b1=2log 4+1=4, 2 5 ∴T1= . 4 当 n≥2 时, 1 1 bn= +n n+n= ?n+1?log22 n?n+1? 1 1 =n- +n, n+1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=4+2-3+3-4+4-5+…+n- +(2+3+4+…+n) n+1 1 1 1 = + - +(1+2+3+4+…+n) 4 2 n+1 n?n+1? 3 1 =4- + 2 , n+1 上式对于 n=1 也成立, n?n+1? 3 1 ∴Tn=4- + 2 . n+1 10.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,

a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog2an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n· 2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值. [解] (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,

依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8, ∴a2+a4=20,
3 ?a1q+a1q =20, ? ∴ 2 ?a3=a1q =8,

1 ? ?q= , ?q=2, 解之得? 或? 2 ?a1=2 ? ?a1=32, 又{an}单调递增, ∴q=2,a1=2,∴an=2n. 1 (2)bn=2n· log 2n=-n· 2n, 2 ∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,① ∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n· 2n+1,② ∴①-②得 Sn=2+2 +2 +…+2 -n· 2
1 2 3 n n+1

2?1-2n? = -n· 2n+1=2n+1-n· 2n+ 1-2

-2, ∴Sn+n· 2n+1>50,即 2n+1-2>50, ∴2n+1>52, 又当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52, 当 n≥5 时,2n+1≥26=64>52. 故使 Sn+n· 2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5. [B 级 能力提升练]

S1 S2 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则a ,a ,…,
1 2

S15 a15中最大的项为( S6 A.a 6 S9 C.a
9

) S7 B.a
7

S8 D.a 8 15?a1+a15? 15?a1+a16? 15?a9+a8? 由 S15= = 15 a 得 a = 8>0, 8>0.由 S16= 2 2 2

[解析]

<0, 得 a9+a8<0, 所以 a9<0, 所以 d<0.所以数列{an}为递减的数列. 所以 a1,…, a8 为正,a9,…,an 为负,且 S15>S14>…>S1>0.又 a1>a2>…>a8>0>a9>a10>…>a15, S8 所以最大的项为a ,故选 D. 8 [答案] D

2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n-an,则数列{an}的通项公式 an=________. [解析]
+1

由于 Sn=2n-an,所以 Sn+1=2(n+1)-an+1,后式减去前式,得 Sn

1 1 -Sn=2-an+1+an,即 an+1=2an+1,变形为 an+1-2=2(an-2),则数列{an-

1 2}是以 a1-2 为首项,2为公比的等比数列.又 a1=2-a1,即 a1=1. ?1? 则 an-2=(-1)?2?n-1, ? ? ?1? 所以 an=2-?2?n-1. ? ? [答案] ?1? 2-?2?n-1 ? ?

1 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=2,an=-2Sn· Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 2 2 1 (2)求证:S2 1+S2+…+Sn≤ - . 2 4n [解] (1)∵an=-2Sn· Sn-1(n≥2),

∴Sn-Sn-1=-2Sn· Sn-1. 1 1 两边同除以 Sn· Sn-1,得S - =2(n≥2), n Sn-1

?1? 1 1 ∴数列?S ?是以S =a =2 为首项,以 d=2 为公差的等差数列, ? n?
1 1

1 1 ∴S =S +(n-1)· d=2+2(n-1)=2n,
n 1

1 ∴Sn=2n. 1 将 Sn=2n代入 an=-2Sn· Sn-1, 1 ? ?n=1?, ?2, 得 an=? 1 ? ?2n-2n2, ?n≥2?. (2)证明 1 1 ∵S2 n= 2< 4n 4n?n-1?

1? 1? 1 =4?n-1-n?(n≥2), ? ? 1 S2 1= , 4
2 2 ∴当 n≥2 时,S2 1+S2+…+Sn

1 =4+

1 1 +…+4· n· n 4×2×2

1? 1? 1 1? 1? 1 <4+4?1-2?+…+4?n-1-n? ? ? ? ? 1 1 =2-4n; 1 1 1 当 n=1 时,S2 1= = - 4 2 4×1. 1 2 2 1 综上,S2 1+S2+…+Sn≤ - . 2 4n


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