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河南省汤阴一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(文)试题


第Ⅰ卷 一.选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.据二分法原理求方程 x ? 2 ? 0 的近似根得到的框图可称为 A. 工序流程图 B. 程序框图 C. 知识结构图 D. 组织结构图
2

2.设 i 是虚数单位,计算 i ? i ? i = A.-1 B.1
2 3

C. ? i

D. i

3.设 i 是虚数单位,则 A. ? 2 ? 3i

5?i = 1? i B. ? 2 ? 3i

C. 2 ? 3i

D. 2 ? 3i

i 4.复数 z ? 在复平面上对应的点位于 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. 下列表述正确的是 ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推 理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤. 6.某自动化仪表公司组织结构如下表,其中采购部的直接领导是

A.副总经理(甲) B.副总经理(乙) C.总经理 D.董事会 ab 可被 5 整除,那么 a , b 中 至少有一个能被 5 整除”时,假设的内 7.用反证法证明命题“ a, b ? N , 容应为 A. a , b 都能被 5 整除 B. a , b 都不能被 5 整除 C. a , b 不 都能被 5 整除 D. a 不能被 5 整除 8.设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x), f 2 ( x) ? f1 ( x), ?, f n ( x) ? f n ?1 ( x), n ? N ,则 f 2005 ( x) ? A. sin x B. ? sin x C. cos x 9.若 a, b ? R ,则下面四个式子中恒成立的 是 A. lg 1 ? a D. ? cos x

?

?

?

?

2

?? 0

B. a ? b ? 2?a ? b ? 1?
2 2

a a ?1 ? b b ?1 10.设函数 f (x) 在定义域内可导, y ? f (x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?(x) 的图象可能为
2 2 C. a ? 3ab ? 2b

D.

1 ? cos x ?? ? 在点 ? ,1? 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 平行,则实数 a 等于 sin x ?2 ? A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 1 2 3 12.设函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 5 ,若对于任意 x ? ?? 1,2? 都有 f ( x) ? m 成立,则实数 m 的取值范围 2
11. 设曲线 y ? 为 C. ?7,??) 第Ⅱ卷 二.填空题.(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是___ A. (7,??) B. (8,??) 14.在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 , 数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 D. ?8,??)

_

.

则有等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n n ? 19, n ? N * 成立,类比上述性质,相应地:在等比 成立.
3 3

?

?

15.“因为对数函数 y ? loga x 是增函数(大前提) y ? log1 x 是对数函数(小前提) , ,所以 y ? log1 x 是 增函数(结论).”上面推理的错误是 16.执行下边的程序框图,输出的 T= . .
[来源:学科网]

三、解答题. 17. (本题满分 10 分) 已知 x 是实数, y 是纯虚数,且满足

(2 x ? 1) ? (3 ? y)i ? y ? i, 求 x , y .

18.(本题满分 12 分) (Ⅰ)已知 a ? b ? 0, 求证 : a ? b ? a ? b x, y , z 均 为 实 ( Ⅱ ) 已 知 数 , 且

a ? x2 ? 2 y ?

?
2

,b ? y2 ? 2z ?

?
3

, c ? z2 ? 2x ?

?
6

求证: a, b, c 中至少有一个大于 0 .

19. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)曲线 y ? f (x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求此定 值.
[来源:学科网]

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在 x ? 1 处有极值 (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调性.

1 . 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1 , a ? 0 . (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f (x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ? f (x) 的图像有三个不同的交点,求 m 的取值范围.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

22. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? (? x ? ax)e ( x ? R , e 为自然对数的底数). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递增区间;
2 x

(Ⅱ)若函数 f (x) 在 (?1,1) 上单调递增,求 a 的取值范围.

2011-2012 学年第二学期期中考试 高二文科数学参考答案

?2 x ? 1 ? b ? 0 ? ?b ? 1 ? 3
?x ? ?
18.

?b ? 4 ? ?? 3 ?x ? ? 2 ?

3 , y ? 4i . 2

( Ⅰ ) 证 明 : ? a ? b ? 0,?b ?

ab,即2b ? 2 ab , 进 而 ? 2 ab ? ?2b , 于 是

? ? ? 3 ? 0, ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? ? z ? 1? ? 0
2 2 2

a ? 2 ab ? b ? a ? b ? 2b,即0 ? ( a ? b ) 2 ? a ? b,? a ? b ? a ? b . (Ⅱ) 证明:假设 a, b, c 都大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 则a ? b ? c ? 0 ① ? ? ? 2 2 2 而 a ? b ? c ? x ? 2 y ? ? y ? 2z ? ? z ? 2x ? 2 3 6 2 2 2 ? ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? ?z ? 1? ? ? ? 3

? a ? b ? c ? 0, 与①式矛盾 所以a, b, c中至少有一个大于 0

3 知曲线在点 P x0 , y0) 处的切线方程为 ( x2 3 3 3 y ? y 0 ? (1 ? 2 )(x ? x0 ) ,即 y ? ( x0 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x0 ) . x0 x0 x0 6 令 x ? 0 ,得 y ? ? , x0
(Ⅱ)设 P x0 , y0) 为曲线上任一点,由 y ? ? 1 ? (

从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 (0,? 令 y ? x ,得 y ? x ? 2x0 ,

6 ). x0

从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 2 x0 ,2 x0) . ( 所以点 P x0 , y0) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为: (
[来源:Z*xx*k.Com]

S?

1 6 ? 2 x0 ? 6 . 2 x0

[来源:学科网]

故曲线 y ? f (x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为定值,定值为 6.

当 x 变化时, f ?(x) 、 f (x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x) f (x)

(0,1)


1 0 极小值

(1,??)
+ ↗

所以函数 f (x) 的单调减区间是: (0,1) ,单调 增区间是: (1,??) . 21.解答:(Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ? a) ,
2 2

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ?( x) ? 0 ,

?当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 (??,??) .
当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ?( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

?当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 (??,?

a ) , ( a ,??) ; f (x) 的单调减区间为 (? a , a ) .

? 直 线 y ? m 与 y ? f (x) 的 图 像 有 三 个 不 同 的 交 点 , 结 合 f (x) 的 图 像 可 知 : f ( x)极小值 ? m ? f ( x)极大值 ( ) 故实数 m 的取值范围是 ? 3,1 .

22. 解答:(Ⅰ) 当 a ? 2 时, f ( x) ? (? x 2 ? ax)e x ,

?

f ?( x) ? ? 2x ? 2)e x ? (?2x 2 ? 2x)e x ? (? x 2 ? 2)e x . (

? f ?( x) ? 0 对 x ? (?1,1) 恒成立.

? f ?( x) ? (?2x ? a)e x ? (? x 2 ? ax)e x ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? a e x ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? a e x ? 0 对 x ? (?1,1) 恒成立. ? e x ? 0 ,2 ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0 对 x ? (?1,1) 恒 成立. x 2 ? 2 x ( x ? 1) 2 ? 1 1 ? ? x ?1? 即a ? 对 x ? (?1,1) 恒成立. x ?1 x ?1 x ?1 1 令 y ? x ?1? ,则 x ?1 1 y? ? 1 ? ? 0, ( x ? 1) 2

?

?

?

?

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