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河南省禹州一高2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题


禹州市一高 2012—2013 学年度上学期高二期中考试

数学试题(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. “ x 2 ? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

2012-11-20

命题人:赵伟峰

D.既不充分也不必要条件 )

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定形式为( A. ?p : ?x ? R, x ? sin x C. ?p : ?x ? R, x ? sin x

B. ?p : ?x ? R, x ? sin x D. ?p : ?x ? R, x ? sin x )

3.在正项等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( A.33 B.72 C.84 D.189

?2 x ? y ? 0 ? 4.已知变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A.16 B.8 C.6 D.4 5.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? n ? 2 ,那么它的通项公式为(

)

)

(n (n ?1,    ? 1) ?1,    ? 1) A. an ? ? B. an ? ? C. an ? 4n ? 1 (n (n ?4n ? 1,   ? 2) ?4n ? 1,   ? 2)
6.下列说法中,正确的是( )

D. an ? 4n ? 1

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“ x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是“ x ? 3 ”的必要不充分条件 C.命题“ p ? q ”为真命题,则“命题 p ”和“命题 q ”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 7.已知等差数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和为( A.138 B.135 C.95 D.23 )

3 5 8.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),并且经过点 (? ,? ) , 2 2

则椭圆的方程是(

)

x2 y2 A. ? ?1 9 4

x2 y2 B. ? ?1 4 9

x2 y2 C. ? ?1 10 6

x2 y2 D. ? ?1 6 10

9.已知 x, y ?R? ,且满足 A.6

2 8 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为( x y
C.18

) D.24

B.12

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任 意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围为( A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 ) C. ?

3 1 1 3 ?a? D. ? ? a ? 2 2 2 2 P ,若 11.设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

?F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(
A.
2 2

) D. 2 ? 1

B. 2 ? 1
2

C. 2 ? 2

12.各项均不为零的等差数列 {an } 中 an2 ? an?1 ? an?1 ? 0(n ? N* , n ? 2) ,则 S 2012 等于( ) B.4018 C.2009 D.1006

A.4024

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
1 的最小值是_________. a ?1 14.已知等比数列 {an } 为递增数列,且 a52 ? a10 ,2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列 {an }

13.若 a ? 1, 则 a ?

的通项公式为

.

2 1 15.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范 x y 围是______. x2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A, B 两点, O 16.过椭圆 5 4 为坐标原点,则弦 AB 的长为_______. 三、解答题(6 道题,共 70 分)

17. (本小题满分 10 分) 已知点 A(3,0) 为圆 x2 ? y 2 ? 1 外一点, P 为圆上任意一点,若 AP 的中点为

M ,当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

18. (本小题满分 12 分)

已知命题 p:“ ?x ?[1,2], x2 ? a ? 0 ”, 命题 q:“ ?x0 ? R, x02 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ”, 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos A ?

2 , 3

sin B ? 5 cos C .
(1)求 tan C 的值; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (1)求数列 {an } 的通项公式;
?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

21.(本小题满分 12 分) 设 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有的 n ? N* ,都 有 8S n ? (an ? 2) 2 . (1)写出数列 {an } 的前 3 项; (2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ?

4 m , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 20 a n ? a n ?1

n ? N* 都成立的最小正整数 m 的值.
22.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;
3 2

的椭圆过点( 2 ,

2 2

).

(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ, OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

禹州一高高二数学(理)期中试题参考答案
一、选择题: BCCDA, BCDCD, DA 二、填空题: 13. 3 14. an ? 2n 15. (?4, 2) 16.
5 5 3

三、解答题:
3 1 17.(10 分) ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

表示以 ( ,0) 为圆心,

3 2

1 为半径的圆. 2

18. (12 分)解:由“ p ? q ”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. …………………6 分 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根,

Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2, 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 19. (12 分) 解:(1)由 cos A ? 又 5 cos C ? sin B ? sin( A ? C ) ? (2)由 tan C ? 5 可求得 sin C ? 由 a ? 2 及正弦定理得 c ? 所以 ?ABC 的面积为 S ?

……………10 分 ……………12 分

2 5 . , A ? (0, ? ) ,得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 3 3

5 2 所以 tan C ? 5 .┄┄6 分 cos C ? sin C , 3 3
5 1 5 cos C ? ,∴ sin B ? 5 ? cos C ? . 6, 6 6

a sin C ? 3. sin A

1 5 .┄┄┄┄12 分 ac sin B ? 2 2 20. (12 分) (1)解:设等比数列的公比为 q ,由题意知 q ? 0 ,
∴?

?2a1 ? 3a1q ? 1 ?(a1q ) ? 9(a1q )
2 2 3

解得 a1 ? q ? 2

1 3

1 故 an ? ( ) n …………………6 分 3

(2) bn ? log3 (a1 ? a2 ?? ? an ) ? log3 ( )1? 2??? n ? ? ∴

1 3

n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

┄┄┄┄8 分

故数列 { } 的前 n 项和为

1 bn

1 1 1 1 1 1 ?2n ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? ?2(1 ? )? …………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
21. (12 分)解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵ 8Sn ? (an ? 2)2 ∴ a3 ? 10 ∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6 …………4 分

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1) 即 an2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0

∵ an ? 0

∴ an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 ………… 8 分

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)
? 1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4 n ? 2 2 m m 1 ∵ Tn ? 对所有 n ? N* 都成立 ∴ ? 20 20 2 故 m 的最小值是 10 . …………12 分

即 m ? 10

22.(12 分)解:(1)由题意可设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0),

?c 3 , ? ? ?a ? 2, x2 ?a 2 ? y 2 ? 1 . ………6 分 则? 故 ? ,所以,椭圆方程为 4 ?b ? 1 ? 2 ? 1 ? 1, ? a 2 2b 2 ?
(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则△=64 k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0, 且 x1 ? x2 ?
?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2

.……………8 分

故 y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. y 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以,
y1 y2 x1 x2

P

?



k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

=k2,
Q

O

x

即,

?8k 2 m 2 1 ? 4k
2

+m2=0,又 m≠0,所以 k2=

1 1 ,即 k= ? . (第 22 题) 4 2

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2 且 m2≠1.

设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△OPQ= d | PQ |= | x1-x2 | | m |= m 2 (2 ? m 2 ) ,
2 2 1 1

所以 S△OPQ 的取值范围为 (0,1).

……………12 分


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