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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,选修1-2) 第2章 章末检测(A) 课时作业]


第2章

推理与证明(A)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.下列推理过程是类比推理的是__________. 1 ①人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为 2 ②科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 ③通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性 ④由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 1 3 1 1 5 1 1 1 7 2 .观察式子:1 + 2< ,1+ 2 + 2< , 1+ 2 + 2+ 2 < ,?,则可归纳出一般式子为 2 2 2 3 3 2 3 4 4 ______________________. 3.若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的: ①ab=ba;②(ab)c=a(bc);③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0;④若 ab=0,则 a=0 或 b =0. 对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论: ①a· b=b· a; ②(a· b)c=a(b· c); ③若 a· b=b· c,b≠0,则 a=c; ④若 a· b=0,则 a=0 或 b=0. 其中正确结论的个数为________. an- 3 4.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈N*),则 a2 010=________. 3an+1 5.设凸 n 边形的内角和为 f(n),则 f(n+1)-f(n)=______. 6.观察下列数表规律

则从数 2 010 到 2 011 的箭头方向是__________. 7.平面内原有 k 条直线,它们的交点个数记为 f(k),则增加了一条直线后,它们的交点 个数最多为____________. 8.勾股定理:在直角边长为 a、b,斜边长为 c 的直角三角形中,有 a2+b2=c2.类比勾股 定理可得,在长、宽、高分别为 p、q、r,体对角线长为 d 的长方体中,有______________. 9.下列三句话按三段论的模式排列顺序是________. ①2 010 能被 2 整除; ②一切偶数都能被 2 整除; ③2 010 是偶数. 10.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四 个侧面______________________. → 1 → → 11. 在△ABC 中, D 为边 BC 的中点, 则AD= (AB+AC). 将上述命题类比到四面体中去, 2 得到一个类比命题:________________________________. 12. 对于“求证函数 f(x)=-x3 在 R 上是减函数”, 用“三段论”可表示为: 大前提是“对 于定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x1,x2∈D 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)<0,则函数 f(x)在 D 上是减函数”,小前提是“__________________________”,结论是“f(x)=-x3 在 R 上是减函 数”. 13.在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,?这些数叫做三角形数, 这是因为这些数目的点可以排成正三角形 ( 如图所示 ) ,则三角形数的一般表达式 f(n) = __________.

14.下面的四个不等式: ①a2+b2+c2≥ab+bc+ca; 1 a b ②a(1-a)≤ ;③ + ≥2; 4 b a ④(a2+b2)· (c2+d2)≥(ac+bd)2. 其中不成立的有________个. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)设 f(x)=x2+ax+b, 1 求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2

1 ? 1 ? 1? ? 1? 16.(14 分)已知函数 f(x)=lg? ?x-1?,x∈?0,2?.若 x1,x2∈?0,2?且 x1≠x2,求证:2[f(x1) x1+x2? +f(x2)]>f? ? 2 ?.

17.(14 分)已知 a>0,b>0,a+b=1, 1 1 求证: a+ + b+ ≤2. 2 2

18.(16 分) 如图所示,△ABC 是正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB= 2a,CD=a,F 是 BE 的中点.

(1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD.

19.(16 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中的 a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1)均为 奇数,求证:方程 f(x)=0 无整数根.

20.(16 分)观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 008 是第几行的第几个数?

第2章
1.②

推理与证明(A) 答案

1 1 1 2n-1 2.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n-1 解析 由合情推理可归纳出 1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2). 2 3 n n 3.1

解析 利用类比思想结合向量的定义及性质,特别是向量的数量积的定义可知①正确, ②③④不正确. 4. 3 0- 3 - 3- 3 解析 a2= =- 3,a3= = 3,a4=0,所以此数列具有周期性,0,- 0+1 - 3· 3+1 3, 3依次重复出现.因为 2 010=3×670,所以 a2 010= 3. 5.180° 解析 作凸(n+1)边形的一条对角线,使之成为一个凸 n 边形和一个三角形. 6.2 010 → ↑ 7.f(k)+k 解析 增加一条直线后,最多和原来的 k 条直线都相交,有 k 个交点,所以交点个数最多 为 f(k)+k. 8.p2+q2+r2=d2 9.②③① 10.各正三角形的中心 解析 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的 中点对应的就是正四面体各正三角形的中心. 11.在四面体 A—BCD 中,G 为△BCD 的重心, → 1 → → → 则AG= (AB+AC+AD) 3 3 2 2 12.对于任意 x1,x2∈R 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)=-x2 +x3 1=-(x2-x1)(x2+x1x2+x1) ??x2+x1?2+3x2 ? =-(x2-x1)· 2 ? 4 1?<0 ?? n?n+1? 13. 2 1×2 2×3 3×4 解析 当 n=1 时,1= ;当 n=2 时,3= ;当 n=3 时,6= ;当 n=4 时, 2 2 2 4×5 n?n+1? 10= ;?,猜想:f(n)= . 2 2 14.1 解析 由 a2+b2+c2-(ab+bc+ca) 1 = [2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca] 2 1 = [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 2 故①正确. 1 1 1 a- ?2≥0, 由 -a(1-a)= -a+a2=? ? 2? 4 4 故②正确. (a2+b2)· (c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2 =a2d2+b2c2-2abcd=(ad-bc)2≥0,故④正确. a b a b ∵ + ≥2 或 + ≤-2,∴③不正确. b a b a 1 1 1 15.证明 假设|f(1)|< ,|f(2)|< ,|f(3)|< , 2 2 2 1 1 于是有- <1+a+b< ① 2 2 1 1 - <4+2a+b< ② 2 2 1 1 - <9+3a+b< ③ 2 2

①+③,得-1<10+4a+2b<1, 所以-3<8+4a+2b<-1, 3 1 所以- <4+2a+b<- . 2 2 1 1 由②知- <4+2a+b< ,矛盾, 2 2 1 所以假设不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 16.证明 要证原不等式成立,只需证明 ? 1 -1?? 1 -1?>? 2 -1?2, ?x1 ??x2 ? ?x1+x2 ? 1 事实上,∵0<x1,x2< ,x1≠x2, 2 1 1 ?? ? ? 2 -1?2 ∴? ?x1-1??x2-1?-?x1+x2 ? 1 1 1 4 4 = - - - + x1x2 x1 x2 ?x1+x2?2 x1+x2 ?x1-x2?2?1-x1-x2? = >0. x1x2?x1+x2?2 2 1 1 -1?2 -1?? -1?>? ∴? ?x1 ??x2 ? ?x1+x2 ? , ? 1 ?? 1 ?? ? 2 -1?2 即有 lg? ??x1-1??x2-1??>lg?x1+x2 ? , x1+x2? 1 故 [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?. 1 17.证明 ∵1=a+b≥2 ab,∴ab≤ . 4 1 1 ∴ (a+b)+ab+ ≤1. 2 4 1 1 a+ ??b+ ?≤1. ∴ ? 2 ? ?? 2? 1?? 1? 从而有 2+2 ? ?a+2??b+2?≤4. 1? ? 1? ? 1?? 1? 即? ?a+2?+?b+2?+2 ?a+2??b+2?≤4. 1 1 ∴? a+ + b+ ?2≤4. 2 2? ? 1 1 ∴ a+ + b+ ≤2. 2 2 18.证明 (1)取 AB 的中点 G,连结 FG,CG, 1 可得 FG∥AE,FG= AE, 2 又 CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC,

1 ∴CD∥AE,CD= AE, 2 ∴FG∥CD,FG=CD. 又∵FG⊥平面 ABC,

∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG,CG?平面 ABC, DF?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC. (2)Rt△ABE 中,AE=2a,AB=2a,F 为 BE 的中点,∴AF⊥BE,∵△ABC 是正三角形, ∴CG⊥AB,∴DF⊥AB, 又 DF⊥FG,FG∩AB=G, ∴DF⊥平面 ABE,DF⊥AF, 又∵DF∩BE=F,∴AF⊥平面 BDF, 又 BD?平面 BDF,∴AF⊥BD. 19.证明 假设方程 f(x)=0 有一个整数根 k, 则 ak2+bk+c=0.① 因为 f(0)=c,f(1)=a+b+c 均为奇数, 所以 a+b 必为偶数, 当 k 为偶数时,令 k=2n (n∈Z), 则 ak2+bk+c=4n2a+2nb+c=2n(2na+b)+c 必为奇数,与①式矛盾; 当 k 为奇数时,令 k=2n+1 (n∈Z), 则 ak2+bk+c=(2n+1)(2na+a+b)+c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数,必为奇数, 也与①式矛盾,故假设不成立. 综上可知方程 f(x)=0 无整数根. 20.解 (1)由表知,从第二行起,每行的第一个数为偶数,所以第 n+1 行的第一个数为 n 2 ,所以第 n 行的最后一个数为 2n-1. - - (2)由(1)知第 n-1 行的最后一个数为 2n 1-1,第 n 行的第一个数为 2n 1,第 n 行的最后 n 一个数为 2 -1.又由观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求和 公式得, - - 2n 1?2n 1+2n-1? 2n-3 - - Sn= =2 +22n 2-2n 2. 2 (3)因为 210=1 024,211=2 048,又第 11 行最后一个数为 211-1=2 047,所以 2 008 是在第 11 行中,由等差数列的通项公式得,2 008=1 024+(n-1)· 1,所以 n=985,所以 2 008 是第 11 行的第 985 个数.


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