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河南省禹州一高2012-2013学年高二上学期期中考试数学(文)试题




禹州市一高 2012—2013 学年度上学期高二期中考试

数学试题(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.“ x 2 ? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件

2012-11-20

命题人:赵伟峰

D.既不充分也不必要条件 )

2.已知命题 p : ? x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为( A. ? p : ? x ? R , x ? sin x C. ? p : ? x ? R , x ? sin x

B. ? p : ? x ? R , x ? sin x D. ? p : ? x ? R , x ? sin x ) D. ?
2

3.在等比数列 { a n } 中, a1 ? ? 1 6, a 4 ? 8, 则 a 7 ? ( A. ? 4 B. ?
4

C. ? 2

4.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ,那么它的通项公式为 a n =( A. n 5.设 F1,F2 是椭圆 长为( A.16 ) B.18 C.20
x
2

)

B. 2 n
? y
2

C. 2 n ? 1

D. n ? 1

? 1 的两焦点,P

25

9

为椭圆上一点,则三角形 PF1F2 的周

D.不确定 )

6.椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形,则此椭圆的离心率为( A.
1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

7.下列说法中,正确的是(

)

A.命题“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是“ x ? 3 ”的必要不充分条件 C.命题“ p ? q ”为真命题,则“命题 p”和“命题 q”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 8.已知 a , b , c ? R ,则下列推证中正确的是 ( A. a
? b ? am ? bm
2 2

) B.
a c ? b c ? a ? b



C. a 3

? b , ab ? 0 ?
3

1 a

?

1 b

D. a 2

? b , ab ? 0 ?
2

1 a

?

1 b

?y ? x ? 9.不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

表示的平面区域的面积为(



A.

25 3

B.
2 x ? 8 y

50 3

C.

100 3

D. )

10 3

10.已知 x ? 0, y ? 0 , A. 6

? 1 ,则 x ? y 的最小值为(

B. 12

C. 18

D. 24 )

11.已知等差数列 { a n } 满足 a 2 ? a 4 ? 4, a 3 ? a 5 ? 10 ,则它的前 10 项和为( A.138 B.135 C.95 D.23

12.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ) ,若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意 实数 x 成立,则 a 的取值范围为( A. ? 1 ? a ? 1 D. ?
1 2 ? a ? 3 2

) C. ?
3 2 ? a ? 1 2

B. 0 ? a ? 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若 a
? 1, 则 a ?
1 a ?1

的最小值是__________.

14.在公差不为 0 的等差数列 { a n } 中,a1 , a 3 , a 4 成等比数列, 则该等比数列的公比 为 . ,则 2 x ? y 的最大值为________.
x
2

? 0 ? x ? 4 ? 15.已知 x , y 满足 ? 0 ? y ? 3 ?x ? 2 y ? 8 ?

16.已知点 P (4, 2) 是直线 l 被椭圆
_____ ____.

?

y

2

? 1 所截得的弦的中点,则直线 l 的方程为

36

9

三、解答题(6 道题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? a n ? 是一个等差数列,且 a 2 (1)求 ? a n ? 的通项 a n ;
? 1 , a5 ? ? 5





(2)求 ? a n ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:“ ? x ? [1, 2], x 2 ? a ? 0 ”,命题 q:“ ? x 0 ? R , x 0 2 ? 2 ax 0 ? 2 ? a ? 0 ”, 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x 2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B. (1)求 A∩B; (2)若不等式 x 2
? ax ? b ? 0 的解集为

A∩B,求不等式 ax 2

? x ? b ? 0 的解集.

20.(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中, 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 c o s A ? (1)求 tan C 的值; (2)若 a ?
2 ,求 ? A B C 的面积.
2 3

, B? sin

5 co s C .

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点分别为 F1 ( ? (1)求此椭圆的方程; (2)设直线 l :
y ? x?m

3 ,0 )

, F2 (

3 ,0 )

,离心率 e

?

3 2



,若 l 与此椭圆相交于 P , Q 两点,且 PQ 等于椭圆

的短轴长,求 m 的值.

22.(本小题满分 12 分) 设 {a n } 是 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 并 且 对 于 所 有 的 n ? N * , 都 有
8S n ? (a n ? 2) .
2

(1)写出数列 { a n } 的前 3 项; (2)求数列 { a n } 的通项公式(写出推证过程);



(3) b n ? 设

4 a n ? a n ?1

, n 是数列 {b n } 的前 n 项和, 求使得 T n T

?

m 20

对所有 n ? N *

都成立的最小正整数 m 的值.

禹州一高高二期中数学(文科)试卷参考答案
一、选择题 BCABB CBCBC 二、填空题 13. 3 三、解答题 17.解:(1)设 ? a n ? 的公差为 d ,由已知条件, ?
d ? ?2 .
? a1 ? d ? 1 ? a1 ? 4 d ? ? 5

CD

14.

1 2

15. 10

16. x ? 2 y ? 8 ? 0

,解出 a1 ? 3 ,

所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? ? 2 n ? 5 .

┄┄5 分



(2) S n

? n a1 ?

n ( n ? 1) 2

d ? ? n ? 4 n ? 4 ? ( n ? 2)
2

2

.所以 n

?2

时, S n 取到最大值 4

18.解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题.┄┄2 分 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. ┄┄6 分 ┄┄10 分 ┄┄12 分 A=(-1,3) 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2, 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 19.解: (1)由 x 2 由 x2
? x?6?0
? 2x ? 3 ? 0

得 ?1 ?

x ? 3 ,所以

得 ?3 ?
2

x ? 2 ,所以

B=(-3,2),

∴A∩B=(-1,2) (2)由不等式 x 所以 ? ∴ ? x2
? 1? a ? b ? 0 ?4 ? 2a ? b ? 0

┄┄ 6 分
?a ? ?1 ?b ? ?2

? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2),

,解得 ?

?x?2?0

,解得解集为 R.
2 3 , A ? (0,? )

┄┄12 分
2 ,得 s in A ? 1 ? c o s A ?

20.解:(1)由 c o s A ?

5 3

.
5 .┄┄6 分
5 6

又 5 c o s C ? s in B ? s in ( A ? C ) ? (2)由 tan C ? 由a ?
5 可求得 s in C ?
a s in C s in A

5 3

cos C ?

2 3

s in C , 所以 tan C ?

5 6,

cos C ?

1 6

,∴ s in B ?

5 ? cos C ?

.

2 及正弦定理得 c ?
1 2

?

3

. . ┄┄12 分
3

所以 ? A B C 的面积为 S ?

a c s in B ?
x a
2 2

5 2

21.解:(1)设椭圆方程为 分
?

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则 c ?



c a

?

3 2

,┄┄2

a ? 2, b

2

? a

2

?c

2

? 1 ? 所求椭圆方程为

x

2

? y

2

?1.

┄┄┄┄┄5 分 ,

4

(2)由 ? 则?

?y ? x ? m ?x
2

? 4y
2

2

? 4

,消去 y,得 5 x 2
2

? 8 mx ? 4 ( m

2

? 1) ? 0

? 64 m

? 80 ( m

? 1) ? 0

得m 2
8m 5

? 5
? 4(m
2

(*)
? 1)

设 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1

? x2 ? ?

, x1 x 2

5

, y 1 ? y 2 ? x1 ? x 2 , ┄┄┄┄┄┄┄8 分



PQ ?

( x1 ? x 2 )

2

? ( y1 ? y 2 )

2

?

2 [( ?

8 m 2 16 ( m ? 1 ) ) ? ] ? 2 5 5

2

解得. m 2

?

15 8

,满足(*)?
2

m ? ?

30 4

.

22.解:(1) n=1 时

8 a1 ? ( a1 ? 2)

∴ a1

? 2
2

n=2 时 n=3 时 (2)∵ 8 S n

8( a1 ? a 2 ) ? ( a 2 ? 2)
2

∴ a2
? 10

? 6

8( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? ( a 3 ? 2)
2

∴ a3
2

…………4 分

? ( a n ? 2)

∴ 8 S n ?1

? ( a n ? 1 ? 2) ( n ? 1)
2 2

两式相减得: 也即 ( a n ∵ an ∴ an (3) b n
? 0

8 a n ? ( a n ? 2) ? ( a n ? 1 ? 2)

即 an 2

? a n ?1 ? 4 a n ? 4 a n ?1 ? 0
2

? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 4) ? 0

∴ an

? a n ?1 ? 4

即 { a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 ………… 8 分
? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
1 3 ? 1 5 )?? ? (

? 2 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 2
4 a n ? a n ?1 ? 4

?

( 4 n ? 2 )( 4 n ? 2 )
1 2 [(1 ? 1 3

?

1

2 ( 2 n ? 1)
1 ?

(

1

?
1

1 ( 2 n ? 1)
)]

)

∴ Tn
? 1 2

? b1 ? b 2 ? ? ? b n ?

)? (

( 2 n ? 1)

( 2 n ? 1)

(1 ?
m 20

1 2n ? 1

)?

1 2

?

1 4n ? 2

?

1 2

∵ Tn

?

对所有 n ? N * 都成立



m 20

?

1 2

即m

? 10

故 m 的最小值是 10 . …………12 分


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