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精品学习四川省棠湖中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理

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2018 年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试

理科数学

第 I 卷 选择题(共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? ?x | x是菱形或矩形 ?, B ? ?x | x是矩形?,则 CAB ? ( )

A.?x | x是菱形?

B.?x | x是内角都不是直角的菱 形?

C.?x | x是正方形?

D.?x | x是邻边都不相等的矩形 ?

2.已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a, b 的夹角的余弦值为( )

A. 3 10 10

B. ? 3 10 10

C. 2 2

D. ? 2 2

3.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B (如图),要测算 A, B 两

点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC ,测得 BC ? 50m , ?ABC ? 105 , ?BCA ? 45 ,

就可以计算出 A, B 两点的距离为

A

A. 50 2 m

B. 50 3 m

C. 25 2 m

D. 25 2 m

2

B C
4.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? ,? 是三个不同的平面.有下列四个命题:

①若? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , m // ? ,则? ? ? ;

③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;④ 若? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? .

其中错.误.命题的序号是

A.①③

B.①④

C.②③④

D.②③

5. (2x ? 1 )4 的展开式中的常数项为 x

A. ?24

B. ?6

C.6

D.24

6.

函数

f (x)

? log2

x?

1 的零点所在区间为 x

A. (0, 1 ) 2

B. (1 ,1) 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

7.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC中任取一点 P ,则点 P

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恰好取自阴影部分的概率为

A. 1 4

B. 1 5

C. 1 6

D. 1 7

8.等比数列{an} 中 a1

?

512

,公比 q

?

?

1 2

,记 ?n

?

a1 ? a 2?

? an (即 ? n 表示

数列{an} 的前 n 项之积), ?8 , ?9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

9.若{an} 是等差数列,首项公差 d ? 0 ,a1 ? 0 ,且 a2013 (a2012 ?20a13 ) ?0 ,则使数列{an}

的前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是

A.4027

B.4026

C.4025

D.4024

10.已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 2 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是

A. (??,?3)

B (??,?3]

C. (?3,0)

D.[?3,0)

11.

定义在 R 上的函数

?lg x ? 2 , f (x) ? ?

x ? 2 若关于 x 的方程 f 2 (x) ? bf (x) ? c ? 0

? 1, x ? 2

恰好有 5 个不同的实数解 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ?

A. lg 2

B. lg 4

C. lg 8

D.1

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足以下三个条件:①对于任意的 x ? R ,都有

f ( x ? 4) ? f (x);②对于任意的 x1, x2 ? R,且0 ? x1 ? x2 ? 2,都有f (x1) ? f (x2 ); ③函 数 y ? f (x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是

A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5)

B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5)

C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? y ? 2x,

13.点

P(x,

y)

在不等式组

? ?

y

?

? x,

表示的平面区域内,则 z ? x ? y 的最大值为_______.

?? x ? 2,

14.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ?

.

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15.由数字 0 、1、 2 、 3 、 4 组成无重复数字的五位数,其中奇数有

个.

16.对于三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ),定义:设 f ??(x) 是函数 y=f(x)

的导数 y= f ?(x) 的导数,若方程 f ??(x) =0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)

的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中

心;且‘拐点’就是对称中心.”

请 你 将 这 一 发 现 为 条 件 , 函 数 f (x) ? x3 ? 3 x2 ? 3x ? 1 , 则 它 的 对 称 中 心

2

4





计算 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ??? ? f (2012) =

2013 2013 2013

2013

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

设函数 f (x) ? sin(? x ? ? ) ? 2 cos2 ? x ?1.

46

8

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期.

(Ⅱ)若函数 y ? g(x) 与 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称,求当 x ?[0, 4] 时 y ? g(x) 3
的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按 照题目要求独立完成全部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 2 ,且每题正确完成与否互不影响。
3
(Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (Ⅱ)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生 的实验操作能力.
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19. (本小题满分 12 分) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , EA ? 平 面 ABCD , 四 边 形 ABCD 为 等 腰 梯 形 , AD ?// 1 BC ,
2 AD ? AE ? 1,?ABC ? 60o, EF ?// 1 AC .
2 (Ⅰ)证明: AB ? CF ; (Ⅱ)求二面角 B ? EF ? D 的余弦值.
20.(本题满分 12 分)
如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的点 A 到 F 的
距离为 2,且 A 的横坐标为 1. 过 A 点作抛物线 C 的两条动弦 AD、AE,且 AD、AE 的
斜率满足 kAD ? kAE ? 2.
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)直线 DE 是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标; 若不过某定点,请说明理由.
21.(本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ex ? ax2 ? ex, a ? R (Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x) 的单调区间;
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(Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f (x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点 P 。

(二)选做题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答至选做题答题区域,标清题 号 . 如果多做,则按所做第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)

已知直线 l

:

?x

? ?

y

? 2 ? t cos? ? 4 ? t sin?



(t

为参数,?

为倾斜角).以坐标原点为极点, x

轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 .

(Ⅰ)将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)设点 M 的直角坐标为 (2, 4) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A 、 B ,求 MA ? MB 的取

值范围.

23.(本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) ?| x ? 4 ? m | ?m . x
(Ⅰ)当 m ? 0时求函数 f (x) 的最小值;
(Ⅱ)若函数 f (x) ? 5 在 x ?[1, 4] 上恒成立求实数 m 的取值范围.

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1-5:BCABD

2018 年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试

理科数学答案

6-10:CCBBD

11-12:DA

13. 6

14. 5? ; 6

15. C21 ? C31 ? A33 ? 6 ? 6 ? 36 .

16 ( 1 ,1), 2012 2

17.解:(Ⅰ)

f (x) ?

? sin

? x cos

? cos ?

? x sin

? cos ?

x

4

6

46

4

?

3 2

sin

? 4

x

?

3 2

cos

? 4

x

?

3 sin(? x ? ? ) 4 3 . ………………4分



f ( x) 的最小正周期为T

?

2? ?

?8

4

………………6分

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g( x) 的图象上任取一点 ( x, g( x)) ,它关于 x ? 1的对称点

(2 ? x, g( x))

…………………………8分

由题设条件,点(2 ? x, g( x))在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g(x) ? f (2 ? x) ?

3

sin[? 4

(2

?

x)

?

? 3

]

?

3

sin[? 2

?

? 4

x

?

? 3

]

?

3 cos(? x ? ? ) 43

…………………………………………10分

当 0 ? x ? 3 时, ? ? ? x ? ? ? 2? , 4 34 3 3

………………………11分

因此

y

?

g(

x)

在区间

[0,

4 3

]

上的最大值为

gmax

?

? 3 cos ?

3 ………………12分

32

解法二:因区间[0, 4 ] 关于x = 1的对称区间为[ 2 ,2] ,且 y ? g( x) 与 y ? f ( x) 的图象关

3

3

于x = 1对称,故 y ? g( x) 在[0, 4 ] 上的最大值就是 y ? f ( x) 在[ 2 ,2] 上的最大值………10

3

3



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由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ,当 2 ? x ? 2 时, ? ? ? ? x ? ? ? ? ………11分

43 3

64 36

因此

y

?

g(

x)



[0,

4 3

]

上的最大值为

g max

?

3 sin? ? 3 62

. ……………12分

18.解:(Ⅰ)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为? ,? ,则? 的取值分别为 1、2、

3,? 的取值分别,0、1、2、3,

P(? ? 1) ? C41C22 ? 1 , P(? ? 2) ? C42C21 ? 3 , P(? ? 3) ? C43C20 ? 1

C63 5

C63 5

C63 5

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:

?

1

2

3

P

1

3

1

5

5

5

E(? ) ? 1? 1 ? 2? 3 ? 3? 1 ? 2 555

………………5 分

因为? ~ B(3, 2) ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为: 3

?

0

1

2

3

P

1

6

12

8

27

27

27

27

E(?) ? 0? 1 ?1? 6 ? 2? 12 ? 3? 8 ? 2 27 27 27 27

………………8 分

(Ⅱ)因为 P(? ? 2) ? 3 ? 1 ? 4 , P(? ? 2) ? 12 ? 8 ? 20

55 5

27 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2)

………………10 分

从做对题的数学期望考察,两人水平相当;从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能

性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强。

………………12 分

19.解:(Ⅰ)由题知 EA ? 平面 ABCD , BA ? 平面 ABCD ,?BA ? AE. 过点 A 作 AH ? BC 于 H ,在 RTVABH 中, ?ABH ? 60o , BH ? 1 ,? AB ? 1 ,
2 在 VABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2AB ? BC cos 60o ? 3, ? AB2 ? AC2 ? BC2 ,? AB ? AC,

且 AC I EA ? A,? AB ? 平 面 ACFE. 又 QCF ? 平 面 A C , F?EA ?B . C F

------------6 分

(Ⅱ)以 A 为坐标原点,AB,AC,AE 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,

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则 B(1,0,0), E(0,0, a), F(0, 3 , a), D(? 1 , 3 ,0),

2

22

uuur

uuur

? BE ? (?1,0,1), BF ? (?1,

3

,1),

uuur DE

?

(

1

,

?

3

,

a),

uuur DF

?

(

1

,

0,1)

2

22

2



r n

?

(

x,

y,

z)

为平面

BEF

的一个法向量,则

?n ? ? ?n

? ?

BE BF

? ?

?x ?x

? ?

z

? 3

0, y?

z

?

0,



x

?

1,



r n

?

(1,

0,1)



?

2

同理可求平面

DEF

的一个法向量

ur

ur r

m ? ( 2 ,?0 , ,1 ?) cos ? m, n ??

ur r m?n ur r

?

10

| m || n | 10

------------12 分
20.解:⑴设抛物线方程为 C: y2 ? 2 px( p ? 0) ,……………………………2 分 由其定义知 AF ? 1 ? p ,又 AF ? 2, 2 所以 p ? 2 , y2 ? 4x ……………4 分 ⑵易知 A(1, 2) ,设 D(x1, y1 ), E(x2 , y2 ) , DE 方程为 x ? my ? n (m ? 0) …6 分

把 DE 方程代入 C,并整理得 y2 ? 4my ? 4n ? 0 ,

? ? 16(m2 ? n) ? 0, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n ………………………………8 分

由 kAD

? kAE

?

y1 ? 2 ? x1 ? 1

y2 ? 2 x2 ? 1

?

2 及 y12

?

4x1 , y22

? 4x2 得

y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ,所以 n ? 2m ?1,代入 DE 方程得:

x ? my ? 2m ?1 ,即 ( y ? 2)m ? x ?1………………………………………10 分

故直线 DE 过定点 (?1, ?2). …………………………………………………12 分

21.解:(Ⅰ) f (x) ? ex ? ax2 ? ex ? f ?(x) ? ex ? 2ax ? e 由题意得: f ?(1) ? e ? 2a ? e ? 0 ? a ? 0

------1 分 ------2 分

f ?(x) ? ex ? e ? 0 ? x ? 1, f ?(x) ? 0 ? x ? 1

得:函数 f (x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (??,1)

------4



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(Ⅱ)设 P(x0 , f (x0 )) ; 则过切点 P 的切线方程为 y ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ? f (x0 ) ------5


令 g(x) ? f (x) ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ? f (x0 ) ;则 g(x0 ) ? 0

切线与曲线只有一个公共点 P ? g(x) ? 0 只有一个根 x0

g?(x) ? f ?(x) ? f ?(x0 ) ? ex ? ex0 ? 2a(x ? x0 ) ,且 g?(x0) ? 0

-----6 分

(1)当 a ? 0 时, g?(x) ? 0 ? x ? x0, g?(x) ? 0 ? x ? x0

得:当且仅当 x ? x0 时, g(x)min ? g(x0 ) ? 0

由 x0 的任意性, a ? 0 不符合条件 (2)当 a ? 0 时,令 h(x) ? ex ? ex0 ? 2a(x ? x0 ) ? h?(x) ? ex ? 2a ? 0 ? x ? x? ? ln(?2a)

------7 分

①当 x? ? x0 时, h?(x) ? 0 ? x ? x0, h?(x) ? 0 ? x ? x0

当且仅当 x ? x0 时, g?(x) ? g?(x0 ) ? 0 ? g(x) 在 x ? R 上单调递增

? g(x) ? 0 只有一个根 x0

------8 分

②当 x? ? x0 时, h?(x) ? 0 ? x ? x?, h?(x) ? 0 ? x ? x?

得: g?(x?) ? g?(x0 ) ? 0 ,又 x ? ??, g?(x) ? ??, x ? ??, g?(x) ? ??

存在两个数 x0 ? x?? 使, g?(x0 ) ? g?(x??) ? 0

得: g?(x) ? 0 ? x0 ? x ? x?? ? g(x??) ? g(x0 ) ? 0 又 x ? ??, g?(x) ? ??

存在 x1 ? x?? 使 g(x??) ? 0 ,与条件不符。

--10 分

③当 x? ? x0 时,同理可证,与条件不符

----11 分

从上得:当 a ? 0 时,存在唯一的点 P(ln(?2a), f (ln(?2a)) 使该点处的切线与曲线只有一个公

共点 P 12 分

22. 解 :( Ⅰ ) 由 ? 2 ? x2 ? y2 , y ? ? sin? 及 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 , 得 ? 2 ? 4 ? s i n? , 即

? ? 4 s i n?

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所以曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin?

(II)将

l

的参数方程

?x

? ?

y

? ?

2 ? t cos? 4 ? t sin?

代入

x2

?

y2

?

4y

?

0

,得

t2

?

4(sin?

cos)t

?

4

?

0

? ? 16(sin? ? cos? )2 ?16 ? 16sin 2? ? 0



? ?

t1 ? t2 ? ?4(sin? ? cos? )

? ?

t1t2 ? 4

所以 sin 2? ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ,

所以 ?

?

(0,

? 2

)

,且

t1

?

0,

t2

?0

所以| MA | ? | MB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? 4(sin? ? cos?) ? 4

2 sin(? ? ? ) 4

由? ? (0, ? ) ,得? ? ? ? (? , 3? ) ,所以 2 ? sin(? ? ? ) ? 1.

2

4 44

2

4

故| MA | ? | MB | 的取值范围是 (4, 4 2]

23.(1)当 m ? 0 时,

f ? x? ? x ? 4 ? x ? 4 ? 2 x ? 4 ? 4 ,当且仅当 x ? 4 ,即 x ? ?2 时等号成立,

x

x

x

x

所以 f ? x? ? 4.(5 分) min
(2)由题意得 x ? 4 ? m ? m ? 5 在 x??1, 4? 上恒成立,
x

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