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2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件:第2章第四节 幂函数与二次函数(苏教版江苏专用


第四节 幂函数与二次函数

第 四 节 幂 函 数 与 二 次 函 数

双基研习? 双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考 考点探究?

考向瞭望? 考向瞭望?把脉高考

双基研习· 双基研习·面对高考

基础梳理 1.二次函数的图象和性质 . f(x)=ax2+bx+ f(x)=ax2+bx+c(a< = + = + < 解析式 c(a>0) > 0)

图象 定义域 值域 R 4ac-b2 - ,+∞ [ ,+∞) 4a R 4ac-b2 - (-∞, ] - 4a

b b (-∞,- ) - (-∞,- - 2a 在 x∈___________)上 2a 在 x∈_____________ ∈ ∈___________上 单调 上单调递减;在 x∈ 单调递减;在 x∈ 上单调递减; 单调递减; ∈ ∈ 性
b b (- ,+∞) - ,+∞ ) 2a _________上单调递增 (-∞,-2a上单调递增 ________上单调递增 上单调递增 -

b=0 时为偶函数 b≠0 = 时为偶函数, 奇偶 当_______时为偶函数,_______时为非奇非 时为非奇非 性 偶函数 4ac-b2 - b 顶点 (- , ) - 4a 2a 对称 b x=- =- 2a 成轴对称图形 图象关于直线___________成轴对称图形 图象关于直线 性

思考感悟 1.一元二次函数的解析式中含有参数时需注意些 . 什么? 什么? 提示:一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,含 提示:一元二次函数 = + 中 参数的位置不一样,对函数的影响不一样, 参数的位置不一样,对函数的影响不一样,如f(x) 此函数虽然含有参数a,但不论a取何 =ax2+x+1.此函数虽然含有参数 ,但不论 取何 + 此函数虽然含有参数 函数f(x)恒过一定点 恒过一定点(0,1);又如 值,函数 恒过一定点 ;又如f(x)=x2+ax+ = + 1,此函数中 只影响对称轴的位置,而开口方向及 只影响对称轴的位置, ,此函数中a只影响对称轴的位置 轴的交点都不变化; 与y轴的交点都不变化;再如 轴的交点都不变化 再如f(x)=x2+2x+a,此 = + , 函数的开口方向及对称轴不发生变化.掌握这些“ 函数的开口方向及对称轴不发生变化.掌握这些 不变”的关系 变”与“不变 的关系,对于解决有关的二次函数问 与 不变 的关系, 题可以起到化繁为简的作用. 题可以起到化繁为简的作用.

2.幂函数的定义 . y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 为 形如_______的函数称为幂函数 形如 = 的函数称为幂函数,其中____为 自变量, α 为常数 为常数. 自变量,_____为常数.

3.幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x2, . = , = = = 1 y= 的性质 = x

2

3

1

y= = x 定义 域 值域 奇偶 性 单调 性 定点 R R 奇

y=x = R

2

y= = x3

y=x =

1 2

y=x-1 =

[0,+∞) ,+∞ ,+ 偶

(-∞, ∪(0, - 0)∪ , R [0,+∞) ,+∞ ,+ +∞ ) (-∞, ∪(0, 0)∪ , - R [0,+∞) ,+∞ ,+ +∞ ) 奇 非奇非偶 增 奇 (-∞, 减(0, - 0)减 , +∞)减 减 (1,1)

(-∞,0)减 - 减 增 增 (0,+∞)增 ,+∞ ,+ 增 (0,0) (1,1)

4.幂函数的性质 . (1)所有幂函数在 ,+ 上都有定义,并且图象 所有幂函数在(0,+ 上都有定义, 所有幂函数在 ,+∞)上都有定义 都通过点(1,1). 都通过点 . (2)如果 >0,则幂函数图象过原点,并且在区间 如果α> ,则幂函数图象过原点, 如果 (0,+ 上为 增函数. ,+∞)上为 增函数. ,+ 上为_________ (3)如果 <0,则幂函数图象在区间 ,+ 上为 如果α< ,则幂函数图象在区间(0,+ ,+∞)上为 如果 减函数. 在第一象限内, 减函数. 在第一象限内 __________在第一象限内,当x从右边趋向于原 从右边趋向于原 点时,图象在y轴右方无限地逼近 轴.当x趋向 点时,图象在 轴右方无限地逼近y轴 趋向 轴右方无限地逼近 轴上方无限地逼近x轴 于+∞时,图象在 轴上方无限地逼近 轴. 时 图象在y轴上方无限地逼近 (4)当α为奇数时,幂函数为 奇函数 ,当α为偶数 为奇数时, 当 为奇数时 幂函数为_______, 为偶数 偶函数. 幂函数为__________ 时,幂函数为 偶函数.

思考感悟 2.幂函数与指数函数的主要不同是什么? .幂函数与指数函数的主要不同是什么? 提示:两种函数中自变量x所处的位置不一样, 所处的位置不一样, 提示:两种函数中自变量 所处的位置不一样 幂函数在底数的位置, 幂函数在底数的位置,指数函数在幂指数的 位置. 位置.

课前热身 1.函数y=x2-x+2,x∈(-1,5)的值域 .函数 = + , ∈- 的值域 是________. .

7 答案: 答案:[ ,22) 4

2.

二次函数y= 图象如图所示. 二次函数 =f(x)图象如图所示.那么此函 图象如图所示 数的解析式为________. . 数的解析式为

3 2 答案: =- 答案:f(x)=- x +3 4

3.幂函数 f(x)的图象经过点 , 3), . 的图象经过点(3, 的图象经过点 , 的解析式是________. 则 f(x)的解析式是 的解析式是 .
答案: = 答案:y=x
1 2

1 4.当 α∈{-1, ,1,3}时,幂函数 y= . ∈- , 时 = 2 xα 的图象不可能经过第 的图象不可能经过第________象限. 象限. 象限
答案: 答案:二、四

考点探究· 考点探究·挑战高考

考点突跛 幂函数的性质 研究幂函数的性质主要侧重于单调性和奇偶性, 研究幂函数的性质主要侧重于单调性和奇偶性, 单调性主要研究在(0,+ 上的情形 单调性主要研究在 ,+∞)上的情形,奇偶性 ,+ 上的情形, 情况较复杂,可利用定义进行判断. 情况较复杂,可利用定义进行判断.

已知幂函数 f(x)=xm -2m-3(m∈N ) = - ∈ 轴对称,且在(0,+ 上是减函 ,+∞ 的图象关于 y 轴对称,且在 ,+ ∞)上是减函 -m -m 求满足(a+ 的范围. 数, 求满足 + 1) < (3- 2a) - 的 a 的范围 . 3 3

例1

2

*

的值, 【思路分析】 根据幂函数的性质求 的值, 思路分析】 根据幂函数的性质求m的值 的单调性求a的范围 由f(x)的单调性求 的范围. 的单调性求 的范围.

,+∞ 上递减, 【 解】 ∵ 函数 f(x)在(0,+∞ )上递减,∴ m 在 ,+ 上递减 - 2m-3<0, - < , *, 解得- < < ∵ ∈ 解得-1<m<3.∵m∈N ∴ m∈{1,2}. ∈ . 2 轴对称, 又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m - 2m-3 是 - 偶数, 偶数, 2 2 =-3 1 而 2 - 2×2-3=- 为奇数, -2×1-3=- × - =- 为奇数, × - =- 4 为偶数, 为偶数, ∴ m=1. = ,+∞ 上均为减函数, 而 y=x 在 (-∞,0),(0,+∞ )上均为减函数, = - , ,+ 上均为减函数


2

1 3

∴ (a+1) 3< (3-2a) 3等价于 a+1>3-2a>0, + - + > - > ,
- -

1

1

或 0>a+1>3-2a,或 a+1<0<3-2a. > + > - , + < < - 2 3 <-1 解得 a<- 或 < a< . <- < 3 2 2 3 的范围为{a|a<- 或 < a< }. <-1 故 a 的范围为 <- < . 3 2

【名师点评】 名师点评】

本题中易出现考虑不全面

而忽略a+ < < - ,使解析不完整. 而忽略 +1<0<3-2a,使解析不完整.

变式训练 1

的图象上, 点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上, , 在幂函数 的图象上

1 的图象上. 点 (-2, )在幂函数 g(x)的图象上. - , 在幂函数 的图象上 4 (1)求 f(x),g(x)的解析式 ; 求 的解析式; , 的解析式 (2)问当 x 取何值时有: ①f(x)>g(x); 问当 取何值时有: > ; ② f(x)= g(x);③ f(x)< g(x). = ; < .

因为点( , 在幂函数 解 :(1)设 f(x)=x .因为点 2, 2)在幂函数 f(x) 设 = 因为点 的图象上, 的图象上, 将( 2,2)代入 f(x)=xa 中,得 2= , 代入 = = ( 2)a, 解得 a=2,即 f(x)=x2. = , = 1 b g(x)= 因为点(- 2, )在幂函数 g(x)的图 设 g(x)=x ,因为点 (- 2, )在幂函数 g(x)的图 4 1 1 b 象上, - , 代入 象上, (-2, )代入 g(x)=x 中, = (-2)b, 将 = 得 - 4 4 =-2, 解得 b=- , =- -2 即 g(x)=x . =

a

(2)在同一坐标系下作出 在同一坐标系下作出f(x)=x2和g(x)=x-2的 在同一坐标系下作出 = = 图象,如图所示.由图象可知: 图象,如图所示.由图象可知: ①当x>1或x<- 时,f(x)>g(x); <-1时 > 或 <- > ; =-1时 ②当x=1或x=- 时,f(x)=g(x); = 或 =- = ; ③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x) < < 且 时 <

二次函数的最值 求二次函数在给定区间上的最值(值域 , 求二次函数在给定区间上的最值 值域),其关键 值域 是判断二次函数顶点的横坐标(或对称轴 与所给 是判断二次函数顶点的横坐标 或对称轴)与所给 或对称轴 区间的关系,然后结合二次函数的图象, 区间的关系,然后结合二次函数的图象,利用数 形结合的思想来解决问题. 形结合的思想来解决问题.

例2 已知 已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最 = , 的最

小值. 小值. 【思路分析】 思路分析】 找出对称轴, 找出对称轴,讨论二次函数的

开口方向及对称轴与区间[0,1]的关系. 的关系. 开口方向及对称轴与区间 的关系 【解】 (1)当a=0时,f(x)=- 在[0,1]上递减, 当 = 时 =-2x在 上递减, =- 上递减

=-2. ∴f(x)min=f(1)=- =-

(2)当 a>0 时, f(x)=ax - 2x 的图象的开口方 当 > = 1 向向上, 向向上,且对称轴为 x= . = a 1 f(x)= ① 当 ≤1, a≥1 时 , =ax2-2x 的图象对 , 即 ≥ a 1 1 称轴在[0,1]内,∴ f(x)在[0, ]上递减, 在 [ , 上递减, 称轴在 内 在 , 上递减 a a 1]上递增. 上递增. 上递增 1 1 2 1 ∴ f(x)min= f( )= - =- . = a a a a

2

1 ② 当 >1,即 0<a< 1 时, f(x)=ax2- 2x 的图 , < < = a 象对称轴在[0,1]的右侧, ∴f(x)在[0,1]上递减. 的右侧, 上递减. 象对称轴在 的右侧 在 上递减 ∴ f(x)min= f(1)=a-2. = - 2 (3)当 a<0 时, f(x)=ax - 2x 的图象的开口方 当 < = 1 向向下, 轴的左侧, 向向下,且对称轴 x= < 0,在 y 轴的左侧 , = , a 上递减. ∴ f(x)= ax2- 2x 在 [0,1]上递减. = 上递减 ∴ f(x)min= f(1)=a-2. = - - , < , ?a-2,a<1, ? 综上所述, 综上所述, f(x)min= ? 1 ≥ ?-a, a≥1. ?

【 名 师 点 评 】 二 次 函 数 f(x)= ax + bx+ = + c(a≠0), ≠ , 不妨设 a>0 在区间 ,n]上的最大或 > 在区间[m, 上的最大或 最小值如下: 最小值如下 : b (1)当 - ∈ [m, , n], 即对称轴在所给区间内时, 当 , 即对称轴在所给区间内时, 2a b f(x)的最小值在对称轴处取得,其值是 f(- ) 的最小值在对称轴处取得, 的最小值在对称轴处取得 - 2a 4ac- b2 - = ,f(x)的最大值在离对称轴较远的端 的最大值在离对称轴较远的端 4a 点处取得, 中的较大者. 点处取得, 它是 f(m)、 f(n)中的较大者. 、 中的较大者

2

b (2)当 - ? [m, n], 即给定的区间在对称轴的 当 , , 2a b 一侧时, 是单调函数. f(x)是单调函数 若 f(x)在 , 一侧时, 是单调函数. - < m, 在[m, , 2a n]上是增函数,f(x)的最小值是 f(m),最大值是 上是增函数, 的最小值是 上是增函数 , b f(n);若 n<- , f(x)在[m, n]上是减函数, ; <- 在 , 上是减函数, 上是减函数 2a f(x)的最小值是 f(n),最大值是 f(m). 的最小值是 , .

互动探究2 互动探究

若例2改为:已知函数 若例 改为:已知函数f(x)=x2- 改为 =
2 2

2x(0≤x≤a),求函数的最小值. ,求函数的最小值.
解 :函数 f(x)= x - 2x= (x-1) - 1, = = - , 对称轴 x= 1. = (1)当 0≤ a≤1 时, 在 [0, 上为单调减函数, f(x)在 , 上为单调减函数, a]上为单调减函数 当 ≤ ≤ 2 ∴ f(x)min= f(a)=a - 2a. = (2)当 a≥1 时, f(x)在[0,1]上单调递减 ,在 [1, 上单调递减, 当 ≥ 在 上单调递减 , a]上单调递增, 上单调递增, 上单调递增 ∴ f(x)min= f(1)=- =-1. =- 综上, 综上,当 0≤a≤ 1 时 ,f(x)的最小值为 a2-2a, ≤ ≤ 的最小值为 , 的最小值为- 当 a≥1 时, f(x)的最小值为- 1. ≥ 的最小值为

三个二次间的关系 二次函数、方程、 二次函数、方程、不等式的核心是二次函数的图 象,要注意三个二次问题的相互联系和互相转 化.

例3

已知函数f(x)=x2+ax+3, = 已知函数 + ,

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围; 当 ∈ 时 恒成立, 的范围; 恒成立 的范围 (2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围. 当 ∈- 恒成立, 的范围. 时 恒成立 的范围 【解】 成立, 成立, ∴?=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, = - , - , ∴-6≤a≤2. (1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒 恒成立, + - 恒 恒成立

a2 a2 (2)f(x)=(x+ ) + 3- , = + - 2 4 a ① 当- <-2, a>4 时 ,fmin(x)= f(- 2)=- <- , 即 > = - =- 2 2a+7, + , 1 由 -2a+7≥ a 得, a≤ 和 a> 4 矛盾, + ≥ ≤ > 矛盾, 3 a ② 当-2≤- ≤ 2,即 -4≤a≤ 4 时,fmin(x)=3 ≤ , ≤ ≤ = 2 a2 - , 4 a2 ,-6≤ ≤ , 由 3- ≥ a 得,- ≤ a≤2,∴ -4≤a≤ 2, - ≤ ≤ , 4

a <-4 ③ 当- > 2,即 a<- 时, fmin(x)=f(2)=2a , <- = = 2 + 7, , 由 2a+7≥a,得 a≥- 7, ∴-7≤a<- + ≥ , ≥ , ≤ <-4. <- 综上得 a∈ [-7,2]. ∈- .

【名师点评】 名师点评】

求函数恒满足某个条件, 求函数恒满足某个条件,就是

求函数最大(最小 值恒小于 大于)某个式子 求函数最大 最小)值恒小于 大于 某个式子, 最小 值恒小于(大于 某个式子, 这种思想方法在做恒成立的题目中经常用到. 这种思想方法在做恒成立的题目中经常用到.

变式训练3 若x∈(-3,1)时,不等式 -a)x2 变式训练 ∈- 时 不等式(1- 恒成立, 的取值范围. -4x+6>0恒成立,求a的取值范围. + > 恒成立 的取值范围
解 :将不等式变形为 ax2< x2-4x+ 6 + 不等式成立. ∵ -3< x<1, 当 x=0 时,不等式成立 . < < , = x2- 4x+ 6 + 6 4 当 x≠ 0 时,a< ≠ < , 即 a< 2- + 1, < , 2 x x x 时恒成立. 在 x∈ (-3,0)∪(0,1)时恒成立. ∈- ∪ 时恒成立 6 4 1 12 1 1 1 1 ( 设 g(x)= 2- + 1= 6·( - ) + , <- 或 > = = 3 x 3 x x x x 3 1). . 的值域为(3,+ ∴ g(x)的值域为 ,+∞ ). 的值域为 ,+∞ . 因此, ≤ 原不等式在(- 内恒成立. 因此, a≤3 时, 当 原不等式在 -3,1)内恒成立. 内恒成立

二次函数的综合应用 二次函数是高考考查的永恒主题, 二次函数是高考考查的永恒主题,常把二次函数 的解析式、图象的对称轴、值域、最值、 的解析式、图象的对称轴、值域、最值、单调性 等内容结合起来编制综合题,有一定的难度. 等内容结合起来编制综合题,有一定的难度.

例4 已知二次函数 f(x)= ax2+ bx+ c(a、b、c = + 、 、

∈ R), 且同时满足下列条件: ①f(-1)= 0;② , 且同时满足下列条件: - = ; 对任意的实数 x, , 都有 f(x)-x≥0; 当 x∈(0,2) - ≥ ; ③ ∈ x+1 2 + ). 时 ,有 f(x)≤( ≤ 2 (1)求 f(1); 求 ; (2)求 a、 b、c 的值; 求 、 、 的值; (3)当 x∈[-1,1]时,函数 g(x)=f(x)-mx(m 是 当 ∈- 时 = - 实数)是单调函数, 的取值范围. 实数 是单调函数,求 m 的取值范围. 是单调函数

【 解】

(1)∵f(x)-x≥ 0 对一切 x∈ R 恒成立, ∵ - ≥ ∈ 恒成立,

∴ f(1)- 1≥0 即 f(1)≥1. - ≥ ≥ x+1 2 + ), 又 ∵当 x∈ (0,2)时, f(x)≤( ∈ 时 ≤ 2 ∴ f(1)≤ 1.从而 f(1)= 1. ≤ 从而 = 1 1 1 的值分别为 、 、 . 4 2 4

(2)f(1)=1,∴ a+b+c=1. = , + + = 又 f(-1)=0,∴ a-b+c=0, - = , - + = , 1 a+ c= , + = 2 1 2 由 f(x)-x≥0,即 ax - x - ≥ , 解之得 2 1 b= . = 2

? ? ?

1 1 1 上恒成立, + ( - a)≥0 在 R 上恒成立 ,得 ?= - 4a( - ≥ = 2 4 2 1 1 2 a)≤0,即(4a-1) ≤0, a= .从而 c= , a 、 ≤ , ∴ 即 4 4 1 1 1 b、c 的值分别是4、 、4。 2

1 2 1 1 (3)由 (2)知 f(x)= x + x+ , 由 知 = + 4 2 4 1 2 1 1 故 g(x)= x + ( - m)x+ ,其对称轴为 x=1- = + = - 4 2 4 2m, , 上是单调函数, ∵ g(x)在[-1,1]上是单调函数, 在- 上是单调函数 ∴ 1- 2m≤- 1 或 1- 2m≥1, m≥ 1 或 m≤0. - ≤ - ≥ , 故 ≥ ≤ 故 m 取值范围是(-∞ ,0]∪[1,+∞ ). 取值范围是 - ∪ ,+∞ . ,+

【名师点评】 名师点评】

二次函数解析式的确定, 二次函数解析式的确定,应视

具体问题灵活地选用其形式, 具体问题灵活地选用其形式,再根据题设条件 列方程组,即运用待定系数法来求解,在具体 列方程组,即运用待定系数法来求解, 问题中,常常会与图象的平移、对称, 问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的 周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起. 周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.

方法感悟 方法技巧 1.二次函数 =ax2+bx+c(a≠0)在某段区间 , 在某段区间[m, .二次函数y= + 在某段区间 n]上的最值,特别是含参数的两类情况:①定轴 上的最值, 上的最值 特别是含参数的两类情况: 动区间; 动轴定区间,其解法是:抓住“三点 动区间;②动轴定区间,其解法是:抓住 三点 一轴”数形结合 该讨论时须讨论, 三点 数形结合, 三点”即区 一轴 数形结合,该讨论时须讨论,“三点 即区 间的两个端点和中点, 一轴 即对称轴. 一轴”即对称轴 间的两个端点和中点,“一轴 即对称轴. 的实根分布(区 2.二次方程 2+bx+c=0(a≠0)的实根分布 区 .二次方程ax + = 的实根分布 间根)问题 就是利用的二次函数图象来解决, 问题, 间根 问题,就是利用的二次函数图象来解决, 应抓住以下几点:开口方向、判别式?、 应抓住以下几点:开口方向、判别式 、对称轴 位置、 位置、区间端点函数值正负以及图象是否过定点 等.

3.比较大小 . (1)am与an:构建指数函数 =ax; 构建指数函数y= (2)am与bm:构建幂函数 =xm; 构建幂函数y= (3)ab与ba:往往取中间量 、1、aa或bb. 往往取中间量0、 、 4.根据图象判断幂指数大小 . 图高指小”; ,+∞)上 图高指大 图高指大”. 在(0,1)上“图高指小 ;在(1,+ 上“图高指大 . 上 图高指小 ,+

5.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一 .幂函数的图象一定会出现在第一象限内, 定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、 定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、 三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最 三象限内,要看函数的奇偶性; 多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象 多只能同时出现在两个象限内; 与坐标轴相交,则交点一定是原点. 与坐标轴相交,则交点一定是原点. 6.幂函数在(0,+ 上递增?幂指数大于 ; .幂函数在 ,+ 上递增?幂指数大于0; ,+∞)上递增 幂函数在(0,+ 上递减 幂指数小于0. 幂函数在 ,+∞)上递减?幂指数小于 ,+ 上递减?

失误防范 1.二次函数的类型有多种分类的方式,平时主 .二次函数的类型有多种分类的方式, 要是从含参数或不含参数上来探究,因而, 要是从含参数或不含参数上来探究,因而,含 参数的问题要分类讨论, 参数的问题要分类讨论,但分类的标准易理顺 不清,容易漏掉某些情况, 不清,容易漏掉某些情况,分类时要多结合图 象寻找要讨论的情况. 象寻找要讨论的情况. 2.幂函数主要分 >0与α<0两类来研究,解决 两类来研究, .幂函数主要分α> 与 < 两类来研究 问题时易遗忘有关的性质,如奇偶性, 问题时易遗忘有关的性质,如奇偶性,几类有 关的图象记不清楚导致画错图象. 关的图象记不清楚导致画错图象.

考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考

考情分析 本节内容中, 本节内容中,二次函数易与其他函数等有关知识 结合,重点是考查有关单调性及求最值的问题; 结合,重点是考查有关单调性及求最值的问题; 年江苏省高考第20题 幂函数要求降低, 如2009年江苏省高考第 题.幂函数要求降低, 年江苏省高考第 只要求掌握五种较为常见的幂函数, 只要求掌握五种较为常见的幂函数,近几年江苏 省没有单独命题. 省没有单独命题. 预测在2012年江苏高考中,两类函数单独命题的 年江苏高考中, 预测在 年江苏高考中 可能性不大, 可能性不大,还是有可能与其他知识结合起来命 估计涉及内容不会太多. 题,估计涉及内容不会太多.

规范解答


(本题满分 分)(2009年高考江苏卷 设a 本题满分14分 年高考江苏卷)设 本题满分 年高考江苏卷

为实数,函数 为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. = - - (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; 若 的取值范围; , 的取值范围 (2)求f(x)的最小值; 求 的最小值; 的最小值 (3)设函数 设函数h(x)=f(x),x∈(a,+ ,直接写出 ,+∞), 设函数 = , ∈ ,+ (不需要给出演算步骤 不等式 不需要给出演算步骤)不等式 的解集. 不需要给出演算步骤 不等式h(x)≥1的解集. 的解集

=-a|- ≥ , 【 解】 (1)因为 f(0)=- -a|≥1, 因为 =- 2 所以- > , 所以- a>0,即 a< 0.由 a ≥ 1 知 a≤ -1, < 由 ≤ , 因此, 的取值范围为(- ,-1].3 分 因此, a 的取值范围为 - ∞,- (2)设 f(x)的最小值为 g(a). 设 的最小值为 . 则有 f(x)=2x2+ (x-a)|x-a| = - - a 2 2a2 ?3( x- ) + , x>a, ? ( -3 > , ① 3 6分 =?

?(x+a) 2- 2a2, x≤a, ② ≤ , ? + )

=-2a (ⅰ )当 a≥0 时 ,f(- a)=- , ⅰ当 ≥ - =- ①②知 =-2a 由 ①②知 f(x)≥ -2a2,此时 g(a)=- 2.8 分 ≥ =-

2

a 2 2 (ⅱ )当 a<0 时 ,f( )= a . ⅱ当 < = 3 3 2 2 当 x>a, 则由① 知 f(x)≥ a ; > , 则由① ≥ 3 若 x≤a, 则 x+a≤2a< 0, ≤ , + ≤ < , 2 2 2 2 2 由 ②知 f(x)≥2a > a .此时 g(a)= a .10 分 ≥ 此时 = 3 3 - 2a2, a≥ 0, ≥ , ? ? 2 综上, 综上,得 g(a)=?2a = < ? 3 , a<0. ?

11 分

6 2 (3)(ⅰ )当 a∈ (-∞ ,- ]∪[ ,+∞ )时, ,+∞ 时 ⅰ当 ∈- ∪ 2 2 解集为(a,+ ; ,+∞ 解集为 ,+∞ ); 2 2 (ⅱ )当 a∈[- , )时 , 时 ⅱ当 ∈- 2 2 2 a+ 3- a+ 3- 2a 解集为[ ,+∞ ; 解集为 ,+∞ ); 12 分 3 6 2 (ⅲ )当 a∈(- ,- )时, ⅲ当 ∈- 时 2 2 a+ 3- 2a a- 3- 2a - - + - ]∪ [ ∪ ,+ 解 集 为 (a , 3 3 ∞ ).…… 分 . ……14
2 2

【名师点评】 名师点评】

本类问题中, 本类问题中,准确分出讨

论的类别是解题的关键,抓住自变量 的范 论的类别是解题的关键,抓住自变量x的范 围来分类讨论是主要的一条线索, 围来分类讨论是主要的一条线索,也可以 画出有关的图象,来探究解题思路. 画出有关的图象,来探究解题思路.

名师预测
1. . 已知 a= 0.16 ,b=0.25 4,c=6.254, = = = 则把 a、 、


1 2



1

1

b、c 从大到小排列为 、 从大到小排列为________. .

1 1 1 解析: 解析:因 a=0.16- ,b=0.5- , c=0.4- , = - = - = - 2 2 2 而 0.16<0.4<0.5, < < , ∴ a> c> b. > >

答案: > > 答案:a>c>b

1 1 1 2.设 a∈ {-2,- ,- , , ,1,2,3},则使 ,-1,- . ∈ - ,- , 2 3 2 f(x)= x 为奇函数且在 ,+ ∞)上单调递减的 = 为奇函数且在(0,+ 上单调递减的 ,+∞ a 的值为 的值为________. .
a

答案:- 答案:-1 :-

3.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足 1)= .若二次函数 满足f(x = = + 满足 f(x2),则f(x1+x2)=________. , =
解析: 解析:由条件知 ∴ a(x1+ x2)(x1- x2)=b(x2-x1), = , b ∴ a(x1+ x2)=- ,∴x1+ x2=- , =-b, =- a
2 2 ax1+ bx1+ c= ax2+ bx2+ c, = ,

b b2 b ∴ f(x1+ x2)=f(- )= a· 2- b· + c= c. = - = = a a a

答案: 答案:c

4.已知定义在区间[0,3]上的函数 .已知定义在区间 上的函数f(x)=kx2- 上的函数 = 2kx的最大值为 ,那么实数 的取值集合为 的最大值为3,那么实数k的取值集合为 的最大值为 ________. . 解析: 解析:∵f(x)=kx2-2kx=k(x-1)2-k, = = - , (1)当k>0时,二次函数开口向上, 当 > 时 二次函数开口向上, 有最大值, 当x=3时,f(x)有最大值,f(3)=k×32-2k×3 = 时 有最大值 = × × =3k=3?k=1; = ? = ; (2)当k<0时,二次函数开口向下, 当 < 时 二次函数开口向下, 有最大值, =-k= 当x=1时,f(x)有最大值,f(1)=k-2k=- = = 时 有最大值 = - =- 3?k=- =-3. ? =- (3)当k=0时,显然不成立. 当 = 时 显然不成立. 的取值集合为{- 故k的取值集合为 -3,1}. 的取值集合为 . 答案: - 答案:{-3,1}

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