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成都七中高2014级高一上期半期考试题


成都七中 2011-2012 学年上期
2014 级半期考试数学试卷 考试时间:120 分钟 总分:150 分
命题人:张世永 审题人:杜利超 罗林丹 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

1.已知集合 M ? ?x | x ? ?3? ,N= ?x | x ? 2?,则以下正确的是( A. ? 4 ? N B. ? 3 ? M C. {2} ? M

) D. M ? N )

2.已知集合 M ? ?0, 1?,集合 N 满足 M∪ N={0,1},则集合 N 的个数为( A.1 B.2
C.3 ) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) D.4

3.函数 f (x) ? 1 ? x ? x ? 2 ? 1 的定义域为(

( ? 2,1 ) A.

B. [-2,1]

4.函数 f (n) ? 2n ? 1, n ? {1, 2, 3} 的图象为( A.某直线上三个离散点
C.一条线段 5.函数 f ( x ) ? A.2



B.一条直线 D.某直线上无数个离散点 ) C. )
5

2 在 x∈[2,5]上的最小值为( x ?1
B.1

2 3 1 x

D.

1 2 1 x4
3 4

6.以下函数为 R 上的偶函数的是( A. y ? x
2

B. y ? x

C. y ? x ?

D. y ?

7.以下结论错误的是( )

1 A. log 3 4 ? log 3 ? 0 4

2 B. lg 100 ? 5
5

? 16 ? C. ( x ? y ) ? x ? y D . ? ? ? 81?
4 4

?

?

27 8

8.给出四个数 log0.8 1.6 , log0.8 1.8 ,1.70.3,0.93.1,它们的大小关系正确的是( A. log0.8 1.6 > log0.8 1.8 >1.70.3>0.93.1
C.1.7 > log0.8 1.8 > log0.8 1.6 >0.9
0.3 3.1



B.1.70.3>0.93.1> log0.8 1.6 > log0.8 1.8
D. 0.9 >1.7 > log0.8 1.6 > log0.8 1.8
3.1 0.3

9.已知 lg2=a,lg3=b,则用 a、b 表示 log12 15 的结果为( A.
a?b 2a ? b


1? a ? b a ? 2b
( ) y

B.

1? a ? b 2a ? b
y

C.

a?b a ? 2b
y
1

D.

10.已知函数 f(x)=2x,则 f(1-x)的图象为
y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

?2x ? a 11.已知实数 a≠0,函数 f ( x ) ? ? ?? x ? 2a
A. ?
3 2
B. ? 3或 ?

( x ? 2) ,若 f (2 ? a ) ? f (2 ? a ) ,则 a 的值为( ) ( x ? 2)
C.

3 2

3 2

D.3 或

3 2

12.已知函数 f (x) ? 3x ? 3 x ,若 3t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [?2, ? 1] 恒成立,则实数 m 范围 是( )
?1 ? A. ? , ? ? ? ?9 ? 1? ? B. ? ? ?, 9? ? ?
C. ?

?10 ? , ? ?? ?9 ?

D. ? ? ?,

? ?

10? 9? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上

13.函数 y ? log2 (3 ? x) ? x 0 的定义域为
?1? 14.函数 y ? ? ? ?2?
3? 2 x ? x 2

. .

的单调递增区间为

15 . 已 知 函 数 f (x) ? x l g x ( ? 1 ? x 2 ) , 且 f (2 ? a ) ? f (?1) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .
1 ,且 2

16 .已知函数 f(x) 的定义域为 R ,对任意实数 x, y 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ?

1 1 1 3 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时,f(x)>0.给出以下结论:① f (0) ? ? ;② f ( ?1) ? ? ;③ f(x)为 R 2 2 2 2 1 上减函数;④ f ( x ) ? 为奇函数;⑤ f(x)+1 为偶函数. 2

其中正确结论的序号是 17.已知函数 f ( x ) ? lg (1)求集合 A,B; (2)求 A∩B, (CRA)∩(CRB).

.

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

1? x 的定义域为集合 A,函数 g(x) ? 3 ? x 的定义域为集合 B. 1? x

18.已知函数 f (x) ? x 2 ? mx ? 4 , g(x) ? x 2 ? 2x ? 2m .
2

(1)若方程 f ( x ) ? 0 与 g( x ) ? 0 至少有一个有实根,求实数 m 的范围; (2)若方程 g( x ) ? 0 在区间( ? ?, ? 2 )与( ? 2, 1 )各有一个实根,求实数 m 的范围.

19.在边长为 1 的正方形 ABCD 的边界上,有动点 P 从顶点 A 出发,依次经过 B、C、D 而回到 A.今以 x 表示动点 P 走过的路程,y 表示以 AP 为边的正方形的面积,试求函 数 y ? f ( x ) 的解析式,并画出 f ( x ) 的图象.
D

C

P
A

B

20.已知函数 f (x) ? a ? 4 x ? a ? 2 x?1 ? 2 在区间[-2,2]上的最大值为 3,求实数 a 的值.

21.已知奇函数 f ( x ) ? ax ?

b ?1 ) ? c 的图象经过点 A(1,1) , B(2, . x

(1)求函数 f(x)的解析式;
3

(2)求证:函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数; (3)若 | t ? 1 |? f ( x ) +2 对 x ? [?2, ? 1] ? [1, 2] 恒成立,求实数 t 的范围.

0) 22.已知函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) , B( ? 1, ,且函数 h( x) ? 2 p x (p>0)

与函数 f ( x) ? m x ? n 的图像只有一个交点. (1)求函数 f ( x) 与 h( x) 的解析式; (2)设函数 F(x) ? f (x) ? h(x) ,求 F( x ) 的最小值与单调区间; (3)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log4 [f (x ? 1) ? 1] ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) .

4

成都七中 2011-2012 学年上期 2014 级半期考试数学试卷(参考答案)
考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:张世永 审题人:杜利超 罗林丹
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )

CDBA

DACB

BCAC 14. [-1,1] 16. ① ②④

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13. {x|x<3,且 x≠0} 15. (1,3)

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.解: (1)由

1? x x ?1 ? 0 ,得 ? 0 ,则 ? 1 ? x ? 1 , 1? x x ?1
……3 分 ……6 分 ……9 分

∴A ? {x | ?1 ? x ? 1}. 由 3 ? x ? 0 ,得 x ? 3 , B ? {x | x ? 3} . (2) A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1} ; 又 C R A ? {x | x ? ?1, 或x ? 1} ,CRB={x|x>3}, ∴(C R A) ? (C R B) ? {x | x ? 3} .

……12 分

18.解: (1)由 x 2 ? mx ? 4 ? 0 有实根,得 ? ? m 2 ? 16 ? 0 , 则 m ? ?4 或 m ? 4 ;
……2 分

1 由 x 2 ? 2x ? 2m ? 0 有实根,得 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,则 m ? ? . ……4 分 2 1 综上得 m ? ?4 或 m ? ? . ……6 分 2

?m ? 0 ?g(?2) ? ?2m ? 0 3 ? (2)由 ? ,得 ? . 3 ,则 0 ? m ? 2 g ( 1 ) ? 3 ? 2 m ? 0 m ? ? ? 2 ?
19.解:当 0 ? x ? 1 时, AP ? x , f (x) ? x 2 ; 当 1 ? x ? 2 时, AP ? 1 ? ( x ? 1) 2 , f (x) ? (x ? 1) 2 ? 1 ; 当 2 ? x ? 3 时, AP ? 1 ? (3 ? x ) 2 , f (x) ? (x ? 3) 2 ? 1 ; 当 3 ? x ? 4 时, AP ? 4 ? x , f (x) ? (4 ? x) 2 .

……12 分

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分

5

?x 2 ? 2 ?( x ? 1) ? 1 ∴y ? ? 2 ?( x ? 3) ? 1 ?( x ? 4) 2 ?

x ? (0, 1] x ? (1, 2] x ? (2, 3] x ? (3, 4)
. ……10 分

y

2 1

O

1

2

3

4

x

……12 分

20.解:令 t ? 2 x ,则 g (t ) ? at 2 ? 2at ? 2 ( 当 a ? 0 时, g (t ) ? 2 ? 3 ,舍去 a=0; 当 a ? 0 时, g (t ) ? a(t ? 1) 2 ? 2 ? a ;

1 ? t ?4) 4
……4 分

当 a>0 时, g (t ) max ? g (4) ? 8a ? 2 ? 3 ,∴a ? 当 a<0 时, g (t ) max ? 2 ? a ? 3 ,∴a ? ?1 . 综上, a ?
1 或 a ? ?1 . 8
……12 分

1 . 8

……7 分 ……10 分

21.解: (1)由 x≠0,f(x)为奇函数,得 f (?x) ? f (x) ? 0 ∴ 2c=0,即 c=0, f ( x ) ? ax ?
b . x

?a ? b ? 1 ?a ? ?1 ? 又 f(x)的图象过 A、B,则 ? ,解得 ? . b 2a ? ? ?1 ?b ? 2 ? 2 ?
∴f ( x ) ? ? x ?
2 (x≠0) . x
……4 分

(2)证明:设任意 x1,x2∈ (0,+∞) ,且 x1<x2.
6

∴f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? (?x 1 ?

2 2 2 2 ) ? (? x 2 ? ) ? ( x 2 ? x 1 ) ? ? x1 x2 x1 x 2

? (x 2 ? x1 ) ? ?

2( x 2 ? x 1 ) x1x 2

( x 2 ? x 1 )(x 1 x 2 ? 2) . x1x 2

由 x1,x2∈ (0,+∞) ,得 x1x2>0,x1x2+2>0. 由 x1<x2,得 x 2 ? x1 ? 0 . ∴f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ,即 f (x1 ) ? f (x 2 ) . ∴ 函数 f ( x ) ? ? x ?
2 在(0,+∞)上为减函数. x
……8 分

(3)由 f(x)为奇函数,知 f(x)在( ? ?, 0 )也为减函数. 当 x ? [?2, ? 1] 时, f (x) min ? f (?1) ? ?1 当 x ? [1, 2] 时, f (x) min ? f (2) ? ?1 综上, f ( x ) min ? ?1 ,从而 | t ? 1 |? 1 ∴0 ? t ? 2 .
……12 分

22.解: (1)由函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) ,B(-1,0) , 得 m ? n ? 2 , - m ? n ? 0 ,解得 m ? n ? 1 ,从而 f ( x) ? x ? 1 . ……2 分 由函数 h( x) ? 2 p x (p>0)与函数 f ( x) ? x ? 1 的图像只有一个交点, 得 x - 2 p x ? 1 ? 0 , ? ? 4 p 2 ? 4 ? 0 ,又 p ? 0 ,从而 p ? 1 , . ? h( x) ? x (x≥0)
……4 分

1 3 (2) F( x ) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? (x≥0). 2 4 1 1 3 当 x ? ,即 x ? 时, F( x ) min ? . ……6 分 2 4 4 1 1 F( x ) 在 [0, ] 为减函数,在 [ , ? ?] 为增函数. ……8 分 4 4

(3)原方程可化为 log4 (x ? 1) ? log2 a ? x ? log2 4 ? x ,

7

即 log 2 a ? x ?

1 log 2 ( x ? 1) ? log 2 4 ? x ? log 2 2

?

x ?1 ? 4 ? x .

?

?

?x ? 1 ? 0 ?4 ? x ? 0 ? ? ?a ? x ? 0 ? ?a ? x ? ( x ? 1)(4 ? x )
令 y ? ?(x ? 3) 2 ? 5 ,y=a.
y

?

?1 ? x ? 4 ? . ?x ? a ?a ? ?( x ? 3) 2 ? 5 ?

……10 分

5
4

1

O

1

3

4

x

如图所示, ①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有两解 x1 ? 3 ? 5 ? a , x 2 ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a=5 时,原方程有一解 x=3; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解.
……14 分

8


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