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高中数学人教A版必修4课件:1.6三角函数模型的简单应用 _图文

1.6 三角函数模型的简单应用

三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式. (2)将实际问题抽象为与_三__角__函__数__有关的简单函数模型. (3)利用搜集的数据作出_散__点__图__,并根据_散__点__图__进行函 数拟合,从而得到函数模型.

【点拨】(1)三角函数应用题的三种模式 ①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型, 结合三角函数的性质,解决一些实际问题; ②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数模 型,再解决其他问题;

③整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图, 通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数 模型,进一步用函数模型来解决问题.

(2)三角函数在生产、生活中的应用 ①现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际 问题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过 观察散点图,进行函数拟合,获得具体的函数模型;

②应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背 景中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助 理解问题; ③在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件.

【自我检测】

1.已知某人的血压满足函数解析式

f(t)=24sin(160π t)+115.其中f(t)为血压(单位:

mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数

为( )

A.60

B.70

C.80

D.90

【解析】选C.由题意可得频率f= 1 = 1 6 =0 ? 80(次/分),

T

2?

所以此人每分钟心跳的次数是80.

2.做简谐运动的物体,其位移随时间的变化规律为

y=2sin(50π t+ ?
6
【解析】T= 2 ?
50?
答案:0.04

)cm,则它的周期为________s. =0.04.

3.如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要 ________s往复一次.

【解析】由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动 需要0.8s往复一次. 答案:0.8

4.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=

5sin (100?t ? ? ) ,则当t= 1 s时,电流强度I为_____

3

200

___A.

【解析】当t ? 1 s时,I ?5sin(100?? 1 ??)

200

200 3

?5sin(???) ? 5. 23 2

答案:5 2

5.如图所示的图象显示的是相对于平均海 平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h 内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0 时开始的时间x的函数关系式为________.

【 解 析 】 将 其 看 成 y ? A sin (? x ? ? )的 图 象 , 由 图 象 知 :

A ? 6, T ? 12,

所 以 ? ? 2? ? ? ,下 面 确 定 ?. T6
将 ( 6 ,0) 看 成 函 数 图 象 的 第 一 特 殊 点 ,

则 ? ? 6 ? ? ? 0 .所 以 ? ? ? ?. 6

所 以 函 数 关 系 式 为 : y ? 6sin( ? x ? ?) ? ?6sin ? x.

6

6

答 案 : y ? ?6sin ? x( 答 案 不 唯 一 ) 6

类型一 三角函数图象与解析式的对应关系 【典例】1.(2018·襄阳高一检测)函数y=x+sin|x|, x∈[-π ,π ]的大致图象是 ( )

2.(2018·厦门高一检测)如图是周期为2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那么f(x)= ( )

A.sin(1+x) C.sin(1-x)

B.sin(-1-x) D.sin(-1+x)

【审题路线图】1.判断图象?函数奇偶性. 2.解析式?关键点?(1,0)?特殊区间?函数值的正负. 【解析】1.选C.y=x+sin|x|,x∈[-π,π]既不是奇函数 也不是偶函数,故选C. 2.选C.图象过点(1,0),排除A,B;对于D当x∈(0,1) 时,f(x)<0,故选C.

【方法技巧】解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决, 如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此 外零点也可以作为判断的依据.

(2)利用图象确定函数y=Asin(ω x+φ)的解析式,实质 就是确定其中的参数A,ω ,φ.其中A由最值确定;ω 由 周期确定,而周期由特殊点求得;φ由点在图象上求得, 确定φ时,注意它的不唯一性,一般要求|φ|中最小的 φ.

【变式训练】(2018·长春高一检测)函数f(x)= sin x x∈[-π ,π ]的大致图象是如图中的 ( )
1- sin 2x

【解析】选B.

f

?x? ?

sin x cos x

????????- tantaxn(- x(- ?2???xx???2- ),?2或?2

?x??),

故选B.

【补偿训练】函数y=ln(cosx) (? ? ? x ? ?) 的大致图

2

2

象是 ( )

【解析】选A.y=ln(cosx)

(?

? 2

?

x

?

?) 2

是偶函数,可排

除B,D,又cosx≤1,所以y=ln(cosx)≤ln1=0,所以函数

的图象不能在x轴上方,排除C.

类型二 三角函数在物理学中的应用 【典例】电流强度I与时间t的关系式为I=Asin(ω t+φ) (A>0,ω >0).

(1)在一个周期内I=Asin(ω t+φ)的图象如图所示,试 根据图象写出I=Asin(ω t+φ)(t≥0)的解析式.

(2)为了使I=Asin(ω t+φ)(A>0,ω >0)中t在任意一段
1 秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小
10 0
值-A,那么正整数ω 的最小值是多少?

【审题路线图】解析式?图象?周期、振幅?与x轴的 交点,图象的最高点、最低点.

【解析】(1)由题图知,A ? 300, T ? 1 ? 1 ? 1 ,T ? 1 , 2 60 150 100 50

所以? ? 2? ? 100?. T

因为( ? 1 ,0)是该函数图象的第一个点(五点作图法), 300

所以-? ? ? 1 ,所以? ? ? ? ? .

? 300

300 3

所以I ? 300sin(100?t ? ? )(t ? 0). 3

?2?问 题 等 价 于 T?1,即 2??1,
100 ? 100 所 以 ??200?,所 以 最 小 的 正 整 数 ?为 629.

【延伸探究】 1.在本例(1)中其他条件不变的情况下,当t=10秒时的 电流强度I应为多少?

【解析】求解析式过程同本例(1)解析,将t=10秒代入 I=300sin (100?t ? ? ) (t≥0),可得:I=150 3 (安培).
3

2.在本例(1)中条件不变的情况下,当I=150安培时,需 要经过多长时间?(t≥0)

【 解 析 】 由 题 意 得 300sin(100 ?t ? ? ) ? 150, 3

即 sin(100?t ? ? ) ? 1 . 32

所 以100?t ? ? ? ? ? 2k?, k ? N *, 36

或100?t ? ? ? 5 ? ? 2k?, k ? N. 36

解 得 t ? ? 1 ? k( k ? N * ) 或 t ? 1 ? k( k ? N ).

600 50

200 50

【方法技巧】处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波 等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振 幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识 结合解题.

【补偿训练】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s= 6sin(2?t ? ?).
6
(1)作出它的图象. (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (4)单摆来回摆动一次需多长时间?

【解析】(1)列表如下:

描点作图:

(2)t=0时,s=3cm,此时离开平衡位置3厘米.
(3)离开平衡位置6厘米. (4)因为T=2 ? =1,
2?
所以来回摆动一次所需的时间为1秒.

类型三 三角函数在实际生活中的应用 【典例】1.(2018·青岛高一检测)甲、乙两人从直径为 2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿 水池做匀速圆周运动,已知甲的速度是乙的速度的两倍, 乙绕水池一周停止运动,若用θ 表示乙在某时刻旋转角 的弧度数,l表示甲、乙两人的直线距离,则l=f(θ )的大 致图象是 ( )

2.(2018·沧州高一检测)如图所示:

游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要12分钟, 其中心O距离地面40.5米,半径为40米,如果你从最低处 登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变 化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关 系式. (2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?

【审题路线图】1.判定图象?特殊角,当θ =π?排除选 项?直线距离不可能为负?确定选项. 2.(1)函数关系式?选用函数模型?周期?最值. (2)时间?函数解析式?转圈第一次?结合周期,高度.

【解析】1.选B.由题意知,θ =π 时,两人相遇,排除A,C; 两人的直线距离不可能为负,排除D.

2.(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式,由已知

可设y=40.5-40cosωt,t≥0,由周期为12分钟可知当

t=6时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最

大值,所以6ω=π,即ω= .? 所以y=40.5-40cos ?t

6

6

(t≥0).

(2)设转第1圈时,第t0分钟时距地面60.5米,由60.5?40.5

?40cos?6t0,得cos?6t0

??12,所以?6t0

?23?或?6t0

?4?, 3

解得t0 ?4或8.

所以t ?8(分钟)时,第2次距地面60.5米,故第4次距离地面

60.5米时,用了12?8?2( 0 分钟) .

【方法技巧】解三角函数应用问题的基本步骤

【拓展延伸】建立函数模型解决实际问题的基本思路 (1)寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正 切型函数模型. (2)搜集数据,建立三角函数解析式并解题. (3)将结果翻译成实际答案,要注意根据实际作答.

【变式训练】(2018·成都高一检测)已知某海滨浴场的 海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记 y=f(t),下表是某日各时的海浪高度数据:

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1

0.5

0.99

1.5

经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数 y=Acosω t+b的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式. (2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开 放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间, 有多少时间可供冲浪者进行活动?

【解析】(1)由表中数据可知,T ?12, 所以? ? ?,又t ? 0时y ?1.5,
6 所以A ? b ?1.5;t ? 3时y ?1.0得b ?1.0, 所以振幅为1,y ? 1 cos ? t ?1.
2 26

?2? y ?1时,才对冲浪爱好者开放,所以y ? 1cos ?t ?1?1,
26

cos ?t ?0,2k?-? ? ?t ? 2k?? ?(k?Z),

6

26

2

即12k-3? t ?12k?3(k?Z),

又0? t ? 24

所以0? t ?3或9? t ?15或21? t ? 24,

所以在规定时间内只有6个小时可以进行活动,即9? t ?15.

【核心素养培优区】 【易错案例】 三角函数模型问题 【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简 谐运动,B,C两点相距20cm,某时刻振子处在B点,经0.5 秒振子首次到达C点,则振子在5秒内通过的路程为 _1_0_0_c_m_.

【失误案例】因为B,C相距20cm,所以振幅A=20cm,又因 为振子从B点经过0.5秒首次到达C点,所以周期 T=0.5s,5秒内通过的路程为5A=100cm.

【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的原因在于没弄清楚B,C相距20cm应为振幅 的2倍,即2A=20cm,周期T的求解错误.

编后语
? 做笔记不是要将所有东西都写下,我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度,才能算详略得当呢?对此很难作出简单回答。 课堂笔记,最祥可逐字逐句,有言必录;最略则廖廖数笔,提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
? 讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 ? 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科,笔记就越需要完整。 ? 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识,那么就必须做完整的笔记。 ? 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”,把主要精力放在做笔记上,常常为看不清黑板上一个字或一句话,不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
全的人,主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.,这样不仅失去了做笔记的意义,也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录, 便无暇紧跟老师的思路﹚。 ? 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容,那你的笔记就可能显得有些凌乱。 ? 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记,故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上,理解正是做好提纲式笔记的关键。 ? 课堂笔记要注意这五种方法:一是简明扼要,纲目清楚,首先要记下所讲章节的标题、副标题,按要点进行分段;二是要选择笔记语句,利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记;三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边,这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上,前提是你 能听懂﹚;四是数理化生等,主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题;五是政治、历史等,着重记下老师对问题的综合阐述。

2019/8/29

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谢谢欣赏!

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