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高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课件

最新考纲 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的 图象,了解三角函数的 周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ]上 的性质(如单调性、 最大值和最小值、 图象 与 x 轴的交点等),理解正切函数在 (π π , )内的单调性. 2 2 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 知识链条完善 把散落的知识连起来 1.所有的周期函数都有最小正周期吗? 提示:不是所有的周期函数都有最小正周期.如函数f(x)=c(c为常数) 的周期为任意非零实数,但没有最小正周期. 2.正切函数y=tan x在定义域是增函数吗? 提示:不是,正切函数 y=tan x 在每一个区间(kπ函数,但在定义域内不是单调函数. π π ,kπ+ )k∈Z 上都是增 2 2 知识梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] {x︱x≠ π 2 +kπ ,k∈Z} R 单调性 π π? ? 在 ?2kπ ? ,2kπ ? ? 2 2? ? (k∈Z)上单调递增; π 3 ? ? 在 ?2kπ ? ,2kπ ? π ? 2 2 ? ? (k∈Z)上单调递减 π x= 2kπ ? ? k ? Z ? 时, 2 在[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z)上单调递增; 在[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)上单调递减 π π? ? 在 ? kπ ? , kπ ? ? 2 2? ? (k∈Z)上 单调递增 x= 2kπ (k∈Z) ymax=1; x=2kπ +π (k∈Z) 时,ymin=-1 时, 无最值 最值 奇偶性 ymax=1; π x=2kπ - (k∈Z)时, 2 ymin=-1 奇函数 对称中心 (kπ ,0)(k∈Z) 对称性 对称轴 l: π x ? kπ ? ? k ? Z ? 2 周期 2π 偶函数 对称中心 π ? ? k π ? ,0 ? ? 2 ? ? (k∈Z) 对称轴 l: x=kπ (k∈Z) 2π 奇函数 对称中心 ? kπ ? ? ,0 ? (k∈Z) ? 2 ? π 【重要结论】 对称与周期: (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期, 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 1 周期. 4 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. 夯基自测 1.(2015 三明模拟)下列函数中,以π 为周期的偶函数是( D (A)y=sin 2x (B)y=cos x 2 ) x (C)y=sin (D)y=cos 2x 2 解析:由正余弦函数周期求解公式可知 y=sin 2x,y=cos 2x 的周期为 π,y=cos x x ,y=sin 的周期为 4π, 2 2 其中 y=cos 2x 是偶函数. 2.(2016 东北四校联考)函数 f(x)=sin (x( π )的图象的一条对称轴是 4 C ) π 4 (A)x= (B)x= π 2 π ), 4 (C)x=- π 4 (D)x=- π 2 解析:对于函数 f(x)=sin (x令 xπ π 3π = +kπ? x=kπ+ , 4 2 4 所以当 k=-1 时,函数的一条对称轴为 x=- π . 4 3.函数 f(x)=sin(2x2 (B)2 π π )在区间[0, ]上的最小值为( 4 2 B ) (A)-1 (C) 2 2 (D)0 解析:由 x∈[0, π π π 3π ]得 2x- ∈[- , ], 2 4 4 2 所以 sin(2x- π 2 )∈[,1]. 4 2 π 2 ]上的最小值为. 2 2 即函数 f(x)在[0, 4.(2015 临沂八校联考)函数 y=tan x(x∈[解析:因为函数 y=tan x 在区间[所以当 x=当 x= π 时有最小值为-1, 4 π π , ])的值域是 4 3 . π π , ]上为增函数, 4 3 π 时有最大值为 3 , 3 所以其值域为[-1, 3 ]. 答案:[-1, 3 ] 5.函数 y=sin(2x+ 解析:令得- π )的单调递增区间为 3 . π π π +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 5 π π+kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 12 12 π )的单调递增区间为 3 所以函数 y=sin(2x+ 5 π [- π+kπ, +kπ],k∈Z. 12 12 5 π π +kπ , +kπ ],k∈Z 12 12 答案:[- 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 三角函数的定义域与简单的三角不等式 【例 1】 (1)(2015 深圳模拟)函数 y= sin x ? cos x 的定义域为 解析:(1)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图 所示.在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 所以定义域为{x︱ π 5π +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 4 4 π 5π , , 4 4 . 答案:(1){x︱ π 5π +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z} 4 4 (2)不等式2sin x-1≥0的解集为 . 1 解析:(2)不等式 2sin x-1≥0.即 sin x≥ . 2 如图所示, 作出函数 y=sin x 在区间[0,2π]内的图象, 1 其中直线 y= 与曲线 y=sin x,x∈[0,2π]的交点 M, 2 π 5π M'的横坐标分别是 , . 6 6 1 π 5π 观察图象可知,在[0,2π]内满足 sin x≥ 的 x 的集合为{