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1.5.2 直线与平面平行的性质


5.2 平行关系的性质
第1课时 直线与平面平行的性质

1、使学生掌握直线与平面平行的性质,并会应用性质解 决问题; 2、理解直线与平面的位置关系要转化为直线与直线的位 置关系的转化思想;

3、让学生在发现中学习,增强学习的积极性;让学生了
解空间与平面互相转换的数学思想.

前面我们知道了如何来判断直线与平面平行,那么,
已知直线和平面平行,我们又能有怎样的结论呢?

探究1:如果直线a与平面α 平行,那么直线a与平面α 内 的直线有哪些位置关系?

a α
异面

a
b

α
平行

b

探究2:若直线a与平面α 平行,那么在平面α 内与直线a平
行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

a α
b

有无数条,这些直线之间互相平行.

探究3:如果直线a与平面α 平行,那么经过直线a的平面 与平面α 有几种位置关系?

a

a

α
平行

α
相交

探究4:如果直线a与平面α 平行,经过直线a的平面与平面 α 相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行. β

a b

因为a∥α ,所以a 和α 没
有公共点. 又因为b在α 内,所以b和 a也没有公共点. 而a和b都在平面β 内,又

α

没有公共点,所以a∥b.

探究5:综上分析,在直线与平面平行的条件下可以得
到什么结论?并用文字语言表述之.

β

a b

α
定理5.3

如果一条直线与一个平面平行,那么过该

直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.

上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理,该 定理用符号语言可怎样表述?

β

a b

α

a / /? , a

? , ? ? ? ? b ? a / /b

思考交流
直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行, 则线线平行”,在实际应用中它有何功能作用?

β

a

α

b

提供了作平行线的方法,并且是判断线线平行的依据.

直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行 直线和平面平行的性质定理.

注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行,

则就可以得到这条直线和这个平面平行;但是若一条直线
与一个平面平行,则这条直线并不是和平面内的任一条直 线平行,它只与该平面内与它共面的直线平行.

例1 如图A,B,C,D在同一平面内,AB∥平面α ,AC∥BD,且

AC,BD与α 分别交于点C,D求证:AC=BD. 证明 连接CD. A B

因为A,B,C,D在同一平面内, AB∥平面α, 所以AB∥CD. 又因为AC∥BD, 所以四边形ABCD是平行四边形 因此 AC=BD. α C

D

例2

如下图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平

面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP 作平面交平面BDM于GH. 求证:AP∥GH.

例2 如下图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM 于GH. 求证:AP∥GH. 解 如右图,连结AC,设AC交BD于O,连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点,∴MO∥PA. 又∵MO 平面BDM,PA 平面BDM,

∴PA∥平面BDM.
又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH, ∴AP∥GH.

如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直 线就和它们的交线平行. 已知a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b. 证明:过a作平面δ,δ∩β=c, ∵a∥β,∴a∥c. 过a作平面γ, γ∩α=d,∵a∥α,∴a∥d.

由公理4得c∥d.
∵ d α, c α,∴c∥α. 又∵c β,α∩β=b, ∴c∥b,又c∥a,∴a∥b.

5、如图,已知直线a,b,平面α ,且a//b,a//α ,a,b都在平 面α 外.求证:b//α . 证明 过a作平面β,使它与平面α相 交,交线为c. 因为a//α,a?β,α∩β=c,所以 a// c.

因为a//b,所以,b//c.
又因为c?α, b? α, 所以 b// α.

1、教室内的日光灯管所在的直线与地面平行,如何在
地面上作一条直线与灯管所在的直线平行? 答:只需由灯管两端向地面引两条平行线,过两条平 行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线.

1.已知直线l∥平面α,直线m?α,则直线l和m的位 置关系是 ) A.相交 C.异面 解析:l与m平行或异面. B.平行 D.平行或异面 (

答案:D

2.如图,直线a∥平面α,点A在α另一侧,点
B、C、D∈a.线段AB,AC,AD分别交α于 点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=4, 则EG=________.
解析:由线面平行的性质可知,BD∥EG ∴△AEG∽△ABD. EG AF ∴BD=AC. AF 4 ∴EG=AC· BD=8×4=2.

答案:2

2.已知直线a、b和平面α 、β ,则在下列命题中,真
命题为(

B ) α ,则a∥β
α ,b β ,则a∥b

A.若a∥β ,α ∥β ,则a∥α

B.若α ∥β ,a
C.若α ∥β ,a

D.若a∥β ,b∥α ,α ∥β ,则a∥b 【解析】A中a可能在α内,C中a、b可能异面,D中a、b 可能异面,B中α∥β,a ∴a∥β. α,则a与β无公共点,

3.已知α ∥β ,a 线中( D )

α ,B∈β ,则在β 内过点B的所有直

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 【解析】因为a与B确定一个平面,该平面与β的交线即 为符合条件的直线.

线面平行的判定定理 线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行. 线面平行的性质定理

线面平行

线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面 和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴,从此
就怀疑没有蓝天彩霞。


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