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必修5-3.4基本不等式课件(人教A版必修5)


这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。

思考:这会标中含有怎样的 几何图形? 思考:你能否在这个图案中找 出一些相等关系或不等关系?

D

探究1:

a ?b
2

2

a ?b 1、正方形ABCD的面积S=_____
2 2

b
G A F E

2ab C 2、四个直角三角形的面积和S’ =__
3、S与S’有什么样的不等关系?
S >S ′ 即

a H

a 2 ? b2 ? 2ab(a ? b)

B

问:那么它们有相等的情况吗?

D

D
b G A H

a 2 ? b2
F
E a C A b

E(FGH)

a

C

B

B

a 2 ? b2 ? 2ab(a ? b)

a 2 ? b2 ? 2ab(a ? b)

猜想: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 a 2 ? b 2 ? 2ab 当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式

a ? b ≥2ab
2 2
2

的证明吗?

2 2 2 a ? b ? 2 ab ? ( a ? b) 证明:(作差法)

当a ? b时 (a ? b) ? 0
当a ? b时 (a ? b) ? 0
2

2 2 所以 a ? b ≥2ab. 所以(a ? b) ≥0

2

重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:a ? b≥2 ab

a?b ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 即: 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a ? b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
a?b 证明:要证 ≥ ab 2 只要证 a ? b≥ _______ 2 ab

分 析 法
① ②
2

要证①,只要证

2 ab ≥0 a ? b ? _____
2

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) ) 2 b a 要证②,只要证 (___ ? ___) ≥0
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.



基本不等式 特别地,若a>0,b>0,则

≥ a ? b _____ 2 ab

a ? b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围:a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0
两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数

适用范围

a,b∈R
两数的平方和不小于它 们积的2倍

文字叙述
“=”成立条件

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

基本不等式
对基本不等式的两种理解 (1)数列理解 a+b 如果把 看作是整数 a,b 的等差中项, ab看作是正数 a,b 2 的等比中项, 则该定理可以叙述为: 两个正数等差中项不小于它们的 等比中项.

(2)几何理解 以 a+b 长的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a, CB=b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,则 CD= ab.因为圆的 a+b a+b 半径为 ,所以 ≥ ab,其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a 2 2 =b 时,等号成立,则该定理又可以叙述为: 半径不小于半弦.

【想一想】 基本不等式中的a,b可以是代数式吗? 提示:可以,但代数式的值必须是正数,否则不成立.

【练一练】 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是___. 2.请用作差法证明基本不等式.

?对基本不等式的理解

(1)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< <b 2

)

(2)给出下面四个推导过程: b a ①因为 a,b∈(0,+∞),所以a+b≥2 ba a· b=2;

②因为 x,y∈(0,+∞),所以 lg x+lg y≥2 lg x· lg y; 4 ③因为 a∈R,a≠0,所以a+a ≥2 4 · a = 4 ; a

?? x ? ? y ?? x y ④因为 x,y∈R,xy<0,所以 y +x=-??- y ?+?-x??≤ ?? ? ? ??

-2

? x?? y ? ?- ??- ?=-2. ? y ?? x ?

? 其中正确的推导过程为( ? A.①② B.②③

) C.③④ D.①④

【自主解答】 (1)选 B.方法一:∵b>a>0, a+b a+b ∴ > ab,2b>b+a,∴b> , 2 2 a+b ∴a< ab< <b . 2 a+b 方法二:取 a=2,b=8,则 ab=4, =5, 2 a+b 所以 a< ab< <b . 2

(2)选 D. 从基本不等式成立的条件考虑. b a ①因为 a,b∈(0,+∞),所以a,b∈(0,+∞),符合基本不等 式的条件,故①的推导过程正确; ②虽然 x,y∈(0,+∞),但当 x∈(0,1)时,lg x 是负数,y∈(0,1) 时,lg y 是负数,所以②的推导过程是错误的; ③因为 a∈R,不符合基本不等式的条件, 4 所以a+a≥2 4 · a = 4 是错误的; a

x y x y ④由 xy<0 得 y ,x均为负数,但在推导过程中将全体 y +x提出负 y y 号后,-x,-x均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.

?
?

基本不等式的理解及应用 (1)应用基本不等式的“题眼”

?

若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,这便是应用基本不

等式的“题眼”,可考虑是否利用基本不等式解决.

?
?

(2)利用基本不等式比较实数大小
①在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0.

?

②解题过程中注意不等式性质和函数性质的应用.

1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.a+b> ab B.a+b≥2 ab b a D.a+b≥2

)

?利用基本不等式证明不等式

bc ac ab (1)设 a,b,c 都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c. (2) 设 a、b、c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

? ?

运用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”

式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“ 和”式,从而达到放缩的效果. ? (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.

2.已知a、b、c、d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

?含条件的不等式的证明
1 1 1 已知 a、b、c∈{正实数},且 a+b+c=1.求证:a+ b+ c ≥9.

?

在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式

合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以 便于利用基本不等式.

?1 ??1 ??1 ? ? -1?? -1?? -1?≥8. 3. 已知 a、 b、 c∈(0, +∞), 且 a+b+c=1, 求证: ?a ??b ??c ?

1. 重要不等式 a +b ≥2ab 对于任意的实数都成立, 当且仅当 a =b 时等号成立;而不等式 a+b≥2 ab成立的条件为:①a,b∈R , ②当且仅当 a=b 时,等号成立. 2. “当且仅当 a=b 时, 等号成立”是指若 a≠b, 则 a +b ≠2ab, a+b a+b 2 2 ab≠ ,即只能有 a +b >2ab, ab< . 2 2
2 2


2

2

3.常用基本不等式的变形式 b a (1)a+ b≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,取“=”.
2 2 ?a+b? a + b ?2≤ (2)ab≤? . 2 ? 2 ?

a +b (3) ab≤ ≤ 2

a2+b2 + ,(a,b∈R ). 2

1.已知设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),那么xy有最大值还是 有最小值?应如何求?

提示:xy 有最大值. 由基本不等式,得 s=x+y≥2 xy ,所以 s2 s2 xy≤ ,当且仅当 x=y 时取最大值 . 4 4
2.已知设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),那么x+y有最大值还是

有最小值?应如何求?

提示:x+y 有最小值. 由基本不等式,得 s=x+y≥2 xy=2 p, 当且仅当 x=y 时取最小值 2 p.

? 基本不等式与最值
s2 xy≤ 4

x+y≥2 p

? 记忆口诀:和定积最大,积定和最小.

? 已知p、q∈R,pq=100,则p2+q2的最小值是______. ? 解析:∵p、q∈R,pq=100, ? ∴p2+q2≥2pq=200,

? 当且仅当p=q=10或p=q=-10时取“=”.
? 答案:200

?基本不等式
? 正确理解基本不等式求最值 ? (1)在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件: ? ①各项均为正数;

? ②含变数的各项的和(或积)必须是常数;
? ③当含变数的各项均相等时取得最值.

? 三个条件可简记为:一正、二定、三相等,这三个条件极易遗漏而导
致解题失识,应引起足够的重视.

(2)利用基本不等式求函数的最大值或最小值的基本技巧是“拼凑”,即
要求和的最小值,必须拼凑两个正数,使它们的积为定值;要求积的

最大值,必须拼凑两个正数,使它们的和为定值.
(3)要善于活用基本不等式,也就是不仅要善于“正用”、“逆用”,更

要善于“变形用”.

【想一想】 在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面?
提示:利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正、二定、三相等” .“一正”即公式中a、b必须是正数,“二定”即必须有定值(和为 定值或积为定值),“三相等”即公式中的等号必须成立,必要时要 合理拆分项或配凑因式,以满足上述三个条件.

?利用基本不等式求函数最值 t2-4t+1 (1)已知 t>0,则函数 y= 的最小值为 __________ . t
2 x -4x+5 5 (2)已知 x≥ ,则 f(x)= 的最小值为__________. 2 2x-4

? ? ?

基本不等式的理解及应用 (1)应用基本不等式的“题眼” 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,这便是应用基本不

等式的“题眼”,可考虑是否利用基本不等式解决. ? ? (2)利用基本不等式比较实数大小 ①在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0.

?

②解题过程中注意不等式性质和函数性质的应用.

1 1.(1)求函数 y= +x(x>3)的最小值; x-3 (2)求函数 y=x(a-2x)(x>0, a 为大于 2x 的常数)的最大值.

?利用基本不等式求条件最值问题

1 1 (1)设 a>0,b>0, 若 3是 3 和 3 的等比中项,则a+b的
a b

最小值为____________. (2) 若正实数 x , y 满足 2x + y + 6 = xy ,则 xy 的最小值是 ____________.

利用基本不等式求条件最值的方法 (1)配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件. (2)构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式. (3)函数法:用代换法转化为函数问题再求函数的最大(小)值

1 9 2.已知 x>0,y>0,且x+ y=1,求 x+y 的最小值.

?利用基本不等式解应用问题

某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它
的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,

每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?

(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设
计为多长?

【自主解答】 设铁栅长为 x m,一堵砖墙长为 y m,则顶部面 积为 S=xy(m2). (1)依题设,得 40x+2×45y+20xy=3 200. 由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y+20xy=120 xy+20xy=120 S+20S.所以 S+6 S-160≤0. 即( S-10)( S+16)≤0, 故 0< S≤10.从而 0<S≤100. 所以 S 的最大允许值是 100 m2. (2)S 取得最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100, 所以求得 x=15,即正面铁栅的长是 15 m.

利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题, 再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题,用基本不等式解决此

类问题时,应按如下步骤进行:
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变

量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小

值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案.

? 3.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室. 在温室内,
沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽

的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大
种植面积是多少?

800 解:设矩形温室的长为 x m,则宽为 x m, (0<x<200). 依题意有:种植面积:
?800 ? S= (x-2)? x -4? ? ?

1.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件, 并且和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.

2.使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解.
3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学 模型,利用基本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有 关量的实际含义.


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