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【金版新学案】2014-2015学年高中数学 模块综合检测B 新人教A版选修2-2


模块综合检测(B)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 C.第三象限 解析: B.第二象限 D.第四象限

求出复数 z,再确定 z 对应的点的坐标.

∵ z =1+2i,∴z=1-2i,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限. 答案: D

2. 已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一, 且其导函数 y=f′(x)的图象如图所 示,则该函数的图象是( )

解析: 根据导函数值的大小变化情况,确定原函数的变化情况.从导函数的图象可以 看出,导函数值先增大后减小,x=0 时最大,所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减 小,在 x=0 时变化率最大.A 项,在 x=0 时变化率最小,故错误;C 项,变化率是越来越 大的,故错误;D 项,变化率是越来越小的,故错误.B 项正确. 答案: B

1 3.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=? ?x 是指数函数(小前提),所以函 ?3? 1 数 y=? ?x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ?3? A.大前提错误导致结论错 )

B.小前提错误导致结论错
1

C.推理形式错误导致结论错

D.大前提和小前提错误导致结论错
x

解析: 推理形式没有错误,而大前提“y=a 是增函数”是不正确的,当 0<a<1 时,y =ax 是减函数;当 a>1 时,y=ax 是增函数. 答案: A 1+bi (b∈R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则复数 z 的共轭复数是( 2+i 3 B.- i 5 D.-i +b + - - = 2+b 2b-1 + i 是纯虚数,所以 2+b=0 5 5 )

4.若复数 z= 3 A. i 5 C.i

1+bi 解析: 因为 z= = 2+i 且 2b-1≠0, 解得 b=-2.

所以 z=-i,则复数 z 的共轭复数是 i. 答案: C

5.类比平面内正三角形“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性 质,你认为比较恰当的是( )

①棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A.① C.③ B.② D.①②③

解析: 三个性质都是正确的,但从“类比”角度看,一般是“线→面”、“角→二面 角”. 答案: B

6. 设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

解析:

由题意知 f′(-1)=0,

当 x<-1 时 f′(x)<0,当 x>-1 时 f′(x)>0, ∴当 x<-1 时,x·f′(x)>0, 当-1<x<0 时,x·f′(x)<0,

2

当 x>0 时,x·f′(x)>0. 答案: B

a 1? ? 7.若? ?1 2x+ dx=3+ln 2 且 a>1,则实数 a 的值是(

?

x?

)

A.2 C.5 解析: 答案:

B.3 D.6
a 1? ? 2 a 2 ? ?1 ?2x+x?dx=(x +ln x)| 1=a +ln a-1=3+ln 2,所以 a=2.

A

1 3 1 1 5 1 1 1 7 8.观察式子:1 + 2 < ,1+ 2 + 2 < ,1+ 2 + 2 + 2 < ,?,则可归纳出一般式子 2 2 2 3 3 2 3 4 4 为( ) 1 1 1 1 A. 1+ 2 + 2 +?+ 2 < (n≥2) 2 3 n 2n-1 1 1 1 2n+1 B. 1+ 2 + 2 +?+ 2 < (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n-1 C. 1+ 2 + 2 +?+ 2 < (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n D. 1+ 2 + 2 +?+ 2 < (n≥2) 2 3 n 2n+1 解析: 答案: 由合情推理可得. C

9.在平面内有 n(n∈N +,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, 若 n 条直线把平面分成 f(n)个平面区域,则 f(9)等于( A.18 C.37 解析: B.22 D.46 )

f(3)=7,

f(4)-f(3)=4, f(5)-f(4)=5,
?

f(n)-f(n-1)=n.
以上各式相加: ∴f(n)=7+4+5+?+n ∴f(9)=7+4+5+?+9=7+ 答案: D + 2 =46.

3

10.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 C.-1 B.2 D.-2

)

解析: 设直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)的切点为(x0 , y0 ), 则 y0 =1+x0 , y0 =ln(x0 +a). 又 y′= 1

x+a



∴y′|x =x 0 =

1 =1,即 x0 +a=1. x0 +a

又 y0 =ln(x0 +a), ∴y0 =0.∴x0 =-1.∴a=2. 答案: B

|z1 |+| z2 | 11.定义复数的一种运算 z1 * z2 = (等式右边为普通运算),若复数 z=a 2 +bi,且正实数 a,b 满足 a+b=3,则 z* z 的最小值为( A. C. 9 2 3 2 B. D. 3 2 2 9 4 )

解析: =

z* z =
2

|z|+| z | 2 a2 +b2 2 2 = = a +b 2 2

a+b

-2ab,又∵ab≤?

? 2 ?

a+b?2 9

= , 4 9 3 2 = . 2 2

9 ∴-ab≥- ,z* z ≥ 4 答案: B

9 9-2× = 4

12. 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(1)=0, 当 x>0 时, 有 恒成立,则不等式 f(x)>0 的解集为( A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析: 由题意知 g(x)= ) B.(-1,0)∪(0,1)

xf

x -f x >0 x2

D.(-∞,-1)∪(0,1)

f x 在(0,+∞)上是增函数,且 x

g(1)=0,
∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴g(x)是 R 上的偶函数.
4

f(x) 的草图如图所示: x
由图象知:当 x>1 时,f(x)>0, 当-1<x<0 时,f(x)>0. ∴不等式 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案: A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知 P,Q 为抛物线 x2 =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别 作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 解析: 根据题意先求出 P,Q 的坐标,再应用导数求出切线方程,然后求出交点.

1 因为 y= x2 ,所以 y′=x,易知 P(4,8),Q(-2,2),所以在 P,Q 两点处切线的斜率的 2 值为 4 或-2. 所以这两条切线的方程为 l1 :4x-y-8=0,l2 :2x+y+2=0, 将这两个方程联立方程组求得 y=-4. 答案:
1 0

-4
2

14.? ? ( 1-x +x)dx=________. 解析:
1

? 1-x2dx=1π , ?0 4
1

1 2 1 1 1 ? ?0 xdx=2x | 0 =2-0=2,
1 1 1 2 ∴? ?0 ( 1-x +x)dx=4π +2.

答案:

1 1 π+ 4 2

15.通过类比长方形,由命题“周长为定值 l 的长方形中,正方形的面积最大,最大值 为 ”,可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________ 16 ________________________________________________________________________. 解析: 表面积为定值 S 的长方体中,正方体的体积最大,最大值为

l2

?S?3 . ?6?2 ?S?3 ?6?2

答案:

表面积为定值 S 的长方体中,正方体的体积最大,最大值为

16. 若函数 f(x)=x3 +x2 +mx+1 是 R 上的单调函数, 则实数 m 的取值范围是________. 解析:

f′(x)=3x2 +2x+m 要使 f(x)是 R 上的单调函数,

需使 Δ =4-12m≤0,
5

1 ∴m≥ . 3 答案:

m≥

1 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)若复数 z=1+i,求实数 a,b 使得 az+2b z =(a+2z) . 解析: 由 z=1+i,可知 z =1-i,代入 az+2b z =(a+2z)2 ,得 a(1+i)+2b(1
2 2 2

-i)=[a+2(1+i)] ,即 a+2b+(a-2b)i=(a+2) -4+4(a+2)i. 所以?
?a+2b= ? ?a-2b= ? ? ?a=-4, ?b=2 ?

a+ a+
或?

2

-4, ,

解得?

? ?a=-2, ?b=-1. ?

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x (k≥0).当 k=2 时,求曲线 2

k

2

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解析: 当 k=2 时,f(x)=ln(1+x)-x+x , 1 -1+2x. 1+ x
2

f′(x)=

3 由于 f(1)=ln 2,f′(1)= , 2 3 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-ln 2= (x-1), 2 即 3x-2y+2ln 2-3=0. 19.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明:当 n∈N* 时,1+22 +33 +?+nn <(n+1)n . 证明: (1)当 n=1 时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立.

(2)假设当 n=k(k∈N* )时不等式成立,即 1+22 +33 +?+kk <(k+1)k ; 那么,当 n=k+1 时,左边=1+22 +33 +?+kk +(k+1)k +1 <(k+1)k +(k+1)k +1 =(k+ 1) (k+2)<(k+2)
k k +1

=[(k+1)+1]

k +1

=右边,即左边<右边,

即当 n=k+1 时不等式也成立. 根据(1)和(2)可知,不等式对任意 n∈N* 都成立. 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= -(a+1)x2 +4ax+b,其中 a,b∈R. 3 1 (1)若函数 f(x)在 x=3 处取得极小值 ,求 a,b 的值; 2

x3

6

(2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)若函数 f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 解析: (1)因为 f′(x)=x2 -2(a+1)x+4a,

3 所以 f′(3)=9-6(a+1)+4a=0,得 a= . 2 1 由 f(3)= ,解得 b=-4. 2 (2)因为 f′(x)=x -2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=2a 或 x=2. 当 a>1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2a,+∞); 当 a=1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当 a<1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(2,+∞). (3)由题意可得? 1 1 解得- <a< . 2 2 1 1 所以 a 的取值范围是?- , ?. ? 2 2? 21.(本小题满分 13 分)某厂生产产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ 2 3 x (万元),已知产 75
?a<1, ? ? ?f
2



f



品单价 P(万元)与产品件数 x 满足:P2 = ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元. (1)设产量为 x 件时,总利润为 L(x)(万元),求 L(x)的解析式; (2)产量 x 定为多少件时总利润 L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到 1 万元). 解析: ∴P= (1)由题意有 502 = ,解得 k=25×104 , 100 25×104

k x

k

x



500

x
500



2x3 2x3 ∴总利润 L(x)=x· -1 200- =- +500 x-1 200(x>0). 75 75 x 2 250 (2)由(1)得 L′(x)=- x2 + , 25 x 令 L′(x)=0? 250

x



2 2 x, 25

令 t= x,得

250

t



2 4 t ? t5 =125×25=55 , 25

∴t=5,于是 x=t2 =25,
7

所以当产量定为 25 时,总利润最大. 这时 L(25)≈-416.7+2 500-1 200≈883. 答:产量 x 定为 25 件时总利润 L(x)最大,约为 883 万元. 22.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x3 +ax2 -3x(a∈R). (1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x= 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在[-a,1]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰 有 3 个交点?若存在,请求出 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析: (1)f′(x)=3x2 +2ax-3,

∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0. ∴- ≤1 且 f′(1)=2a≥0. 3 ∴a≥0. (2)由题意知 f′ ∴a=4. ∴f(x)=x3 +4x2 -3x. 1 令 f′(x)=3x2 +8x-3=0 得 x= 或 x=-3. 3 1 14 ∵f(-4)=12,f(-3)=18,f? ?=- ,f(1)=2, ?3? 27 ∴f(x)在[-a,1]上的最大值是 f(-3)=18. (3)若函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x3 +4x2 -3x=bx 恰有 3 个不等实根. ∵x=0 是其中一个根, ∴方程 x +4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根. ∴?
?Δ =16+ ? ?- ?
2

a

?1?=0,即1+2a-3=0, ?3? 3 3

+b ,



+b

∴b>-7 且 b≠-3. ∴满足条件的 b 存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).

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