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黑龙江省大庆市大庆实验中学2013届高三上学期期末考试数学(文)试题


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黑龙江省大庆市大庆实验中学 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数

5i ? 1 ? 2i
B. 1 ? 2i C. ?2 ? i D. ?1 ? 2i

A. 2 ? i

2. 下列命题中的假命题是 A. ?x ? R , lg x ? 0 B. ?x ? R , tan x ? 1 C. ?x ? R , x 3 ? 0 D . ?x ? R ,

2x ? 0
3. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A. y ? x 3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? 2?| x|

4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可 得该几何体的表面积是 A. 32? B. 16? C. 12? D. 8?

5.若向量 u ? (3,?6), v ? (4,2), w ? (?12,?6) ,则下 列结论中错误的是 A. u ? v C. w ? u ? 3v B. v // w D.对任一向量 AB ,存在实数 a, b ,使 AB ? au ? bv

6.下列命题中,正确的是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bc C.若 B.若 ac ? bc ,则 a ? b D.若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d

a b ? 2 ,则 a ? b 2 c c
x 2

7.曲线 y ? e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A.

e2 2
x

B. e 2

C. 2 e 2

D.

9 2 e 4

8.已知函数 y ? e 的图象与函数y ? f ( x)的图象关于直线y ? x 对称,则 A. f (2 x) ? e ( x ? R )
2x

B. f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0)

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C. f (2 x) ? 2e ( x ? R )
x

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D. f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0)

9.设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且 f (1) ? ?2 ,

f (2012) ? m ?

3 ,则 m 的取值范围是 m
B.

A. ? ??, ?1? ? ? 0,3?

? ??, ?3? ? ? 0,1?

C. ? ?1, 0 ? ? ? 3, ?? ?

D. ? 0, ?? ?
y

10.如图,已知抛物线 y 2 ? 2 px

( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过 F,则该双曲 a2 b2
线的离心率为 A. 2 B. 2 C. 2 ? 1 D.

2 ?1

O

F

x

11.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,若存在互不相等的实数 a , b , c ,使

f (a ) ? f (b) ? f (c) 成立,则 a ? b ? c 的取值范围是
A. [4,3 ? 12.已知 0 ? x ?
c 2

2]

B. [4,3 ?

2)

C. (4,3 ?

2]
*

D. (4,3 ?

2)

?

2 6 (b ? ? ) tan x ? a tan x ? (b ? ? c ) ? 0. 则 a ? b ? c 等于

, sin x ? cos x ?

?

,存在 a, b, c(a, b, c ? N ) ,使得

B.76 C.106 D.110 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

A.46

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13. 已 知 区 域 D 满 足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 区 域 D 内 离 原 点 O 最 远 点 的 坐 标 ? 3x ? y ? 3 ? 0 ?
为 .
3ac ,则角 B 的弧度 a ? c2 ? b2
2

14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c ,且 tan B ? 数是 ________.

15.已知圆 O 的直径为 AB ? 2 , C 为圆 O 上任意一点,则 | AB ? 2 AC | = 16.给出定义:若 m ?

.

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

记作 ?x? ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ? x ? { x } 的四个命题: ①函数

1 k 值域为 [0, ] ; ②函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? ( k ? Z ) 对 y ? f ( x ) 的定义域为 R, 2 2
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1 1 称;③函数 y ? f ( x ) 是偶函数;④函数 y ? f ( x ) 在 ? ? , ? 上是增函数.其中正 ? 2 2? ? ?
确的命题的序号是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? 数列 {an } 的通项公式;

13 . 3

(Ⅰ) 求

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ?

?
6



取得最大值,且最大值为 a3 ,求函数 f ( x) 的解析式. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC ,

?ADC ? 90 ? , 平 面 PAD ? 底 面 ABCD , Q 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 ,

1 (1)求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2) AD ? 1 , CD ? 3 . 2 PM 若 PA // 平面 QBM ,求 的值. MC ?1? 2a n 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? , 且 a1 ? 2 。 (1) 求证: 数列 ? ? an ? 2 ? an ? 2 ? an 1 是 等 差 数 列 , 并 求 通 项 an ; ( 2 ) bn ? , 且 cn ?b n ?( ) n (n ? N * ) , 求 和 an 2 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn .
PA ? PD ? 2 , BC ?
20. (本小题满分 12 分)如图,用长度为 12 米的篱笆, 借助于两面墙围成一个矩形 ABCD(两面墙 AB、BC 足够 长). 在点 P 处有一棵树与两面墙的距离分别为 a 米 (0<a<8) 和 4 米.若此树不圈在矩形 ABCD 之外,求矩形 ABCD 面 积的最大值 M (a ) . B a米 P 4米 A

D

C

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

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x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 , 点 a 2 b2 M ? 0, 2 ? 是椭圆的一个顶点,△ F1 MF2 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过

点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分别为 k1 , k 2 ,且

k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)试判断函数 f ( x) 的单调性;

ln x ?1 x

(2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m,2m] 上的最大值; (3)试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(
?

1? n e 1? n . ) ? n n

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大庆实验中学 2012-2013 学年度上学期期末考试 高三数学试题(文科)参考答案
一.选择题 CCBCC CADAC DD 二.填空题13.(2,3);14. 三.解答题 17.解:(Ⅰ)由已知

?
3



2? ;15.2; 16.①②③ 3

a1 1 ? q 3 a1 1 ? 33 13 S3 ? ? ? , 1? q 1? 3 3

?

?

?

?

解得 a1

1 ? . ……2 分 3

则 an 5分

1 ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2.n ? N ? ………………………………………………………… 3
?
6
处取得最大值,可知

(Ⅱ)由已知最大值为 a3 ,且 a3 ? 3. 可得 A ? 3. 又在 x ?

2?
分 又

?
6

?? ?

?
2

? 2k? , 解得 ? ?

?
6

? 2k? . …………………………………………………7

? 0 ? ? ? ? ,?? ?

?
6

.



?? ? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ?. …………………………………………10 分 6? ?
18 . 解 : ( 1 ) ? DQ / / BC且DQ ? BC ,

? 四 边 形 BCDQ 是 平 行 四 边 形 ,
? 平面 PAD ? 底面

? BQ / / CD ,…… 3 分

? CD ? AD , ? BQ ? AD ,
,

ABCD ,

? BQ ? 平面PAD

? 平 面 PQB ? 平 面

PAD .……………………………………6 分
( 2 ) 设 AC ? BQ ? E , ? PA / / 平 面 QBM , ? PA // ME , … … … … … … … … 9 分

?

PM AE AQ ……………………………………………………………………12 分 ? ? ? 1. MC EC BC

19. 解: 由 an ?1 ?

2an 1 1 1 1 1 an ? a ? 0 ? ? ? , ? n , 得a 从而数列 是一个首项是 a an ? 2 , an 2 , 2 n ?1 1 1 ? 1 1 n ? (n ? 1) ? 2 2 2

1

公差为 2 的等差数列,故 a n
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数列 ?a n ? 的通项公式为 an =

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2 。…………………………………………6 分 n 2 2? n ? n ? 1 ;……………………7 分 (Ⅱ)将 an 代入 bn 可求得 bn ? 2 n 1 1 所以 cn ? bn ( ) n ? (n ? 1)( ) n ;…………………………………………8 分 2 2 1 1 1 1 ① Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ② … … …… … …… … 10 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? ? (n ? 1)( ) n?1 , 2 2 2 2 2
分 ①-②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

所以 分
[来源:ZXX

1 1 n ?1 [1 ? ( ) n?1 ] 3 n?3 ?1? 4 2 ? 1? ? (n ? 1)? ? ? ? n?1 1 2 2 ?2? 1? 2 n?3 Tn ? 3 ? n ……………………………………………………………… 12 2
……………………1 分

20.解:设 CD=x,则 AD= 12 ? x ,ABCD 面积为 S ( x) . 依题意得 ? 分

? x ? 4, 得 4 ? x ? 12 ? a (0 ? a ? 8). ?12 ? x ? a,

…………………………………………4

S ( x) ? x ?12 ? x ? ? 36 ? ? x ? 6 ? , 4 ? x ? 12 ? a(0 ? a ? 8).
2

……………………7 分

当12 ? a ? 6, 即 0 ? a ? 6 时 , S ? x ?max ? S (6) ? 36 ;……………………9 分

当 12 ? a ? 6, 即6 ? a ? 8 时, S ? x ? 在 ? 4,12 ? a ? 上是增函数,

S ? x ?max ? S ?12 ? a ? ? 12a ? a 2 .
分 故 M (a) ? ?

………………………………………………………11

?36, 0 ? a ? 6,
2 ?12a ? a , 6 ? a ? 8.

…………………………………………………12 分

21.解: (Ⅰ)由已知可得 b ? 2, a ?
2

?

2b

?

2

? 8 ,所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ……4 8 4

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(Ⅱ)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 .设 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y 2 ) , 由

? x2 y2 ? ? ? 1, ?8 4 ? ? y ? kx ? m,



?1 ? 2k ? x
2

2

? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 则

x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 y ? 2 y2 ? 2 .………6 分由已知 1 , x x ? ? ?8 ,所以 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k x1 x2

x ?x kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 mk ? 4 ,整理得 ? ? 8 ,即 2k ? ? m ? 2 ? 1 2 ? 8 .所以 k ? m?2 x1 x2 x1 x2
m?
分 所以直线 AB 过定点( ?

1 1 1 k ? 2 .故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 .…………10 2 2 2 1 .若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 ,设 ,? 2 ) 2

A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 由 已 知
x??
(?

y0 ? 2 ? y0 ? 2 1 ? ? 8 , 得 x0 ? ? . 此 时 AB 方 程 为 2 x0 x0
综 上 , 直 线 AB 过 定 点

1 1 ,显然过点( ? , ? 2 ) . … … … … … … 11 分 2 2

1 .………………12 分 ,? 2) 2

22. 解 : 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 ? 0, ?? ? , 由 已 知 得 f ?( x) ?

1 ? ln x , 令 f ?( x ) ? 0 得 x2

1 ? ln x ? 0 , ? x ? e


? 当 0 ? x ? e 时 , f ' ( x) ?

1 ? ln x ?0 ,当 x?e 时, x2

f ' ( x) ?

1 ? ln x ? 0 ----2 分 x2

? 函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 ? 当 x ? e 时,函数有最大值 f ( x) max ? f (e) ?

1 ? 1 ……………………4 分 e

(II)由(I)知函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减 故①当 0 ? 2m ? e 即 0 ? m ?

e 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递增 2

? f ( x) max ?

f ( 2m) ?

ln 2m ? 1 …………………………………………6 分 2m

②当 m ? e 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递减

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ln m ? 1 …………………………………………7 分 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时 2 ? f ( x) max ? f (e) ? 1 ? 1…………………………………………………………8 分 e 1 (III)由(I)知,当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f (e) ? ? 1 e ? 在 (0,??) 上恒有 f ( x) ? ln x ? 1 ? 1 ? 1 ,即 ln x ? 1 且当 x ? e 时“=”成立 x e x e 1 ? 对 ?x ? (0,??) 恒有 ln x ? x …………………………………………… 10 e f ( m) ?


? f ( x) max ?

?

1? n 1? n ? 0, ?e n n

? ln

1? n 1 1? n 1? n 1? n ? ? ? ln( )e ? n e n n n

即对 ?n ? N ? ,不等式 ln(

1? n e 1? n ) ? 恒成立; ……………………………………12 分 n n

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